77.5 Smíði annars stigs falla til að lýsa aðstæðum, 1. hluti

7.5.3 Vegalengd sem annars stigs fall af liðnum tíma

Verkefni

Galileo Galilei, ítalskur vísindamaður, og aðrir fræðimenn fyrri alda rannsökuðu hreyfingu hluta í frjálsu falli. Lögmálið sem þeir settu fram má lýsa með jöfnunni: $d equals 16 t squared$

Jafnan gefur vegalengdina, í fetum, sem hlutur hefur fallið sem fall af $t$ íma $t$ í sekúndum.

Hlutur er látinn falla úr 576 feta hæð.

1. Hversu mörg fet fellur hann á 0,5 sekúndum?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Hann fellur 4 fet á 0,5 sekúndum vegna þess að: $16 {(0,5)}^{2} = 4$ .

2. Til að finna hvar hluturinn er fyrstu sekúndurnar eftir að honum var sleppt bjuggu Elena og Diego til mismunandi töflur.

Tafla Elenu:

Tími (sekúndur)	Vegalengd sem hluturinn hefur fallið (fet)
0	0
1	16
2	64
3
4
$t$

Tafla Diego:

Tími (sekúndur)	Hæð yfir jörðu (fet)
0	576
1	560
2	512
3
4
$t$

a. Hvernig eru töflurnar tvær líkar?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Í báðum $t$ öflum er $t$ ími í sekúndum paraður við vegalengd í fetum. Báðar sýna $t$ ímana 0 til 4 sekúndur og almenna $t$ ímann $t$ . Báðar lýsa sama hlutnum sem fellur.

b. Hvernig eru töflurnar tvær ólíkar?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Tafla Elenu sýnir vegalengdina sem hluturinn hefur fallið, en tafla Diego sýnir hæð hlutarins yfir jörðu. Töflurnar nota því ólík viðmið: Tafla Elenu byrjar í 0 fetum við 0 sekúndur, en tafla Diego byrjar í 576 fetum við 0 sekúndur.

3. Fylltu út töflu Elenu. Útskýrðu rökstuðninginn.

a. Hversu langt hefur hluturinn fallið 3 sekúndum eftir að honum var sleppt?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: 144 fet. Hluturinn hefur fallið 144 fet eftir 3 sekúndur.

b. Hversu langt hefur hluturinn fallið 4 sekúndum eftir að honum var sleppt?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: 256 fet. Hluturinn hefur fallið 256 fet eftir 4 sekúndur.

c. Hversu langt hefur hluturinn fallið $t$ sekúndum eftir að honum var sleppt?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: $16 t squared$

4. Fylltu út töflu Diego. Útskýrðu rökstuðninginn.

a. Hver er hæð hlutarins yfir jörðu 3 sekúndum eftir að honum var sleppt?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: 432 fet. Hluturinn er 432 fet yfir jörðu eftir 3 sekúndur.

b. Hver er hæð hlutarins yfir jörðu 4 sekúndum eftir að honum var sleppt?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: 320 fet. Hluturinn er 320 fet yfir jörðu eftir 4 sekúndur.

c. Hver er hæð hlutarins yfir jörðu $t$ sekúndum eftir að honum var sleppt?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: $576 minus 16 t squared$

Myndband: Vegalengd sem annars stigs fall af liðnum tíma

Horfðu á myndbandið til að læra meira um annars stigs föll.

Viðbótarefni

Hæð sem annars stigs fall

Almenna formúlan fyrir hæð hlutar í frjálsu falli er: $h (t) = - 16 t^{2} + v_{0} t + h_{0}$

Stuðullinn −16 kemur frá lögmálum Newtons og þyngdarhröðun jarðar. Í þessari formúlu er hann notaður með einingunni fet/sekúndu².

$v_{0}$ v₀ er lóðréttur upphafshraði hlutarins. Ef hlutnum er einfaldlega sleppt er lóðrétti upphafshraðinn 0. Ef hlutnum væri kastað upp á við væri gildið jákvætt; ef honum væri kastað niður væri gildið neikvætt.

$h_{0}$ h₀ er upphafshæð hlutarins.

