77.11 Teikning grafs út frá þáttuðu formi

7.11.4 Notkun topppunkts og samhverfuáss annars stigs falla

7.11.4 Að nota topppunkt og samhverfuás annars stigs falla

Verkefni

Teiknaðu hvern punkt í hnitakerfi á rúðustrikuðum pappír meðan þú svarar spurningunum. Ekki nota tækni.

Í liðum 1–4 skaltu nota fallið $f (x) = (x - 2) (x + 4)$ .

1. Finndu $x$ -hnit skurðpunkta grafs $f (x)$ við $x$ -ás.

Lausn

Svar: $x = - 4$ og $x = 2$ .

2. Finndu hnit topppunktsins.

Lausn

Svar: $(- 1, - 9)$ .

3. Skissaðu annars stigs graf í gegnum einkennispunktana og teiknaðu lóðrétta línu í öðrum lit í gegnum topppunktinn.

Lausn

Fleygbogi sem opnast upp, með skurðpunkta við x-ás í (−4, 0) og (2, 0) og topppunkt í (−1, −9). Punktarnir eru merktir.

4. Hver er jafna lóðréttu línunnar sem fer í gegnum topppunktinn?

Lausn

Svar: $x = - 1$ .

5. Hvað gerir lóðrétta línan sem fer í gegnum topppunktinn við fleygbogann?

Lausn

Svar: svarið getur verið orðað á fleiri en einn hátt. Línan $x = - 1$ skiptir fleygboganum í tvo samhverfa hluta. Þessi ímyndaða lóðrétta lína í gegnum topppunktinn kallast samhverfuás.

6. Merktu skurðpunkta við $x$ -ás, topppunkt og samhverfuás á grafinu. Segðu hvort topppunkturinn sé hágildi eða lággildi.

Lausn

Svar: topppunkturinn er lággildi.

Fleygbogi sem opnast upp, með merktum skurðpunktum við x-ás, samhverfuásnum x = −1 sem grænni brotalínu og topppunktinum sem lággildi neðst á grafinu.

7. Gefinn er topppunkturinn $(- 2, 4)$ og punkturinn $(1, 3)$ . Finndu annan punkt á annars stigs grafinu.

Vísbending: Það getur hjálpað að teikna mynd og nota samhverfuásinn.

Lausn

Svar: eitt mögulegt svar er $(- 5, 3)$ . Þar sem $(- 2, 4)$ er topppunkturinn er $x = - 2$ samhverfuásinn. Punkturinn $(1, 3)$ er 3 einingar hægra megin við samhverfuásinn, svo samsvarandi punktur er 3 einingar vinstra megin við hann.

Hnitakerfi með punktunum (−5, 3), (−2, 4) og (1, 3). Græn lóðrétt brotalína liggur um x = −2.

Sjálfspróf

Hver er jafna samhverfuássins fyrir $f (x) = (x + 1) (x - 3)$ ?

A. $x = - 4$
B. $x = 3$
C. $x = - 1$
D. $x = 1$

Viðbótarefni

Samhverfuás annars stigs falls

Í grafi annars stigs falls er samhverfuás ímynduð lína sem skiptir fleygboganum í tvo samhverfa hluta. Hún fer í gegnum topppunkt fleygbogans, þannig að jafna samhverfuássins hefur sama $x$ -gildi og topppunkturinn.

Tvær myndir af gröfum. Mynd 1 sýnir fleygboga sem opnast upp fyrir fallið f(x)=x²+4x+3 og blá brotalína liggur í gegnum topppunktinn. Mynd 2 sýnir fleygboga sem opnast niður fyrir fallið f(x)=−x²+4x+3 og blá brotalína liggur í gegnum topppunktinn.

Á mynd 1 er topppunkturinn $(- 2, - 2)$ og samhverfuásinn er $x = - 2$ . Á mynd 2 er topppunkturinn $(2, 7)$ og samhverfuásinn er $x = 2$ .

Dæmi

Finndu topppunkt og samhverfuás fyrir $f (x) = (x + 2) (x - 6)$ .

Skref 1: Finndu skurðpunkta við $x$ -ás. Settu hvorn þátt jafnan 0.

$x + 2 = 0, x = - 2$

$x - 6 = 0, x = 6$

Skref 2: Finndu $x$ -hnit topppunktsins. Topppunkturinn er mitt á milli skurðpunktanna tveggja við $x$ -ás:

$x = \frac{6 + (- 2)}{2} = 2$

Skref 3: Finndu $y$ -hnit topppunktsins með því að setja $x = 2$ inn í $f (x)$ .

