77.8 Jafngildar annars stigs stæður

7.8.3 Skýringarmyndir notaðar til að finna jafngildar annars stigs stæður

7.8.3 • Skýringarmyndir notaðar til að finna jafngildar annars stigs stæður

Verkefni

Hér er flatarmálsmynd af rétthyrningi með hliðarlengdirnar

x + 1

x + 3

Notaðu myndina til að sýna að

(x + 1) (x + 3)

x^{2} + 4 x + 3

eru jafngildar stæður.

Flatarmálsmynd sýnir rétthyrning sem er skipt með lóðréttri og láréttri línu í fjóra minni rétthyrninga. Efst til vinstri er hlið merkt x og efst til hægri er hlið merkt 3. Vinstra megin er efri hliðarlengd merkt x og neðri hliðarlengd merkt 1. Flatarmálin inni í rétthyrningnum eru ekki enn merkt.

Lausn

þetta:

Flatarmálsmynd sýnir sama rétthyrning skiptan í fjóra hluta. Efsti vinstri hlutinn, afmarkaður af x og x, er merktur x². Efsti hægri hlutinn undir 3 er merktur 3x. Neðst til vinstri er hlutinn merktur x og neðst til hægri er hlutinn merktur 3.

x \cdot x = x^{2}

1 \cdot x = x

x \cdot 3 = 3 x

1 \cdot 3 = 3

Þegar þetta er lagt saman fæst

x^{2} + 4 x + 3

Teiknaðu myndir sem hjálpa þér að rita jafngilda stæðu fyrir hvert eftirfarandi dæma.

{(x + 5)}^{2}

Lausn

þetta:

Myndin ætti að sýna hlutmargfeldi sem leggjast saman í

x^{2} + 10 x + 25

2 x (x + 4)

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Myndin ætti að sýna hlutmargfeldi sem leggjast saman í

2 x^{2} + 8 x

(2 x + 1) (x + 3)

Lausn

þetta:

Myndin ætti að sýna hlutmargfeldi sem leggjast saman í

2 x^{2} + 7 x + 3

(x + m) (x + n)

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Myndin ætti að sýna hlutmargfeldi sem leggjast saman í

x^{2} + x n + m x + m n

eða

x^{2} + (m + n) x + m n

Ritaðu jafngilda stæðu fyrir hverja stæðu án þess að teikna mynd. Notaðu dreifiregluna til hjálpar. Mundu FOIL-aðferðina við margföldun tvíliða: margfaldaðu fyrstu liðina, ytri liðina, innri liðina og síðustu liðina.

(x + 2) (x + 6)

Lausn

þetta:

x^{2} + 8 x + 12

(x + 5) (2 x + 10)

Berðu svarið þitt saman við þetta:

2 x^{2} + 20 x + 50

Dýpkun

Að víkka hugsunina

Mynd 1

Mynd 2

Eru mynd 1 og mynd 2 jafngildar? Útskýrðu eða sýndu rökstuðning þinn.

Lausn

þetta:

Já, vegna þess að

x \cdot x + 5 (1 x) + 6 (1) = (x + 2) (x + 3)

Hvað segir þetta þér um jafngilda stæðu fyrir

x^{2} + 5 x + 6

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Þetta sýnir að jafngild stæða er

(x + 2) (x + 3)

Er hægt að nota annan fjölda af 1 × 1 ferningum, þó ekki núll, þannig að raða megi sameinuðu myndunum í einn stóran rétthyrning?

Lausn

þetta:

Við gætum notað fjóra 1 × 1 ferninga. Þá fengist stæðan

x^{2} + 5 x + 4

Rétthyrningurinn væri

(x + 4) (x + 1)

Algebrulíkansreitum er raðað í rétthyrning. Neðst er einn annars stigs reitur merktur x á tveimur hliðum. Fjórir línulegir reitir liggja lárétt fyrir ofan hann og einn línulegur reitur liggur lóðrétt vinstra megin. Fjórir einingarreitir fylla hornið svo úr verður rétthyrningur.

