77.8 Jafngildar annars stigs stæður

7.8.3 Skýringarmyndir notaðar til að finna jafngildar annars stigs stæður

Verkefni

1. Hér er flatarmálsmynd af rétthyrningi með hliðarlengdirnar $x + 1$ og $x + 3$ . Notaðu myndina til að sýna að $(x + 1) (x + 3)$ og $x^{2} + 4 x + 3$ eru jafngildar stæður.

Flatarmálsmynd sýnir rétthyrning sem er skipt með lóðréttri og láréttri línu í fjóra minni rétthyrninga. Efst til vinstri er hlið merkt x og efst til hægri er hlið merkt 3. Vinstra megin er efri hliðarlengd merkt x og neðri hliðarlengd merkt 1. Flatarmálin inni í rétthyrningnum eru ekki enn merkt.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Flatarmálsmynd sýnir sama rétthyrning skiptan í fjóra hluta. Efsti vinstri hlutinn, afmarkaður af x og x, er merktur x². Efsti hægri hlutinn undir 3 er merktur 3x. Neðst til vinstri er hlutinn merktur x og neðst til hægri er hlutinn merktur 3.

$x \cdot x = x^{2}$

$1 \cdot x = x$

$x \cdot 3 = 3 x$

$1 \cdot 3 = 3$

Þegar þetta er lagt saman fæst $x^{2} + 4 x + 3$ .

2. Teiknaðu myndir sem hjálpa þér að rita jafngilda stæðu fyrir hvert eftirfarandi dæma.

a. ${(x + 5)}^{2}$

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: Myndin ætti að sýna hlutmargfeldi sem leggjast saman í $x^{2} + 10 x + 25$ .

b. $2 x (x + 4)$

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: Myndin ætti að sýna hlutmargfeldi sem leggjast saman í $2 x^{2} + 8 x$ .

c. $(2 x + 1) (x + 3)$

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: Myndin ætti að sýna hlutmargfeldi sem leggjast saman í $2 x^{2} + 7 x + 3$ .

d. $(x + m) (x + n)$

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: Myndin ætti að sýna hlutmargfeldi sem leggjast saman í $x^{2} + x n + m x + m n$ eða $x^{2} + (m + n) x + m n$ .

3. Ritaðu jafngilda stæðu fyrir hverja stæðu án þess að teikna mynd. Notaðu dreifiregluna til hjálpar. Mundu FOIL-aðferðina við margföldun tvíliða: margfaldaðu fyrstu liðina, ytri liðina, innri liðina og síðustu liðina.

a. $(x + 2) (x + 6)$

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: $x^{2} + 8 x + 12$

b. $(x + 5) (2 x + 10)$

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: $2 x^{2} + 20 x + 50$

Að víkka hugsunina

Mynd 1

Mynd 2

Eru mynd 1 og mynd 2 jafngildar? Útskýrðu eða sýndu rökstuðning þinn.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: Já, vegna þess að $x \cdot x + 5 (1 x) + 6 (1) = (x + 2) (x + 3)$ .

Hvað segir þetta þér um jafngilda stæðu fyrir $x^{2} + 5 x + 6$ ?

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: Þetta sýnir að jafngild stæða er $(x + 2) (x + 3)$ .

Er hægt að nota annan fjölda af 1 $\times ⁠$ 1 ferningum, þó ekki núll, þannig að raða megi sameinuðu myndunum í einn stóran rétthyrning?

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: Við gætum notað fjóra 1 $\times ⁠$ 1 ferninga. Þá fengist stæðan $x^{2} + 5 x + 4$ . Rétthyrningurinn væri $(x + 4) (x + 1)$ .

Algebrulíkansreitum er raðað í rétthyrning. Neðst er einn annars stigs reitur merktur x á tveimur hliðum. Fjórir línulegir reitir liggja lárétt fyrir ofan hann og einn línulegur reitur liggur lóðrétt vinstra megin. Fjórir einingarreitir fylla hornið svo úr verður rétthyrningur.

Myndband: Skýringarmyndir notaðar til að finna jafngildar annars stigs stæður

Horfðu á myndbandið til að læra meira um að nota skýringarmyndir til að finna jafngildar annars stigs stæður.