$f (2) = (2 + 2) (2 - 6) = (4) (- 4) = - 16$

Topppunkturinn er $(2, - 16)$ .

Skref 4: Finndu samhverfuásinn. Hann er jafnan þar sem $x$ er jafnt $x$ -hniti topppunktsins: $x = 2$ .

Reyndu þetta

Reyndu þetta: samhverfuás annars stigs falls

Í liðum 1–2 skaltu nota annars stigs fallið $f (x) = (x - 4) (x - 10)$ .

1. Hver er topppunktur fleygbogans?

Lausn

Svar: $(7, - 9)$ .

Skurðpunktarnir við $x$ -ás eru $x = 4$ og $x = 10$ . Mitt á milli þeirra er $x = \frac{4 + 10}{2} = 7$ . Þá er $f (7) = (7 - 4) (7 - 10) = (3) (- 3) = - 9$ , svo topppunkturinn er $(7, - 9)$ .

2. Hver er samhverfuás fleygbogans?

Lausn

Svar: $x = 7$ .

Samhverfuásinn er jafnan þar sem $x$ er jafnt $x$ -hniti topppunktsins.

7.11.4 Að nota topppunkt og samhverfuás annars stigs falla

Verkefni

Teiknaðu hvern punkt í hnitakerfi á rúðustrikuðum pappír meðan þú svarar spurningunum. Ekki nota tækni.

Í liðum 1–4 skaltu nota fallið $f (x) = (x - 2) (x + 4)$ .

1. Finndu $x$ -hnit skurðpunkta grafs $f (x)$ við $x$ -ás.

Lausn

Svar: $x = - 4$ og $x = 2$ .

2. Finndu hnit topppunktsins.

Lausn

Svar: $(- 1, - 9)$ .

3. Skissaðu annars stigs graf í gegnum einkennispunktana og teiknaðu lóðrétta línu í öðrum lit í gegnum topppunktinn.

Lausn

4. Hver er jafna lóðréttu línunnar sem fer í gegnum topppunktinn?

Lausn

Svar: $x = - 1$ .

5. Hvað gerir lóðrétta línan sem fer í gegnum topppunktinn við fleygbogann?

Lausn

6. Merktu skurðpunkta við $x$ -ás, topppunkt og samhverfuás á grafinu. Segðu hvort topppunkturinn sé hágildi eða lággildi.

Lausn

Svar: topppunkturinn er lággildi.

7. Gefinn er topppunkturinn $(- 2, 4)$ og punkturinn $(1, 3)$ . Finndu annan punkt á annars stigs grafinu.

Vísbending: Það getur hjálpað að teikna mynd og nota samhverfuásinn.

Lausn

Sjálfspróf

Hver er jafna samhverfuássins fyrir $f (x) = (x + 1) (x - 3)$ ?

A. $x = - 4$
B. $x = 3$
C. $x = - 1$
D. $x = 1$

Viðbótarefni

Samhverfuás annars stigs falls

Á mynd 1 er topppunkturinn $(- 2, - 2)$ og samhverfuásinn er $x = - 2$ . Á mynd 2 er topppunkturinn $(2, 7)$ og samhverfuásinn er $x = 2$ .

Dæmi

Finndu topppunkt og samhverfuás fyrir $f (x) = (x + 2) (x - 6)$ .

Skref 1: Finndu skurðpunkta við $x$ -ás. Settu hvorn þátt jafnan 0.

$x + 2 = 0, x = - 2$

$x - 6 = 0, x = 6$

Skref 2: Finndu $x$ -hnit topppunktsins. Topppunkturinn er mitt á milli skurðpunktanna tveggja við $x$ -ás:

$x = \frac{6 + (- 2)}{2} = 2$

Skref 3: Finndu $y$ -hnit topppunktsins með því að setja $x = 2$ inn í $f (x)$ .

$f (2) = (2 + 2) (2 - 6) = (4) (- 4) = - 16$

Topppunkturinn er $(2, - 16)$ .

Skref 4: Finndu samhverfuásinn. Hann er jafnan þar sem $x$ er jafnt $x$ -hniti topppunktsins: $x = 2$ .

Reyndu þetta

Reyndu þetta: samhverfuás annars stigs falls

Í liðum 1–2 skaltu nota annars stigs fallið $f (x) = (x - 4) (x - 10)$ .

1. Hver er topppunktur fleygbogans?

Lausn

Svar: $(7, - 9)$ .

2. Hver er samhverfuás fleygbogans?

Lausn

Svar: $x = 7$ .

Samhverfuásinn er jafnan þar sem $x$ er jafnt $x$ -hniti topppunktsins.