77.12 Teikning grafs út frá staðalformi, 1. hluti

7.12.3 Að skilja hegðun grafs út frá annars stigs stæðu þess

7.12.3 • Að skilja hegðun grafs út frá annars stigs stæðu þess

Verkefni

Í þessu verkefni notar þú gildistöflur til að tengja breytingar á annars stigs stæðum við hegðun grafa þeirra.

1-3: Fastaliður og lóðrétt hliðrun

Notaðu töfluna fyrir mismunandi gildi á x til að finna gildi stæðnanna x²+10 og x²−3. Þú getur líka notað töflureikni ef hann er tiltækur.

x² + 10

x² − 3

Svör fyrir spurningar 1-2:

x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3

x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9

x²+10 | 19 | 14 | 11 | 10 | 11 | 14 | 19

x²−3 | 6 | 1 | −2 | −3 | −2 | 1 | 6

Dæmi um útreikninga fyrir x²+10:

−3 í x²+10 gefur 19

−2 í x²+10 gefur 14

−1 í x²+10 gefur 11

0 í x²+10 gefur 10

1 í x²+10 gefur 11

2 í x²+10 gefur 14

3 í x²+10 gefur 19

Dæmi um útreikninga fyrir x²−3:

−3 í x²−3 gefur 6

−2 í x²−3 gefur 1

−1 í x²−3 gefur −2

0 í x²−3 gefur −3

1 í x²−3 gefur −2

2 í x²−3 gefur 1

3 í x²−3 gefur 6

Þriðja röðin er alltaf 10 hærri en röðin fyrir x² og síðasta röðin er alltaf 3 lægri. Þess vegna færast öll punktgildi grafsins fyrir x²+10 upp um 10 einingar og öll punktgildi grafsins fyrir x²−3 niður um 3 einingar.

4-7: Stuðull annars stigs liðarins

Notaðu sömu x-gildi til að finna gildi stæðnanna 2x², 1/2x² og −2x².

2x²

1/2x²

−2x²

Svör fyrir spurningar 4-6:

x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3

x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9

2x² | 18 | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 | 18

1/2x² | 4,5 | 2 | 0,5 | 0 | 0,5 | 2 | 4,5

−2x² | −18 | −8 | −2 | 0 | −2 | −8 | −18

Dæmi um útreikninga fyrir 2x²:

−3 í 2x² gefur 18

−2 í 2x² gefur 8

−1 í 2x² gefur 2

0 í 2x² gefur 0

1 í 2x² gefur 2

2 í 2x² gefur 8

3 í 2x² gefur 18

Dæmi um útreikninga fyrir 1/2x²:

−3 í 1/2x² gefur 4,5

−2 í 1/2x² gefur 2

−1 í 1/2x² gefur 0,5

0 í 1/2x² gefur 0

1 í 1/2x² gefur 0,5

2 í 1/2x² gefur 2

3 í 1/2x² gefur 4,5

Dæmi um útreikninga fyrir −2x²:

−3 í −2x² gefur −18

−2 í −2x² gefur −8

−1 í −2x² gefur −2

0 í −2x² gefur 0

1 í −2x² gefur −2

2 í −2x² gefur −8

3 í −2x² gefur −18

Þegar x² er margfaldað með jákvæða stuðlinum 2 tvöfaldast öll úttaksgildi. Grafið verður því mjórra, því það vex hraðar. Þegar x² er margfaldað með tölu á milli 0 og 1 minnka úttaksgildin og grafið verður breiðara, eða lóðrétt samþjappað. Þegar margfaldað er með neikvæðri tölu verða jákvæð úttaksgildi neikvæð og fleygboginn speglast þannig að hann opnast niður.

Myndband

Myndbandið í upprunalega efninu fjallar um hvernig hegðun grafs tengist annars stigs stæðunni sem skilgreinir fallið.

Viðbótarefni

Umbreytingar bornar saman við gröf annars stigs falla

Mundu að graf annars stigs falls er fleygbogi. Fleygbogi opnast upp þegar lægsti punktur grafsins er topppunkturinn, þar sem grafið skiptir um stefnu. Hann opnast niður þegar hæsti punkturinn er topppunkturinn. Hver stuðull í annars stigs stæðu á staðalformi segir eitthvað mikilvægt um grafið.

ax²+bx+c

Graf f(x)=x² er fleygbogi sem opnast upp og hefur topppunkt í (0,0). Ef fastaliðnum 5 er bætt við fæst f(x)=x²+5 og grafið færist upp um 5 einingar. Ef 4 er dregið frá x² fæst f(x)=x²−4 og grafið færist niður um 4 einingar.

f(x)=x²

f(x)=x²+5

f(x)=x²−4

Graf grunnfallsins er sýnt með svörtum lit í hnitakerfi. Gröf fallanna sem hafa verið hliðruð lóðrétt eru merkt sem y=x²+5 og y=x²−4.