Viðbótarefni

Margföldun tvíliða

Ritaðu stæðu sem er jafngild $(x + 2) (x + 5)$ .

Skref 1 - Dreifðu. Notaðu FOIL-aðferðina: margfaldaðu fyrstu liðina, ytri liðina, innri liðina og síðustu liðina.

Skýringarmynd sýnir stæðuna x + 2 margfaldaða með stæðunni x + 5. Rauðar örvar sýna ytri dreifingu frá x í fyrsta tvíliðnum að x og 5 í seinni tvíliðnum. Bláar örvar sýna dreifingu frá 2 að x og 5.

Skref 2 - Skrifaðu liðina fjóra.

$x^{2} + 5 x + 2 x + 10$

Skref 3 - Dragðu saman líka liði.

$x^{2} + 7 x + 10$

7.8.3 Skýringarmyndir notaðar til að finna jafngildar annars stigs stæður

Verkefni

1. Hér er flatarmálsmynd af rétthyrningi með hliðarlengdirnar $x + 1$ og $x + 3$ . Notaðu myndina til að sýna að $(x + 1) (x + 3)$ og $x^{2} + 4 x + 3$ eru jafngildar stæður.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

$x \cdot x = x^{2}$

$1 \cdot x = x$

$x \cdot 3 = 3 x$

$1 \cdot 3 = 3$

Þegar þetta er lagt saman fæst $x^{2} + 4 x + 3$ .

2. Teiknaðu myndir sem hjálpa þér að rita jafngilda stæðu fyrir hvert eftirfarandi dæma.

a. ${(x + 5)}^{2}$

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: Myndin ætti að sýna hlutmargfeldi sem leggjast saman í $x^{2} + 10 x + 25$ .

b. $2 x (x + 4)$

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: Myndin ætti að sýna hlutmargfeldi sem leggjast saman í $2 x^{2} + 8 x$ .

c. $(2 x + 1) (x + 3)$

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: Myndin ætti að sýna hlutmargfeldi sem leggjast saman í $2 x^{2} + 7 x + 3$ .

d. $(x + m) (x + n)$

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: Myndin ætti að sýna hlutmargfeldi sem leggjast saman í $x^{2} + x n + m x + m n$ eða $x^{2} + (m + n) x + m n$ .

a. $(x + 2) (x + 6)$

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: $x^{2} + 8 x + 12$

b. $(x + 5) (2 x + 10)$

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: $2 x^{2} + 20 x + 50$

Að víkka hugsunina

Mynd 1

Mynd 2

Eru mynd 1 og mynd 2 jafngildar? Útskýrðu eða sýndu rökstuðning þinn.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: Já, vegna þess að $x \cdot x + 5 (1 x) + 6 (1) = (x + 2) (x + 3)$ .

Hvað segir þetta þér um jafngilda stæðu fyrir $x^{2} + 5 x + 6$ ?

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: Þetta sýnir að jafngild stæða er $(x + 2) (x + 3)$ .

Er hægt að nota annan fjölda af 1 $\times ⁠$ 1 ferningum, þó ekki núll, þannig að raða megi sameinuðu myndunum í einn stóran rétthyrning?

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: Við gætum notað fjóra 1 $\times ⁠$ 1 ferninga. Þá fengist stæðan $x^{2} + 5 x + 4$ . Rétthyrningurinn væri $(x + 4) (x + 1)$ .

Myndband: Skýringarmyndir notaðar til að finna jafngildar annars stigs stæður

Horfðu á myndbandið til að læra meira um að nota skýringarmyndir til að finna jafngildar annars stigs stæður.

Viðbótarefni

Margföldun tvíliða

Ritaðu stæðu sem er jafngild $(x + 2) (x + 5)$ .

Skref 1 - Dreifðu. Notaðu FOIL-aðferðina: margfaldaðu fyrstu liðina, ytri liðina, innri liðina og síðustu liðina.

Skref 2 - Skrifaðu liðina fjóra.

$x^{2} + 5 x + 2 x + 10$

Skref 3 - Dragðu saman líka liði.

$x^{2} + 7 x + 10$