88.7 Endurrita annars stigs stæður á þáttað form, hluti 2

8.7.3 Greining þátta í 100 og −100

8.7.3 • Greining þátta í 100 og −100

Verkefni

Í verkefnum 1–2 skaltu skoða stæðuna $x^{2} + b x + 100$ . Athugaðu að forystustuðullinn er 1.

1. Búðu til töflu með öllum þáttapörum 100 sem gefa jákvæð gildi á b.

Fyrir hvert par skaltu tilgreina gildið á b sem parið myndar. Notaðu eins margar raðir og þarf.

Þáttur 1	Þáttur 2	b (jákvætt)

Lausn

Berðu svörin þín saman:

Þáttur 1	Þáttur 2	b (jákvætt)
10	10	20
20	5	25
25	4	29
50	2	52
100	1	101

2. Búðu til töflu með öllum þáttapörum 100 sem gefa neikvæð gildi á b.

Fyrir hvert par skaltu tilgreina gildið á b sem parið myndar. Notaðu eins margar raðir og þarf.

Þáttur 1	Þáttur 2	b (neikvætt)

Lausn

Berðu svörin þín saman:

Þáttur 1	Þáttur 2	b (neikvætt)
−10	−10	−20
−20	−5	−25
−25	−4	−29
−50	−2	−52
−100	−1	−101

Í verkefnum 3–5 skaltu skoða stæðuna $x^{2} + b x - 100$ . Athugaðu að forystustuðullinn er 1.

3. Búðu til töflu með öllum þáttapörum −100 sem gefa jákvæð gildi á b.

Fyrir hvert þáttapar skaltu tilgreina gildið á b sem parið myndar. Notaðu eins margar raðir og þarf.

Þáttur 1	Þáttur 2	b (jákvætt)

Lausn

Berðu svörin þín saman:

Þáttur 1	Þáttur 2	b (jákvætt)
25	−4	21
20	−5	15
50	−2	48
100	−1	99

4. Búðu til töflu með öllum þáttapörum −100 sem gefa neikvæð gildi á b.

Fyrir hvert par skaltu tilgreina gildið á b sem parið myndar. Notaðu eins margar raðir og þarf.

Þáttur 1	Þáttur 2	b (neikvætt)

Lausn

Berðu svörin þín saman:

Þáttur 1	Þáttur 2	b (neikvætt)
−25	4	−21
−20	5	−15
−50	2	−48
−100	1	−99

5. Búðu til töflu með öllum þáttapörum −100 sem gefa gildið 0 á b.

Fyrir hvert par skaltu tilgreina gildið á b sem parið myndar. Notaðu eins margar raðir og þarf.

Þáttur 1	Þáttur 2	b (núll)

Lausn

Berðu svörin þín saman:

Þáttur 1	Þáttur 2	b (núll)
−10	10	0

Í verkefnum 6–9 skaltu rita hverja stæðu á þáttuðu formi. Athugaðu að forystustuðull hverrar stæðu er 1.

6. $x^{2} - 25 x + 100$

Lausn

$(x - 20) (x - 5)$

7. $x^{2} + 15 x - 100$

Lausn

$(x + 20) (x - 5)$

8. $x^{2} - 15 x - 100$

Lausn

$(x - 20) (x + 5)$

9. $x^{2} + 99 x - 100$

Lausn

$(x + 100) (x - 1)$

Meira til umhugsunar

Hversu margar mismunandi heiltölur $b$ getur þú fundið þannig að hægt sé að rita stæðuna $x^{2} + 10 x + b$ á þáttuðu formi?

Lausn

Óendanlega margar. Talan b þarf að hafa tvo þætti sem hafa summuna 10. Hér eru nokkur dæmi:

$(x + 4) (x + 6) = x^{2} + 10 x + 24$

$(x + 2) (x + 8) = x^{2} + 10 x + 16$

$(x + 11) (x - 1) = x^{2} + 10 x - 11$

Það eru til óendanlega mörg dæmi, því til eru óendanlega mörg pör heiltalna sem hafa summuna 10.

Athugaðu skilning þinn

Skoðaðu stæðuna $x^{2} + b x - 48$ .

Finndu öll þáttapör −48 sem gefa jákvæð gildi á b.

−1 og 48, −2 og 24, −3 og 16, −4 og 12, −6 og 8
−1 og −48, −2 og −24, −3 og −16, −4 og −12, −6 og −8
1 og 48, 2 og 24, 3 og 16, 4 og 12, 6 og 8
1 og −48, 2 og −24, 3 og −16, 4 og −12, 6 og −8

Ítarefni

Greining þátta í fastaliðum annars stigs stæðna

Dæmi 1
Skoðum stæðuna $x^{2} + b x + 40$ , þar sem forystustuðullinn er 1.
Finndu alla þætti 40 sem gefa jákvætt gildi á b.
Við vitum að þættir 40 sem gefa jákvæða summu eru báðir jákvæðar tölur.
Þáttur 1 Þáttur 2 b (jákvætt)
1 40 41
2 20 22
4 10 14
5 8 13

Þáttur 1	Þáttur 2	b (jákvætt)
1	40	41
2	20	22
4	10	14
5	8	13

Nú skulum við finna alla þætti 40 sem gefa neikvætt gildi á b.