Gildistafla fyrir lóðréttar hliðranir:

x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3

x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9

x²+5 | 14 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 14

x²−4 | 5 | 0 | −3 | −4 | −3 | 0 | 5

Taflan sýnir að fastaliðurinn hækkar eða lækkar öll úttaksgildi um sama fjölda eininga. Almennt hefur fastaliður í staðalformi áhrif á lóðrétta staðsetningu grafsins. Ef enginn fastaliður er í stæðunni, til dæmis x² eða x²+9x, er fastaliðurinn 0 og skurðpunktur grafsins við y-ás liggur á x-ásnum.

x^{2}

x²+9x

Stuðull annars stigs liðarins

Stuðull annars stigs liðarins segir líka til um hegðun grafsins. Í f(x)=x² er stuðullinn 1 og grafið opnast upp. Ef x² er margfaldað með tölu stærri en 1 verður grafið brattara og fleygboginn mjórri. Ef x² er margfaldað með tölu sem er minni en 1 en stærri en 0 verður grafið minna bratt og fleygboginn breiðari. Ef x² er margfaldað með tölu minni en 0 opnast fleygboginn niður.

Graf grunnfallsins er sýnt með svörtum lit í hnitakerfi. Gröf fallanna sem hafa verið sköluð lóðrétt eru merkt sem y=2x² og y=1/2x². Fleygboginn sem opnast niður er merktur y=−2x².

Gildistafla fyrir stuðla annars stigs liðarins:

x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3

x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9

2x² | 18 | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 | 18

−2x² | −18 | −8 | −2 | 0 | −2 | −8 | −18

Ef úttaksgildi 2x² og −2x² eru borin saman sést að þau eru gagnstæðar tölur. Það bendir til þess að annað grafið sé speglun hins um x-ásinn.

2x²

−2x²

Í dæmunum hér að framan höfðu stuðlar eða fastaliðir áhrif á úttaksgildi fallsins. Það hefur lóðrétt áhrif á grafið. Þegar inntaksgildinu er hins vegar breytt áður en veldið er tekið verða áhrifin lárétt.

Láréttar hliðranir

Grunnfallið f(x)=x² má líka skrifa sem f(x)=(x−0)². Það sýnir að ekkert er gert við inntaksgildið áður en það er sett í annað veldi.

f(x)=x²

f(x)=(x−0)²

Ef talan sem breytir inntakinu er stærri en 0 færist graf fallsins til hægri. Ef talan er minni en 0 færist grafið til vinstri. Taktu eftir áhrifunum þegar neikvætt gildi er dregið frá inntakinu.

Graf grunnfallsins er sýnt með svörtum lit í hnitakerfi. Gröf fallanna sem hafa verið hliðruð lárétt eru merkt sem y=(x+3)² og y=(x−3)².

Gildistafla fyrir láréttar hliðranir:

x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3

x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9

(x−3)² | 36 | 25 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0

(x−(−3))²=(x+3)² | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36

Í þessari töflu breytist inntaksgildið áður en liðurinn er hafinn í annað veldi. Þegar gröf (x−3)² og (x+3)² eru borin saman við graf grunnfallsins sést að fleygboginn hefur hliðrast um 3 einingar til hægri og 3 einingar til vinstri.

(x−3)²

(x+3)²

Lárétt skölun og speglun

Nú skoðum við áhrif stuðuls á inntaksgildið. Ef inntaksgildið er margfaldað með tölu stærri en 1 áður en veldið er tekið verður fleygboginn lárétt samþjappaður. Ef inntaksgildið er margfaldað með tölu á milli 0 og 1 verður fleygboginn lárétt teygður.

Graf grunnfallsins er sýnt með svörtum lit í hnitakerfi. Gröf fallanna sem hafa verið sköluð lárétt eru merkt sem y=(1/2x)² og y=(2x)².

Graf grunnfallsins er sýnt með svörtum lit í hnitakerfi. Fallið y=(−2x)² er einnig teiknað og merkt.

Gildistafla fyrir lárétta skölun:

x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3

x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9

(2x)² | 36 | 16 | 4 | 0 | 4 | 16 | 36

(1/2x)² | 2,25 | 1 | 0,25 | 0 | 0,25 | 1 | 2,25

(−2x)² | 36 | 16 | 4 | 0 | 4 | 16 | 36

(2x)²

(1/2x)²

(−2x)²

Ef inntaksgildið er margfaldað með neikvæðri tölu speglast fleygboginn um y-ásinn. Vegna samhverfu fleygboga er erfitt að greina þessa speglun sjónrænt. Þegar inntakið er margfaldað breytist stærðin sem er sett í annað veldi, svo grafið teygist eða samþjappast lárétt.

