8.7.2 Túlkun neikvæðra fastaliða við þáttun annars stigs stæðna

Byrjum á að rifja upp hvernig má fara á milli staðalforms og þáttaðs forms með stæðum eins og þeim sem við höfum séð áður.

Hver röð í töflunni hér fyrir neðan inniheldur par jafngildra stæðna. Fylltu töfluna út. Ef þú festist skaltu prófa að teikna skýringarmynd.

Þáttað form	Staðalform
(x + 5)(x + 6)
	x2 + 13x + 30
(x − 3)(x − 6)
	x2 − 11x + 18

Lausn

Berðu svörin þín saman:

Þáttað form	Staðalform
(x + 5)(x + 6)	x2 + 11x + 30
(x + 10)(x + 3)	x2 + 13x + 30
(x − 3)(x − 6)	x2 − 9x + 18
(x − 9)(x − 2)	x2 − 11x + 18

Í upphituninni skoðaðir þú þætti með ólík formerki. Formerki tveggja talna hafa áhrif á summuna þegar tölurnar eru lagðar saman og á margfeldið þegar þær eru margfaldaðar. Notaðu athuganirnar úr upphituninni til að kanna stæðurnar í næstu töflu.

Hver röð í töflunni hér fyrir neðan inniheldur par jafngildra stæðna. Fylltu töfluna út. Ef þú festist skaltu prófa að teikna skýringarmynd.

Þáttað form	Staðalform
(x + 12)(x − 3)
	x2 − 9x − 36
	x2 − 35x − 36
	x2 + 35x − 36

Lausn

Berðu svörin þín saman:

Þáttað form	Staðalform
(x + 12)(x − 3)	x2 + 9x − 36
(x − 12)(x + 3)	x2 − 9x − 36
(x − 36)(x + 1)	x2 − 35x − 36
(x + 36)(x − 1)	x2 + 35x − 36

Nefndu nokkur atriði sem gera stæðurnar í seinni töflunni frábrugðnar stæðunum í fyrri töflunni, fyrir utan það að þær nota aðrar tölur.

Lausn

Berðu svarið þitt saman: Í seinni töflunni hafa allar stæðurnar á staðalformi neikvæðan fastalið. Í fyrri töflunni eru fastaliðirnir allir jákvæðir og tölurnar minni.

Þáttuðu stæðurnar í fyrri töflunni eru annaðhvort tvær summur eða tveir mismunir, það er sama aðgerð í báðum tvíliðunum. Í seinni töflunni eru þær allar margfeldi summu og mismunar, það er ólíkar aðgerðir í tvíliðunum.

Finndu þáttað form stæðunnar $x^2-22x-48$.

1. $(x-8)(x-16)$

2. $(x+2)(x-24)$

3. $(x-2)(x+24)$

4. $(x+12)(x-4)$

Skoðaðu stæðuna $x^2-34x+64$. Athugaðu að forystustuðullinn er 1.

Við höfum þáttað svona stæður áður. Við vitum að þegar fastaliðurinn er jákvæður verða formerki fastaliðanna í þáttaða forminu að vera eins.

Þar sem miðliðurinn er neikvæður vitum við að báðir fastaliðirnir verða neikvæðir. Því þáttast $x^2-34x+64$ í $(x-32)(x-2)$.

Ef miðliðurinn í stæðunni hér fyrir ofan væri jákvæður, þá væru báðir fastaliðirnir í þáttaða forminu jákvæðir.

Dæmi 1

Skoðaðu nú stæðuna $x^2-2x-24$. Athugaðu að forystustuðullinn er 1.

Fastaliðurinn er neikvæður, −24. Til að finna þáttað form stæðunnar leitum við að tveimur tölum sem hafa neikvætt margfeldi. Það þýðir að tölurnar tvær hljóta að hafa gagnstæð formerki, því margfeldi jákvæðrar tölu og neikvæðrar tölu er neikvætt.

Lítum nú á miðliðinn, −2. Við vitum að summa þessara talna verður að vera −2. Það þýðir að þátturinn með stærra tölugildi verður að vera neikvæður.

Hvaða þættir í −24 hafa summuna −2? Svarið er −6 og 4. Þar sem talan með stærra tölugildi þarf að hafa neikvætt formerki staðfestir þetta að þættirnir sem við leitum að eru −6 og 4.

Þetta gefur þáttaða formið $(x-6)(x+4)$.

Dæmi 2

Finndu þáttaða formið. Athugaðu að forystustuðullinn er 1.

$x^2+7x-18$

Fastaliðurinn er neikvæður, −18. Til að finna þáttað form stæðunnar leitum við að tveimur tölum sem hafa neikvætt margfeldi.

Miðliðurinn er 7. Sömu tvær tölur verða að hafa summuna +7.

Hvaða tvær tölur hafa margfeldið −18 og summuna +7?

Tölurnar eru 9 og −2.

Því er þáttaða formið $(x+9)(x-2)$.

Prófaðu

Finndu þáttað form hverrar stæðu.

1. $x^2+7x-44$

2. $x^2-x-30$

Lausn

1. $(x+11)(x-4)$

   Þættirnir +11 og −4 gefa margfeldið −44, fastaliðinn, og summuna +7, stuðul x-liðarins.

2. $(x+5)(x-6)$

   Þættirnir +5 og −6 gefa margfeldið −30, fastaliðinn, og summuna −1, stuðul x-liðarins.