Maður missir lyklana sína frá veitingastað efst í 196 feta hárri byggingu. Ef lyklarnir eru í frjálsu falli, ná þeir til jarðar innan 3 sekúndna?

Ritaðu jöfnu fyrir hæðina á $t$ ímanum $t$ . $h (t) = 196 - 16 t^{2}$
Settu $t$ =3 inn í fallið. $t equals 3$

$h (3) = 196 - 16 {(3)}^{2}$

Skref 3: Reiknaðu gildið. $h (3) = 196 - 144 = 52$

Þegar $t$ =3 sekúndur eiga lyklarnir enn 52 fet eftir til jarðar.

7.5.3 Vegalengd sem annars stigs fall af liðnum tíma

Verkefni

Jafnan gefur vegalengdina, í fetum, sem hlutur hefur fallið sem fall af $t$ íma $t$ í sekúndum.

Hlutur er látinn falla úr 576 feta hæð.

1. Hversu mörg fet fellur hann á 0,5 sekúndum?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Hann fellur 4 fet á 0,5 sekúndum vegna þess að: $16 {(0,5)}^{2} = 4$ .

2. Til að finna hvar hluturinn er fyrstu sekúndurnar eftir að honum var sleppt bjuggu Elena og Diego til mismunandi töflur.

Tafla Elenu:

Tími (sekúndur)	Vegalengd sem hluturinn hefur fallið (fet)
0	0
1	16
2	64
3
4
$t$

Tafla Diego:

Tími (sekúndur)	Hæð yfir jörðu (fet)
0	576
1	560
2	512
3
4
$t$

a. Hvernig eru töflurnar tvær líkar?

Lausn

b. Hvernig eru töflurnar tvær ólíkar?

Lausn

3. Fylltu út töflu Elenu. Útskýrðu rökstuðninginn.

a. Hversu langt hefur hluturinn fallið 3 sekúndum eftir að honum var sleppt?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: 144 fet. Hluturinn hefur fallið 144 fet eftir 3 sekúndur.

b. Hversu langt hefur hluturinn fallið 4 sekúndum eftir að honum var sleppt?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: 256 fet. Hluturinn hefur fallið 256 fet eftir 4 sekúndur.

c. Hversu langt hefur hluturinn fallið $t$ sekúndum eftir að honum var sleppt?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: $16 t squared$

4. Fylltu út töflu Diego. Útskýrðu rökstuðninginn.

a. Hver er hæð hlutarins yfir jörðu 3 sekúndum eftir að honum var sleppt?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: 432 fet. Hluturinn er 432 fet yfir jörðu eftir 3 sekúndur.

b. Hver er hæð hlutarins yfir jörðu 4 sekúndum eftir að honum var sleppt?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: 320 fet. Hluturinn er 320 fet yfir jörðu eftir 4 sekúndur.

c. Hver er hæð hlutarins yfir jörðu $t$ sekúndum eftir að honum var sleppt?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: $576 minus 16 t squared$

Myndband: Vegalengd sem annars stigs fall af liðnum tíma

Horfðu á myndbandið til að læra meira um annars stigs föll.

Viðbótarefni

Hæð sem annars stigs fall

Almenna formúlan fyrir hæð hlutar í frjálsu falli er: $h (t) = - 16 t^{2} + v_{0} t + h_{0}$

Stuðullinn −16 kemur frá lögmálum Newtons og þyngdarhröðun jarðar. Í þessari formúlu er hann notaður með einingunni fet/sekúndu².

$h_{0}$ h₀ er upphafshæð hlutarins.

Maður missir lyklana sína frá veitingastað efst í 196 feta hárri byggingu. Ef lyklarnir eru í frjálsu falli, ná þeir til jarðar innan 3 sekúndna?

Ritaðu jöfnu fyrir hæðina á $t$ ímanum $t$ . $h (t) = 196 - 16 t^{2}$
Settu $t$ =3 inn í fallið. $t equals 3$

$h (3) = 196 - 16 {(3)}^{2}$

Skref 3: Reiknaðu gildið. $h (3) = 196 - 144 = 52$

Þegar $t$ =3 sekúndur eiga lyklarnir enn 52 fet eftir til jarðar.