Reyndu þetta

Umbreytingar bornar saman við gröf annars stigs falla

Graf grunnfallsins er sýnt með rauðum lit í hnitakerfi. Tveir aðrir fleygbogar eru einnig teiknaðir. Báðir ásar ná frá −10 til 10 með kvarða 1.

Lausn

Ef rauða grafið í miðjunni er grunnfallið f(x)=x², hverjar eru jöfnur bláa grafsins efst og græna grafsins neðst?

f(x)=x²

Græna grafið er graf f(x)=x² hliðrað niður um 2, svo fallið er f(x)=x²−2. Bláa grafið er graf f(x)=x² hliðrað upp um 4, svo fallið er f(x)=x²+4.

f(x)=x²−2

f(x)=x²+4

Graf grunnfallsins er sýnt með rauðum lit í hnitakerfi. Tveir aðrir fleygbogar eru einnig teiknaðir. x-ásinn nær frá −6 til 6 með kvarða 0,5 og y-ásinn frá −3 til 7 með kvarða 0,5.

Ef rauða grafið í miðjunni er grunnfallið f(x)=x², hverjar eru jöfnur bláa grafsins til hægri og græna grafsins til vinstri?

Græna grafið er graf f(x)=x² hliðrað til vinstri um 3/2, svo fallið er f(x)=(x+3/2)². Bláa grafið er graf f(x)=x² hliðrað til hægri um 3, svo fallið er f(x)=(x−3)².

f(x)=(x+3/2)²

f(x)=(x−3)²

Graf grunnfallsins er sýnt með rauðum lit í hnitakerfi. Tveir aðrir fleygbogar eru einnig teiknaðir. x-ásinn nær frá −5 til 5 með kvarða 0,5 og y-ásinn frá −1 til 7 með kvarða 0,5.

Rauða grafið í miðjunni er f(x)=x². Jöfnur hinna grafanna eru f(x)=1/3x² og f(x)=5x². Hvaða fall passar við græna grafið innan við grunnfallið? Hvaða fall passar við bláa grafið utan við það?

f(x)=1/3x²

f(x)=5x²

Græna grafið er mjórra en f(x)=x² og verður því að hafa stuðul stærri en stuðulinn við x². Græna grafið er f(x)=5x². Bláa grafið er breiðara en f(x)=x² og hefur því minni stuðul við x². Bláa grafið er f(x)=1/3x².

Graf grunnfallsins er sýnt með svörtum lit í hnitakerfi. Tveir aðrir fleygbogar eru einnig teiknaðir. x-ásinn nær frá −5 til 5 með kvarða 1 og y-ásinn frá −4 til 9 með kvarða 1. Græni fleygboginn liggur innan við grunnfallið og blái fleygboginn utan við það.

Svarta grafið í miðjunni er grunnfallið f(x)=x². Jöfnur hinna grafanna eru f(x)=(2/5x)² og f(x)=(4/3x)². Hvaða fall passar við græna grafið innan við grunnfallið? Hvaða fall passar við bláa grafið utan við það?

f(x)=(2/5x)²

f(x)=(4/3x)²

Græna grafið er lárétt samþjappað miðað við grunnfallið. Stuðullinn sem hefur áhrif á inntaksgildið þarf því að vera stærri en 1, svo græna grafið táknar f(x)=(4/3x)². Bláa grafið er lárétt teygt miðað við grunnfallið. Stuðullinn sem hefur áhrif á inntaksgildið þarf því að vera stærri en 0 en minni en 1, svo bláa grafið táknar f(x)=(2/5x)².

77.12 Teikning grafs út frá staðalformi, 1. hluti

7.12.3 Að skilja hegðun grafs út frá annars stigs stæðu þess

7.12.3 • Að skilja hegðun grafs út frá annars stigs stæðu þess

Verkefni

Í þessu verkefni notar þú gildistöflur til að tengja breytingar á annars stigs stæðum við hegðun grafa þeirra.

1-3: Fastaliður og lóðrétt hliðrun

Notaðu töfluna fyrir mismunandi gildi á x til að finna gildi stæðnanna x²+10 og x²−3. Þú getur líka notað töflureikni ef hann er tiltækur.

x² + 10

x² − 3

Svör fyrir spurningar 1-2:

x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3

x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9

x²+10 | 19 | 14 | 11 | 10 | 11 | 14 | 19

x²−3 | 6 | 1 | −2 | −3 | −2 | 1 | 6

Dæmi um útreikninga fyrir x²+10:

−3 í x²+10 gefur 19

−2 í x²+10 gefur 14

−1 í x²+10 gefur 11

0 í x²+10 gefur 10

1 í x²+10 gefur 11

2 í x²+10 gefur 14

3 í x²+10 gefur 19

Dæmi um útreikninga fyrir x²−3:

−3 í x²−3 gefur 6

−2 í x²−3 gefur 1

−1 í x²−3 gefur −2

0 í x²−3 gefur −3

1 í x²−3 gefur −2

2 í x²−3 gefur 1

3 í x²−3 gefur 6

4-7: Stuðull annars stigs liðarins

Notaðu sömu x-gildi til að finna gildi stæðnanna 2x², 1/2x² og −2x².

