8.3.3 Lausn flóknari annars stigs jafna

Verkefni

Að leysa jöfnu á forminu $a{(x-h)}^2=k$ er svipað ferli og í jöfnunum sem þú hefur áður leyst.

Í upprunalega forminu $a{x}^2=k$ er annars stigs liðurinn $x^2$, en hér er tvíliðan $x-h$ sett í annað veldi.

Þegar tvíliðan hefur verið einangruð er hægt að nota regluna um ferningsrætur og einangra síðan breytuna.

Leystu eftirfarandi annars stigs jöfnur. Útskýrðu eða sýndu rökstuðning þinn.

1. $144={(n+1)}^2$

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: $n=11$ og $n=-13$.

   Tölurnar 12 og −12 hafa ferningsgildið 144, þannig að $n+1$ þarf að vera $12$ eða $-12$. Þá er $n=11$ eða $n=-13$.

2. ${(u-6)}^2=64$

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: $u=14$ og $u=-2$.

   Þar sem 8 og −8 eru tölurnar sem gefa 64 í öðru veldi þarf $u-6$ að vera $8$ eða $-8$. Þá er $u=14$ eða $u=-2$.

3. ${(n-5)}^2-30=70$

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: $n=15$ og $n=-5$.

   Til að einangra tvíliðuna skaltu leggja 30 við báðar hliðar jöfnunnar: ${(n-5)}^2=100$. Þar sem $10$ og $-10$ hafa ferningsgildið 100 þarf $n-5$ að vera $\pm 10$. Þá fæst $n=15$ eða $n=-5$.

4. $4{(x+6)}^2-5=31$

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: $x=-3$ og $x=-9$.

   $$\begin{array}{rcl}4{(x+6)}^2-5& =& 31\\ 4{(x+6)}^2& =& 36\\ {(x+6)}^2& =& 9\\ x+6& =& \pm 3\end{array}$$

   Þá þarf $x$ að vera 6 minna en 3 eða −3, svo $x=-3$ og $x=-9$.

Útvíkkun

Leystu jöfnuna. Búðu þig undir að sýna rökstuðning þinn.

${(4x-3)}^2+11=47$

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Tvær lausnir: $x=\frac{9}{4}$ og $x=-\frac{3}{4}$.

$$\begin{array}{rcl}{(4x-3)}^2+11& =& 47\\ {(4x-3)}^2& =& 36\\ 4x-3& =& \pm 6\end{array}$$

Þetta gefur tvær línulegar jöfnur: $4x-3=6$ og $4x-3=-6$. Þegar þær eru leystar fæst $x=\frac{9}{4}$ og $x=-\frac{3}{4}$.

Sjálfspróf

Leystu eftirfarandi annars stigs jöfnu.

${(x+3)}^2-16=48$

1. $x=5$
2. $x=-8$ og $x=8$
3. $x=-11$ og $x=5$
4. $x=11$ og $x=-5$

Ítarefni

Regluna um ferningsrætur má einnig nota til að leysa jöfnur á forminu $a{(x-h)}^2=k$.

Fyrst þarf að einangra liðinn þar sem tvíliðan er í öðru veldi.

Dæmi

Leysum $4{(y-7)}^2=48$.

Lausnirnar eru $y=7+2\sqrt{3}$ og $y=7-2\sqrt{3}$.

Athugun sýnir að báðar lausnirnar gefa 48 í upphaflegu jöfnunni.

Prófaðu

Leystu eftirfarandi annars stigs jöfnur.

1. $3{(a-3)}^2=363$
2. $\frac{1}{2}{(b+2)}^2=200$

Lausn

Hér er hvernig má leysa þessar annars stigs jöfnur á forminu $a{(x-h)}^2=k$:

$$\begin{array}{rcl}3{(a-3)}^2& =& 363\\ {(a-3)}^2& =& 121\\ a-3& =& \pm 11\\ a-3& =& 11\\ a-3& =& -11\\ a& =& 14\text{og}a=-8\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{2}{(b+2)}^2& =& 200\\ {(b+2)}^2& =& 400\\ b+2& =& \pm 20\\ b+2& =& 20\\ b+2& =& -20\\ b& =& 18\text{og}b=-22\end{array}$$