77.5 Smíði annars stigs falla til að lýsa aðstæðum, 1. hluti

7.5.3 Vegalengd sem annars stigs fall af liðnum tíma

7.5.3 • Vegalengd sem annars stigs fall af liðnum tíma

Verkefni

Galileo Galilei, ítalskur vísindamaður, og aðrir fræðimenn fyrri alda rannsökuðu hreyfingu hluta í frjálsu falli. Lögmálið sem þeir settu fram má lýsa með jöfnunni:

d = 16 t^{2}

Jafnan gefur vegalengdina, í fetum, sem hlutur hefur fallið sem fall af tíma t í sekúndum.

Hlutur er látinn falla úr 576 feta hæð.

Hversu mörg fet fellur hann á 0,5 sekúndum?

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Hann fellur 4 fet á 0,5 sekúndum vegna þess að:

16 {(0,5)}^{2} = 4

Til að finna hvar hluturinn er fyrstu sekúndurnar eftir að honum var sleppt bjuggu Elena og Diego til mismunandi töflur.

Lausn

Tafla Elenu:

Tími (sekúndur)	Vegalengd sem hluturinn hefur fallið (fet)
0	0
1	16
2	64
3
4
t

Tafla Diego:

Tími (sekúndur)	Hæð yfir jörðu (fet)
0	576
1	560
2	512
3
4
t

a. Hvernig eru töflurnar tvær líkar?

Berðu saman svarið þitt:

Í báðum töflum er tími í sekúndum paraður við vegalengd í fetum. Báðar sýna tímana 0 til 4 sekúndur og almenna tímann t. Báðar lýsa sama hlutnum sem fellur.

b. Hvernig eru töflurnar tvær ólíkar?

Berðu saman svarið þitt:

Tafla Elenu sýnir vegalengdina sem hluturinn hefur fallið, en tafla Diego sýnir hæð hlutarins yfir jörðu. Töflurnar nota því ólík viðmið: Tafla Elenu byrjar í 0 fetum við 0 sekúndur, en tafla Diego byrjar í 576 fetum við 0 sekúndur.

Fylltu út töflu Elenu. Útskýrðu rökstuðninginn.

Lausn

a. Hversu langt hefur hluturinn fallið 3 sekúndum eftir að honum var sleppt?

Berðu saman svarið þitt: 144 fet. Hluturinn hefur fallið 144 fet eftir 3 sekúndur.

b. Hversu langt hefur hluturinn fallið 4 sekúndum eftir að honum var sleppt?

Berðu saman svarið þitt: 256 fet. Hluturinn hefur fallið 256 fet eftir 4 sekúndur.

c. Hversu langt hefur hluturinn fallið t sekúndum eftir að honum var sleppt?

Berðu saman svarið þitt:

16 t^{2}

Fylltu út töflu Diego. Útskýrðu rökstuðninginn.

Lausn

a. Hver er hæð hlutarins yfir jörðu 3 sekúndum eftir að honum var sleppt?

Berðu saman svarið þitt: 432 fet. Hluturinn er 432 fet yfir jörðu eftir 3 sekúndur.

b. Hver er hæð hlutarins yfir jörðu 4 sekúndum eftir að honum var sleppt?

Berðu saman svarið þitt: 320 fet. Hluturinn er 320 fet yfir jörðu eftir 4 sekúndur.

c. Hver er hæð hlutarins yfir jörðu t sekúndum eftir að honum var sleppt?

Berðu saman svarið þitt:

576 - 16 t^{2}

Myndband: Vegalengd sem annars stigs fall af liðnum tíma

Horfðu á myndbandið til að læra meira um annars stigs föll.

Viðbótarefni

Hæð sem annars stigs fall

Almenna formúlan fyrir hæð hlutar í frjálsu falli er:

h (t) = - 16 t^{2} + v_{0} t + h_{0}

Stuðullinn −16 kemur frá lögmálum Newtons og þyngdarhröðun jarðar. Í þessari formúlu er hann notaður með einingunni fet/sekúndu².

v_{0}

v₀ er lóðréttur upphafshraði hlutarins. Ef hlutnum er einfaldlega sleppt er lóðrétti upphafshraðinn 0. Ef hlutnum væri kastað upp á við væri gildið jákvætt; ef honum væri kastað niður væri gildið neikvætt.

h_{0}

h₀ er upphafshæð hlutarins.

Maður missir lyklana sína frá veitingastað efst í 196 feta hárri byggingu. Ef lyklarnir eru í frjálsu falli, ná þeir til jarðar innan 3 sekúndna?

