77.4 Samanburður annars stigs falla og veldisvísisfalla

7.4.2 Línulegur vöxtur, veldisvöxtur og annars stigs vöxtur

7.4.2 • Línulegur vöxtur, veldisvöxtur og annars stigs vöxtur

Verkefni

Í þessu verkefni berðu saman tvö mismunandi mynstur. Í hvoru mynstri er fjöldi lítilla ferninga fall af skrefnúmerinu n.

Í mynstri A vaxa bæði lengd og breidd rétthyrningsins um einn lítinn ferning frá einu skrefi til þess næsta.

Lausn

Mynstur A

Ferningamynstur. Skref 0 hefur enga ferninga. Skref 1 hefur 1 ferning. Skref 2 hefur 2 raðir með 2 ferningum í hvorri. Skref 3 hefur 3 raðir með 3 ferningum í hverri.

a. Ritaðu jöfnu sem lýsir fjölda lítilla ferninga í skrefi n í mynstri A.

Berðu saman svarið þitt:

f (n) = n^{2}

b. Er fallið í mynstri A línulegt fall, annars stigs fall eða vísisfall?

Það er annars stigs fall.

c. Fylltu út töfluna fyrir mynstur A.

Skrefnúmer n	Fjöldi lítilla ferninga f(n)
0
1
2
3
4
5
6
7
8

Berðu saman svörin þín:

Skrefnúmer n	Fjöldi lítilla ferninga f(n)
0	0
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64

Í mynstri B tvöfaldast fjöldi lítilla ferninga frá einu skrefi til þess næsta.

Lausn

Mynstur B

Ferningamynstur. Skref 0 hefur 1 dálk með 1 ferningi. Skref 1 hefur 1 dálk með 2 ferningum. Skref 2 hefur 2 dálka með 2 ferningum í hvorum. Skref 3 hefur 4 dálka með 2 ferningum í hverjum.

a. Ritaðu jöfnu sem lýsir fjölda lítilla ferninga í skrefi n í mynstri B.

Berðu saman svarið þitt:

g (n) = 2^{n}

b. Er fallið í mynstri B línulegt fall, annars stigs fall eða vísisfall?

Það er vísisfall.

c. Fylltu út töfluna fyrir mynstur B.

Skrefnúmer n	Fjöldi lítilla ferninga g(n)
0
1
2
3
4
5
6
7
8

Berðu saman svörin þín:

Skrefnúmer n	Fjöldi lítilla ferninga g(n)
0	1
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128
8	256

Hvernig bera mynstrin tvö saman ef þau halda áfram að vaxa? Skrifaðu eina eða tvær athuganir.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Fjöldi lítilla ferninga í mynstri B vex miklu hraðar en fjöldi ferninga í mynstri A þegar n er stærra en 5.

n > 5

Mynstrin hafa sama fjölda ferninga í þessum tveimur skrefum:

n = 2

n = 4

Viðbótarefni

Vaxtarstuðlar ákvarðaðir

Er mynstrið hér fyrir neðan táknað með línulegu falli, vísisfalli eða annars stigs falli?

Ferningamynstur þar sem T-laga einingar endurtaka sig. Skref 0 hefur 1 ferning. Skref 1 hefur T-laga mynstur úr 3 ferningum. Skref 2 hefur 3 slíkar T-einingar, alls 9 ferninga. Skref 3 hefur 9 T-einingar, alls 27 ferninga.

Teiknaðu töflu. Ákvarðaðu vaxtarstuðulinn í hægri dálki.
Skrefnúmer x Fjöldi ferninga f(x) Vaxtarstuðull
0 1 3
1 3 3
2 9 3
3 27 3
Ritaðu fallið sem lýsir mynstrinu.
$f (x) = 3^{x}$
Ákvarðaðu hvers konar fall þetta er.

Skrefnúmer x	Fjöldi ferninga f(x)	Vaxtarstuðull
0	1	3
1	3	3
2	9	3
3	27	3

Fallið er vísisfall.

77.4 Samanburður annars stigs falla og veldisvísisfalla

7.4.2 Línulegur vöxtur, veldisvöxtur og annars stigs vöxtur

7.4.2 • Línulegur vöxtur, veldisvöxtur og annars stigs vöxtur

Verkefni

Í þessu verkefni berðu saman tvö mismunandi mynstur. Í hvoru mynstri er fjöldi lítilla ferninga fall af skrefnúmerinu n.

Í mynstri A vaxa bæði lengd og breidd rétthyrningsins um einn lítinn ferning frá einu skrefi til þess næsta.

Lausn

Mynstur A

a. Ritaðu jöfnu sem lýsir fjölda lítilla ferninga í skrefi n í mynstri A.

Berðu saman svarið þitt:

f (n) = n^{2}

b. Er fallið í mynstri A línulegt fall, annars stigs fall eða vísisfall?

Það er annars stigs fall.

c. Fylltu út töfluna fyrir mynstur A.

Skrefnúmer n	Fjöldi lítilla ferninga f(n)
0
1
2
3
4
5
6
7
8

Berðu saman svörin þín:

Skrefnúmer n	Fjöldi lítilla ferninga f(n)
0	0
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64

Í mynstri B tvöfaldast fjöldi lítilla ferninga frá einu skrefi til þess næsta.

Lausn

Mynstur B

a. Ritaðu jöfnu sem lýsir fjölda lítilla ferninga í skrefi n í mynstri B.

Berðu saman svarið þitt:

g (n) = 2^{n}

b. Er fallið í mynstri B línulegt fall, annars stigs fall eða vísisfall?

Það er vísisfall.

c. Fylltu út töfluna fyrir mynstur B.

Skrefnúmer n	Fjöldi lítilla ferninga g(n)
0
1
2
3
4
5
6
7
8

Berðu saman svörin þín:

Skrefnúmer n	Fjöldi lítilla ferninga g(n)
0	1
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128
8	256

Hvernig bera mynstrin tvö saman ef þau halda áfram að vaxa? Skrifaðu eina eða tvær athuganir.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Fjöldi lítilla ferninga í mynstri B vex miklu hraðar en fjöldi ferninga í mynstri A þegar n er stærra en 5.

n > 5

Mynstrin hafa sama fjölda ferninga í þessum tveimur skrefum:

n = 2

n = 4

Viðbótarefni

Vaxtarstuðlar ákvarðaðir

Er mynstrið hér fyrir neðan táknað með línulegu falli, vísisfalli eða annars stigs falli?

Teiknaðu töflu. Ákvarðaðu vaxtarstuðulinn í hægri dálki.
Skrefnúmer x Fjöldi ferninga f(x) Vaxtarstuðull
0 1 3
1 3 3
2 9 3
3 27 3
Ritaðu fallið sem lýsir mynstrinu.
$f (x) = 3^{x}$
Ákvarðaðu hvers konar fall þetta er.

Skrefnúmer x	Fjöldi ferninga f(x)	Vaxtarstuðull
0	1	3
1	3	3
2	9	3
3	27	3

Fallið er vísisfall.