Við vitum að þættir 40 sem gefa neikvæða summu eru báðir neikvæðar tölur.

Þáttur 1	Þáttur 2	b (neikvætt)
−1	−40	−41
−2	−20	−22
−4	−10	−14
−5	−8	−13

Dæmi 2

Nú skulum við skoða stæðuna $x^{2} + b x - 40$ , þar sem forystustuðullinn er 1.

Finndu alla þætti −40 sem gefa jákvætt gildi á b.

Þáttur 1	Þáttur 2	b (jákvætt)
−1	40	39
−2	20	18
−4	10	6
−5	8	3

Finndu alla þætti −40 sem gefa neikvætt gildi á b.

Þáttur 1	Þáttur 2	b (neikvætt)
1	−40	−39
2	−20	−18
4	−10	−6
5	−8	−3

Taktu eftir líkindunum með töflunum tveimur hér fyrir ofan. Þær innihalda báðar alla þætti −40, þar sem einn þátturinn er jákvæður og hinn neikvæður.

Taktu eftir að munurinn veltur á gildi b, það er summu þáttanna.

Fyrir jákvæð gildi á b er þátturinn með stærra tölugildi jákvæður. Hinn þátturinn er neikvæður.

Fyrir neikvæð gildi á b er þátturinn með stærra tölugildi neikvæður. Hinn þátturinn er jákvæður.

Prófaðu

Skoðaðu stæðuna $x^{2} + b x - 60$ . Finndu alla þætti sem gefa jákvætt gildi á $b$ .
Lausn
Hér eru þættirnir fyrir stæðuna:
Þáttur 1 Þáttur 2 b (jákvætt)
−1 60 59
−2 30 28
−3 20 17
−4 15 11
−5 12 7
−6 10 4
Skoðaðu stæðuna $x^{2} + b x - 60$ . Finndu alla þætti sem gefa neikvætt gildi á $b$ .
Lausn
Hér eru þættirnir fyrir stæðuna:
Þáttur 1 Þáttur 2 b (neikvætt)
1 −60 −59
2 −30 −28
3 −20 −17
4 −15 −11
5 −12 −7
6 −10 −4

88.7 Endurrita annars stigs stæður á þáttað form, hluti 2

8.7.3 Greining þátta í 100 og −100

8.7.3 • Greining þátta í 100 og −100

Verkefni

Í verkefnum 1–2 skaltu skoða stæðuna $x^{2} + b x + 100$ . Athugaðu að forystustuðullinn er 1.

1. Búðu til töflu með öllum þáttapörum 100 sem gefa jákvæð gildi á b.

Fyrir hvert par skaltu tilgreina gildið á b sem parið myndar. Notaðu eins margar raðir og þarf.

Þáttur 1	Þáttur 2	b (jákvætt)

Lausn

Berðu svörin þín saman:

Þáttur 1	Þáttur 2	b (jákvætt)
10	10	20
20	5	25
25	4	29
50	2	52
100	1	101

2. Búðu til töflu með öllum þáttapörum 100 sem gefa neikvæð gildi á b.

Fyrir hvert par skaltu tilgreina gildið á b sem parið myndar. Notaðu eins margar raðir og þarf.

Þáttur 1	Þáttur 2	b (neikvætt)

Lausn

Berðu svörin þín saman:

Þáttur 1	Þáttur 2	b (neikvætt)
−10	−10	−20
−20	−5	−25
−25	−4	−29
−50	−2	−52
−100	−1	−101

Í verkefnum 3–5 skaltu skoða stæðuna $x^{2} + b x - 100$ . Athugaðu að forystustuðullinn er 1.

3. Búðu til töflu með öllum þáttapörum −100 sem gefa jákvæð gildi á b.

Fyrir hvert þáttapar skaltu tilgreina gildið á b sem parið myndar. Notaðu eins margar raðir og þarf.

Þáttur 1	Þáttur 2	b (jákvætt)

Lausn

Berðu svörin þín saman:

Þáttur 1	Þáttur 2	b (jákvætt)
25	−4	21
20	−5	15
50	−2	48
100	−1	99

4. Búðu til töflu með öllum þáttapörum −100 sem gefa neikvæð gildi á b.

Fyrir hvert par skaltu tilgreina gildið á b sem parið myndar. Notaðu eins margar raðir og þarf.

Þáttur 1	Þáttur 2	b (neikvætt)

Lausn

Berðu svörin þín saman:

Þáttur 1	Þáttur 2	b (neikvætt)
−25	4	−21
−20	5	−15
−50	2	−48
−100	1	−99

5. Búðu til töflu með öllum þáttapörum −100 sem gefa gildið 0 á b.

Fyrir hvert par skaltu tilgreina gildið á b sem parið myndar. Notaðu eins margar raðir og þarf.