Ritaðu jöfnu fyrir hæðina á tímanum t.
$h (t) = 196 - 16 t^{2}$
Settu t=3 inn í fallið.
$t = 3$
$h (3) = 196 - 16 {(3)}^{2}$
Reiknaðu gildið.
$h (3) = 196 - 144 = 52$

Þegar t=3 sekúndur eiga lyklarnir enn 52 fet eftir til jarðar.

77.5 Smíði annars stigs falla til að lýsa aðstæðum, 1. hluti

7.5.3 Vegalengd sem annars stigs fall af liðnum tíma

7.5.3 • Vegalengd sem annars stigs fall af liðnum tíma

Verkefni

Galileo Galilei, ítalskur vísindamaður, og aðrir fræðimenn fyrri alda rannsökuðu hreyfingu hluta í frjálsu falli. Lögmálið sem þeir settu fram má lýsa með jöfnunni:

d = 16 t^{2}

Jafnan gefur vegalengdina, í fetum, sem hlutur hefur fallið sem fall af tíma t í sekúndum.

Hlutur er látinn falla úr 576 feta hæð.

Hversu mörg fet fellur hann á 0,5 sekúndum?

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Hann fellur 4 fet á 0,5 sekúndum vegna þess að:

16 {(0,5)}^{2} = 4

Til að finna hvar hluturinn er fyrstu sekúndurnar eftir að honum var sleppt bjuggu Elena og Diego til mismunandi töflur.

Lausn

Tafla Elenu:

Tími (sekúndur)	Vegalengd sem hluturinn hefur fallið (fet)
0	0
1	16
2	64
3
4
t

Tafla Diego:

Tími (sekúndur)	Hæð yfir jörðu (fet)
0	576
1	560
2	512
3
4
t

a. Hvernig eru töflurnar tvær líkar?

Berðu saman svarið þitt:

Í báðum töflum er tími í sekúndum paraður við vegalengd í fetum. Báðar sýna tímana 0 til 4 sekúndur og almenna tímann t. Báðar lýsa sama hlutnum sem fellur.

b. Hvernig eru töflurnar tvær ólíkar?

Berðu saman svarið þitt:

Fylltu út töflu Elenu. Útskýrðu rökstuðninginn.

Lausn

a. Hversu langt hefur hluturinn fallið 3 sekúndum eftir að honum var sleppt?

Berðu saman svarið þitt: 144 fet. Hluturinn hefur fallið 144 fet eftir 3 sekúndur.

b. Hversu langt hefur hluturinn fallið 4 sekúndum eftir að honum var sleppt?

Berðu saman svarið þitt: 256 fet. Hluturinn hefur fallið 256 fet eftir 4 sekúndur.

c. Hversu langt hefur hluturinn fallið t sekúndum eftir að honum var sleppt?

Berðu saman svarið þitt:

16 t^{2}

Fylltu út töflu Diego. Útskýrðu rökstuðninginn.

Lausn

a. Hver er hæð hlutarins yfir jörðu 3 sekúndum eftir að honum var sleppt?

Berðu saman svarið þitt: 432 fet. Hluturinn er 432 fet yfir jörðu eftir 3 sekúndur.

b. Hver er hæð hlutarins yfir jörðu 4 sekúndum eftir að honum var sleppt?

Berðu saman svarið þitt: 320 fet. Hluturinn er 320 fet yfir jörðu eftir 4 sekúndur.

c. Hver er hæð hlutarins yfir jörðu t sekúndum eftir að honum var sleppt?

Berðu saman svarið þitt:

576 - 16 t^{2}

Myndband: Vegalengd sem annars stigs fall af liðnum tíma

Horfðu á myndbandið til að læra meira um annars stigs föll.

Viðbótarefni

Hæð sem annars stigs fall

Almenna formúlan fyrir hæð hlutar í frjálsu falli er:

h (t) = - 16 t^{2} + v_{0} t + h_{0}

Stuðullinn −16 kemur frá lögmálum Newtons og þyngdarhröðun jarðar. Í þessari formúlu er hann notaður með einingunni fet/sekúndu².

v_{0}

h_{0}

h₀ er upphafshæð hlutarins.

Maður missir lyklana sína frá veitingastað efst í 196 feta hárri byggingu. Ef lyklarnir eru í frjálsu falli, ná þeir til jarðar innan 3 sekúndna?

Ritaðu jöfnu fyrir hæðina á tímanum t.
$h (t) = 196 - 16 t^{2}$
Settu t=3 inn í fallið.
$t = 3$
$h (3) = 196 - 16 {(3)}^{2}$
Reiknaðu gildið.
$h (3) = 196 - 144 = 52$

Þegar t=3 sekúndur eiga lyklarnir enn 52 fet eftir til jarðar.