2x²

1/2x²

−2x²

Svör fyrir spurningar 4-6:

x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3

x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9

2x² | 18 | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 | 18

1/2x² | 4,5 | 2 | 0,5 | 0 | 0,5 | 2 | 4,5

−2x² | −18 | −8 | −2 | 0 | −2 | −8 | −18

Dæmi um útreikninga fyrir 2x²:

−3 í 2x² gefur 18

−2 í 2x² gefur 8

−1 í 2x² gefur 2

0 í 2x² gefur 0

1 í 2x² gefur 2

2 í 2x² gefur 8

3 í 2x² gefur 18

Dæmi um útreikninga fyrir 1/2x²:

−3 í 1/2x² gefur 4,5

−2 í 1/2x² gefur 2

−1 í 1/2x² gefur 0,5

0 í 1/2x² gefur 0

1 í 1/2x² gefur 0,5

2 í 1/2x² gefur 2

3 í 1/2x² gefur 4,5

Dæmi um útreikninga fyrir −2x²:

−3 í −2x² gefur −18

−2 í −2x² gefur −8

−1 í −2x² gefur −2

0 í −2x² gefur 0

1 í −2x² gefur −2

2 í −2x² gefur −8

3 í −2x² gefur −18

Myndband

Myndbandið í upprunalega efninu fjallar um hvernig hegðun grafs tengist annars stigs stæðunni sem skilgreinir fallið.

Viðbótarefni

Umbreytingar bornar saman við gröf annars stigs falla

ax²+bx+c

f(x)=x²

f(x)=x²+5

f(x)=x²−4

Gildistafla fyrir lóðréttar hliðranir:

x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3

x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9

x²+5 | 14 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 14

x²−4 | 5 | 0 | −3 | −4 | −3 | 0 | 5

x^{2}

x²+9x

Stuðull annars stigs liðarins

Gildistafla fyrir stuðla annars stigs liðarins:

x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3

x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9

2x² | 18 | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 | 18

−2x² | −18 | −8 | −2 | 0 | −2 | −8 | −18

Ef úttaksgildi 2x² og −2x² eru borin saman sést að þau eru gagnstæðar tölur. Það bendir til þess að annað grafið sé speglun hins um x-ásinn.

2x²

−2x²

Láréttar hliðranir

Grunnfallið f(x)=x² má líka skrifa sem f(x)=(x−0)². Það sýnir að ekkert er gert við inntaksgildið áður en það er sett í annað veldi.

f(x)=x²

f(x)=(x−0)²

Gildistafla fyrir láréttar hliðranir:

x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3

x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9

(x−3)² | 36 | 25 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0

(x−(−3))²=(x+3)² | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36

(x−3)²

(x+3)²

Lárétt skölun og speglun

Gildistafla fyrir lárétta skölun:

x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3

x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9

(2x)² | 36 | 16 | 4 | 0 | 4 | 16 | 36

(1/2x)² | 2,25 | 1 | 0,25 | 0 | 0,25 | 1 | 2,25

(−2x)² | 36 | 16 | 4 | 0 | 4 | 16 | 36

(2x)²

(1/2x)²

(−2x)²

Reyndu þetta

Umbreytingar bornar saman við gröf annars stigs falla

Lausn

Ef rauða grafið í miðjunni er grunnfallið f(x)=x², hverjar eru jöfnur bláa grafsins efst og græna grafsins neðst?

f(x)=x²

Græna grafið er graf f(x)=x² hliðrað niður um 2, svo fallið er f(x)=x²−2. Bláa grafið er graf f(x)=x² hliðrað upp um 4, svo fallið er f(x)=x²+4.

f(x)=x²−2

f(x)=x²+4

Ef rauða grafið í miðjunni er grunnfallið f(x)=x², hverjar eru jöfnur bláa grafsins til hægri og græna grafsins til vinstri?

Græna grafið er graf f(x)=x² hliðrað til vinstri um 3/2, svo fallið er f(x)=(x+3/2)². Bláa grafið er graf f(x)=x² hliðrað til hægri um 3, svo fallið er f(x)=(x−3)².

f(x)=(x+3/2)²

f(x)=(x−3)²

f(x)=1/3x²

f(x)=5x²

f(x)=(2/5x)²

f(x)=(4/3x)²