Þáttur 1	Þáttur 2	b (núll)

Lausn

Berðu svörin þín saman:

Þáttur 1	Þáttur 2	b (núll)
−10	10	0

Í verkefnum 6–9 skaltu rita hverja stæðu á þáttuðu formi. Athugaðu að forystustuðull hverrar stæðu er 1.

6. $x^{2} - 25 x + 100$

Lausn

$(x - 20) (x - 5)$

7. $x^{2} + 15 x - 100$

Lausn

$(x + 20) (x - 5)$

8. $x^{2} - 15 x - 100$

Lausn

$(x - 20) (x + 5)$

9. $x^{2} + 99 x - 100$

Lausn

$(x + 100) (x - 1)$

Meira til umhugsunar

Hversu margar mismunandi heiltölur $b$ getur þú fundið þannig að hægt sé að rita stæðuna $x^{2} + 10 x + b$ á þáttuðu formi?

Lausn

Óendanlega margar. Talan b þarf að hafa tvo þætti sem hafa summuna 10. Hér eru nokkur dæmi:

$(x + 4) (x + 6) = x^{2} + 10 x + 24$

$(x + 2) (x + 8) = x^{2} + 10 x + 16$

$(x + 11) (x - 1) = x^{2} + 10 x - 11$

Það eru til óendanlega mörg dæmi, því til eru óendanlega mörg pör heiltalna sem hafa summuna 10.

Athugaðu skilning þinn

Skoðaðu stæðuna $x^{2} + b x - 48$ .

Finndu öll þáttapör −48 sem gefa jákvæð gildi á b.

−1 og 48, −2 og 24, −3 og 16, −4 og 12, −6 og 8
−1 og −48, −2 og −24, −3 og −16, −4 og −12, −6 og −8
1 og 48, 2 og 24, 3 og 16, 4 og 12, 6 og 8
1 og −48, 2 og −24, 3 og −16, 4 og −12, 6 og −8

Ítarefni

Greining þátta í fastaliðum annars stigs stæðna

Dæmi 1
Skoðum stæðuna $x^{2} + b x + 40$ , þar sem forystustuðullinn er 1.
Finndu alla þætti 40 sem gefa jákvætt gildi á b.
Við vitum að þættir 40 sem gefa jákvæða summu eru báðir jákvæðar tölur.
Þáttur 1 Þáttur 2 b (jákvætt)
1 40 41
2 20 22
4 10 14
5 8 13

Þáttur 1	Þáttur 2	b (jákvætt)
1	40	41
2	20	22
4	10	14
5	8	13

Nú skulum við finna alla þætti 40 sem gefa neikvætt gildi á b.

Við vitum að þættir 40 sem gefa neikvæða summu eru báðir neikvæðar tölur.

Þáttur 1	Þáttur 2	b (neikvætt)
−1	−40	−41
−2	−20	−22
−4	−10	−14
−5	−8	−13

Dæmi 2

Nú skulum við skoða stæðuna $x^{2} + b x - 40$ , þar sem forystustuðullinn er 1.

Finndu alla þætti −40 sem gefa jákvætt gildi á b.

Þáttur 1	Þáttur 2	b (jákvætt)
−1	40	39
−2	20	18
−4	10	6
−5	8	3

Finndu alla þætti −40 sem gefa neikvætt gildi á b.

Þáttur 1	Þáttur 2	b (neikvætt)
1	−40	−39
2	−20	−18
4	−10	−6
5	−8	−3

Taktu eftir líkindunum með töflunum tveimur hér fyrir ofan. Þær innihalda báðar alla þætti −40, þar sem einn þátturinn er jákvæður og hinn neikvæður.

Taktu eftir að munurinn veltur á gildi b, það er summu þáttanna.

Fyrir jákvæð gildi á b er þátturinn með stærra tölugildi jákvæður. Hinn þátturinn er neikvæður.

Fyrir neikvæð gildi á b er þátturinn með stærra tölugildi neikvæður. Hinn þátturinn er jákvæður.

Prófaðu

Skoðaðu stæðuna $x^{2} + b x - 60$ . Finndu alla þætti sem gefa jákvætt gildi á $b$ .
Lausn
Hér eru þættirnir fyrir stæðuna:
Þáttur 1 Þáttur 2 b (jákvætt)
−1 60 59
−2 30 28
−3 20 17
−4 15 11
−5 12 7
−6 10 4
Skoðaðu stæðuna $x^{2} + b x - 60$ . Finndu alla þætti sem gefa neikvætt gildi á $b$ .
Lausn
Hér eru þættirnir fyrir stæðuna:
Þáttur 1 Þáttur 2 b (neikvætt)
1 −60 −59
2 −30 −28
3 −20 −17
4 −15 −11
5 −12 −7
6 −10 −4

Þáttur 1	Þáttur 2	b (neikvætt)
1	−60	−59
2	−30	−28
3	−20	−17
4	−15	−11
5	−12	−7
6	−10	−4