Myndband: Skýringarmyndir notaðar til að finna jafngildar annars stigs stæður

Horfðu á myndbandið til að læra meira um að nota skýringarmyndir til að finna jafngildar annars stigs stæður.

Viðbótarefni

Margföldun tvíliða

Ritaðu stæðu sem er jafngild

(x + 2) (x + 5)

Skref 1 - Dreifðu. Notaðu FOIL-aðferðina: margfaldaðu fyrstu liðina, ytri liðina, innri liðina og síðustu liðina.

Skref 2 - Skrifaðu liðina fjóra.

x^{2} + 5 x + 2 x + 10

Skref 3 - Dragðu saman líka liði.

x^{2} + 7 x + 10

77.8 Jafngildar annars stigs stæður

7.8.3 Skýringarmyndir notaðar til að finna jafngildar annars stigs stæður

7.8.3 • Skýringarmyndir notaðar til að finna jafngildar annars stigs stæður

Verkefni

Hér er flatarmálsmynd af rétthyrningi með hliðarlengdirnar

x + 1

x + 3

Notaðu myndina til að sýna að

(x + 1) (x + 3)

x^{2} + 4 x + 3

eru jafngildar stæður.

Lausn

þetta:

x \cdot x = x^{2}

1 \cdot x = x

x \cdot 3 = 3 x

1 \cdot 3 = 3

Þegar þetta er lagt saman fæst

x^{2} + 4 x + 3

Teiknaðu myndir sem hjálpa þér að rita jafngilda stæðu fyrir hvert eftirfarandi dæma.

{(x + 5)}^{2}

Lausn

þetta:

Myndin ætti að sýna hlutmargfeldi sem leggjast saman í

x^{2} + 10 x + 25

2 x (x + 4)

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Myndin ætti að sýna hlutmargfeldi sem leggjast saman í

2 x^{2} + 8 x

(2 x + 1) (x + 3)

Lausn

þetta:

Myndin ætti að sýna hlutmargfeldi sem leggjast saman í

2 x^{2} + 7 x + 3

(x + m) (x + n)

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Myndin ætti að sýna hlutmargfeldi sem leggjast saman í

x^{2} + x n + m x + m n

eða

x^{2} + (m + n) x + m n

(x + 2) (x + 6)

Lausn

þetta:

x^{2} + 8 x + 12

(x + 5) (2 x + 10)

Berðu svarið þitt saman við þetta:

2 x^{2} + 20 x + 50

Dýpkun

Að víkka hugsunina

Mynd 1

Mynd 2

Eru mynd 1 og mynd 2 jafngildar? Útskýrðu eða sýndu rökstuðning þinn.

Lausn

þetta:

Já, vegna þess að

x \cdot x + 5 (1 x) + 6 (1) = (x + 2) (x + 3)

Hvað segir þetta þér um jafngilda stæðu fyrir

x^{2} + 5 x + 6

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Þetta sýnir að jafngild stæða er

(x + 2) (x + 3)

Er hægt að nota annan fjölda af 1 × 1 ferningum, þó ekki núll, þannig að raða megi sameinuðu myndunum í einn stóran rétthyrning?

Lausn

þetta:

Við gætum notað fjóra 1 × 1 ferninga. Þá fengist stæðan

x^{2} + 5 x + 4

Rétthyrningurinn væri

(x + 4) (x + 1)

Myndband: Skýringarmyndir notaðar til að finna jafngildar annars stigs stæður

Horfðu á myndbandið til að læra meira um að nota skýringarmyndir til að finna jafngildar annars stigs stæður.

Viðbótarefni

Margföldun tvíliða

Ritaðu stæðu sem er jafngild

(x + 2) (x + 5)

Skref 1 - Dreifðu. Notaðu FOIL-aðferðina: margfaldaðu fyrstu liðina, ytri liðina, innri liðina og síðustu liðina.

Skref 2 - Skrifaðu liðina fjóra.

x^{2} + 5 x + 2 x + 10

Skref 3 - Dragðu saman líka liði.

x^{2} + 7 x + 10