88.3 Leysa annars stigs jöfnur með röksemdafærslu

8.3.2 Að þekkja lausnapör

8.3.2 • Að þekkja lausnapör

Verkefni

Heil tala sem hefur tvo jafna þætti kallast ferningstala. Jafni þátturinn sem margfaldaður er með sjálfum sér til að fá töluna kallast ferningsrót tölunnar.

Til dæmis er 3 ferningsrót af 9 því:

3 · 3 = 9

Regla um ferningsrætur

Ef ferningsveldi breytu er jafnt jákvæðri tölu k, þá eru lausnirnar jákvæða og neikvæða ferningsrótin.

x² = k

x = √k og x = −√k → x = ±√k

Hver af eftirfarandi jöfnum hefur tvær lausnir. Notaðu þekkingu þína á ferningsrótum og reglunni um ferningsrætur. Hverjar eru lausnirnar? Útskýrðu eða sýndu rökstuðning þinn.

1

n² + 4 = 404

n² = 400

n = ±√400

n = 20 og n = −20

Því eru lausnirnar 20 og −20.

2

432 = 3n²

n² = 144

n = ±√144

n = 12 og n = −12

3

n²/5 − 20 = 0

n² = 100

n = ±√100

n = 10 og n = −10

4

2n² − 7 = 65

n² = 36

n = ±√36

n = 6 og n = −6

Útvíkkun

Skoðaðu hversu margar lausnir jafna hefur þegar fleiri en tveir þættir eru margfaldaðir saman og margfeldið er 0.

Hversu margar lausnir hefur jafnan? Hverjar eru lausnirnar?

Lausn

(x − 3)(x + 1)(x + 5) = 0

Þrjár lausnir.

x = 3, x = −1 og x = −5

Hversu margar lausnir hefur jafnan? Hverjar eru lausnirnar?

Lausn

(x − 2)(x − 7)(x − 2) = 0

Tvær ólíkar lausnir, því þátturinn x − 2 kemur fyrir tvisvar.

x = 2 og x = 7

Ritaðu nýja jöfnu sem hefur 10 lausnir. Eitt mögulegt svar er:

Lausn

(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6)(x − 7)(x − 8)(x − 9)(x − 10) = 0

Athugaðu skilning þinn

Leystu fyrir p. Finndu allar lausnir.

3p² + 8 = 251

p² = 81

p = 9 og p = −9

p = 9 og p = −9
p = 11
p = 11 og p = −11
p = 9

Ítarefni: Að leysa annars stigs jöfnur með reglunni um ferningsrætur

Reglan um ferningsrætur gefur tvær lausnir fyrir jöfnu af gerðinni x² = k: jákvæðu ferningsrótina af k og gagntölu hennar.

x = ±√k

Dæmi 1

Leysum jöfnuna með reglunni um ferningsrætur.

x² = 9

x = ±√9

x = ±3

x = 3 og x = −3

Dæmi 2

Leysum jöfnuna og einföldum rótina.

x² − 50 = 0

x² = 50

x = ±√50

x = ±√(25 · 2)

x = ±5√2

x = 5√2 eða x = −5√2

Báðar lausnirnar uppfylla upphaflegu jöfnuna.

(5√2)² − 50 = 0

(−5√2)² − 50 = 0

Aðferð

Einangraðu annars stigs liðinn og gerðu stuðul hans 1.
Notaðu regluna um ferningsrætur.
Einfaldaðu rótina.
Athugaðu lausnirnar.

Dæmi 3

3z² = 108

z² = 36

z = ±√36

z = 6 eða z = −6

3(6)² = 108

3(−6)² = 108

88.3 Leysa annars stigs jöfnur með röksemdafærslu

8.3.2 Að þekkja lausnapör

8.3.2 • Að þekkja lausnapör

Verkefni

Heil tala sem hefur tvo jafna þætti kallast ferningstala. Jafni þátturinn sem margfaldaður er með sjálfum sér til að fá töluna kallast ferningsrót tölunnar.

Til dæmis er 3 ferningsrót af 9 því:

3 · 3 = 9

Regla um ferningsrætur

Ef ferningsveldi breytu er jafnt jákvæðri tölu k, þá eru lausnirnar jákvæða og neikvæða ferningsrótin.

x² = k

x = √k og x = −√k → x = ±√k

Hver af eftirfarandi jöfnum hefur tvær lausnir. Notaðu þekkingu þína á ferningsrótum og reglunni um ferningsrætur. Hverjar eru lausnirnar? Útskýrðu eða sýndu rökstuðning þinn.

1

n² + 4 = 404

n² = 400

n = ±√400

n = 20 og n = −20

Því eru lausnirnar 20 og −20.

2

432 = 3n²

n² = 144

n = ±√144

n = 12 og n = −12

3

n²/5 − 20 = 0

n² = 100

n = ±√100

n = 10 og n = −10

4

2n² − 7 = 65

n² = 36

n = ±√36

n = 6 og n = −6

Útvíkkun

Skoðaðu hversu margar lausnir jafna hefur þegar fleiri en tveir þættir eru margfaldaðir saman og margfeldið er 0.

Hversu margar lausnir hefur jafnan? Hverjar eru lausnirnar?

Lausn

(x − 3)(x + 1)(x + 5) = 0

Þrjár lausnir.

x = 3, x = −1 og x = −5

Hversu margar lausnir hefur jafnan? Hverjar eru lausnirnar?

Lausn

(x − 2)(x − 7)(x − 2) = 0

Tvær ólíkar lausnir, því þátturinn x − 2 kemur fyrir tvisvar.

x = 2 og x = 7

Ritaðu nýja jöfnu sem hefur 10 lausnir. Eitt mögulegt svar er:

Lausn

(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6)(x − 7)(x − 8)(x − 9)(x − 10) = 0

Athugaðu skilning þinn

Leystu fyrir p. Finndu allar lausnir.

3p² + 8 = 251

p² = 81

p = 9 og p = −9

p = 9 og p = −9
p = 11
p = 11 og p = −11
p = 9

Ítarefni: Að leysa annars stigs jöfnur með reglunni um ferningsrætur

Reglan um ferningsrætur gefur tvær lausnir fyrir jöfnu af gerðinni x² = k: jákvæðu ferningsrótina af k og gagntölu hennar.

x = ±√k

Dæmi 1

Leysum jöfnuna með reglunni um ferningsrætur.

x² = 9

x = ±√9

x = ±3

x = 3 og x = −3

Dæmi 2

Leysum jöfnuna og einföldum rótina.

x² − 50 = 0

x² = 50

x = ±√50

x = ±√(25 · 2)

x = ±5√2

x = 5√2 eða x = −5√2

Báðar lausnirnar uppfylla upphaflegu jöfnuna.

(5√2)² − 50 = 0

(−5√2)² − 50 = 0

Aðferð

Einangraðu annars stigs liðinn og gerðu stuðul hans 1.
Notaðu regluna um ferningsrætur.
Einfaldaðu rótina.
Athugaðu lausnirnar.

Dæmi 3

3z² = 108

z² = 36

z = ±√36

z = 6 eða z = −6

3(6)² = 108

3(−6)² = 108