8.3.2 Að þekkja lausnapör

Verkefni

Heil tala sem hefur tvo jafna þætti kallast ferningstala. Jafni þátturinn sem margfaldaður er með sjálfum sér til að fá töluna kallast ferningsrót tölunnar.

Til dæmis er $3$ ferningsrót af $9$ því $3·3=9$.

Regla um ferningsrætur

Ef ferningsveldi breytu er jafnt jákvæðri tölu $k$, þá eru lausnirnar jákvæða og neikvæða ferningsrótin.

$x^2=k$

$x=\sqrt{k}\text{og}x=-\sqrt{k}\to x=\pm \sqrt{k}$

Hver af eftirfarandi jöfnum hefur tvær lausnir. Notaðu þekkingu þína á ferningsrótum og reglunni um ferningsrætur. Hverjar eru lausnirnar? Útskýrðu eða sýndu rökstuðning þinn.

1. $n^2+4=404$

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: $n=20$ og $n=-20$.

   Ef $n^2+4=404$, þá er $n^2=400$. Með reglunni um ferningsrætur fæst $n=\pm \sqrt{400}$. Því eru lausnirnar $n=20$ og $n=-20$.

2. $432=3n^2$

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: $n=12$ og $n=-12$.

   Deildu báðum hliðum jöfnunnar með 3. Þá fæst $n^2=144$. Með reglunni um ferningsrætur fæst $n=\pm \sqrt{144}$. Því eru lausnirnar $n=12$ og $n=-12$.

3. $\frac{n^2}{5}-20=0$

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: $n=10$ og $n=-10$.

   Leggðu 20 við báðar hliðar og margfaldaðu síðan báðar hliðar með 5. Þá fæst $n^2=100$. Með reglunni um ferningsrætur fæst $n=\pm \sqrt{100}$. Því eru lausnirnar $n=10$ og $n=-10$.

4. $2n^2-7=65$

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: $n=6$ og $n=-6$.

   Leggðu 7 við báðar hliðar og deildu síðan báðum hliðum með 2. Þá fæst $n^2=36$. Með reglunni um ferningsrætur fæst $n=\pm \sqrt{36}$. Því eru lausnirnar $n=6$ og $n=-6$.

Útvíkkun

Að víkka hugsunina

Skoðaðu hversu margar lausnir jafna hefur þegar fleiri en tveir þættir eru margfaldaðir saman og margfeldið er 0.

1. Hversu margar lausnir hefur jafnan $(x-3)(x+1)(x+5)=0$? Hverjar eru lausnirnar?

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: Þrjár lausnir: $x=3$, $x=-1$ og $x=-5$.

2. Hversu margar lausnir hefur jafnan $(x-2)(x-7)(x-2)=0$? Hverjar eru lausnirnar?

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: Tvær ólíkar lausnir: $x=2$ og $x=7$.

3. Ritaðu nýja jöfnu sem hefur 10 lausnir.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: Það eru mörg möguleg svör. Eitt dæmi er:

   $$\begin{array}{c}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)\\ (x-6)(x-7)(x-8)(x-9)(x-10)=0\end{array}$$

Sjálfspróf

Leystu fyrir $p$. Finndu allar lausnir.

$3p^2+8=251$

1. $p=9$ og $p=-9$
2. $p=11$
3. $p=11$ og $p=-11$
4. $p=9$

Ítarefni: Að leysa annars stigs jöfnur með reglunni um ferningsrætur

Reglan um ferningsrætur gefur tvær lausnir fyrir jöfnu af gerðinni $x^2=k$: jákvæðu ferningsrótina af $k$ og gagntölu hennar. Við getum líka skrifað lausnina sem $x=\pm \sqrt{k}$.

Dæmi 1

Leysum $x^2=9$ með reglunni um ferningsrætur.

Svo $x=3$ og $x=-3$.

Dæmi 2

Leysum jöfnuna $x^2-50=0$ og einföldum rótina.

Lausnirnar eru $x=5\sqrt{2}$ eða $x=-5\sqrt{2}$.

Báðar lausnirnar uppfylla upphaflegu jöfnuna.

Aðferð

1. Einangraðu annars stigs liðinn og gerðu stuðul hans 1.
2. Notaðu regluna um ferningsrætur.
3. Einfaldaðu rótina.
4. Athugaðu lausnirnar.

Dæmi 3

Leysum $3z^2=108$.

Lausnirnar eru $z=6$ eða $z=-6$.

Prófaðu

Leystu jöfnurnar með reglunni um ferningsrætur.

1. $2n^2=98$
2. $\frac{n^2}{2}-30=68$

Lausn

Hér er hvernig má leysa þessar annars stigs jöfnur með reglunni um ferningsrætur:

$$\begin{array}{rcl}2n^2& =& 98\\ \frac{2n^2}{2}& =& \frac{98}{2}\\ n^2& =& 49\\ n& =& \pm \sqrt{49}\\ n& =& 7\text{og}n=-7\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}\frac{n^2}{2}-30& =& 68\\ \frac{n^2}{2}& =& 98\\ n^2& =& 196\\ n& =& \pm \sqrt{196}\\ n& =& 14\text{og}n=-14\end{array}$$