77.11 Teikning grafs út frá þáttuðu formi

7.11.2 Þáttað form annars stigs stæðu og skurðpunktar grafs hennar við x-ás

Verkefni

Skoðaðu tvö föll sem eru skilgreind með $f (x) = x (x + 4)$ og $g (x) = x (x - 4)$ .

1. Skoðaðu fallið sem er skilgreint með $f (x) = x (x + 4)$ . Svaraðu liðum a-g og búðu til gildistöflu með gefnum $x$ -gildum og samsvarandi úttökum.

a. Þegar $x$ -gildið er $- 4$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

Lausn

$0$

b. Þegar $x$ -gildið er $- 3$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

Lausn

$- 3$

c. Þegar $x$ -gildið er $0$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

Lausn

$0$

d. Þegar $x$ -gildið er $1$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

Lausn

$5$

e. Þegar $x$ -gildið er $2$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

Lausn

$12$

f. Þegar $x$ -gildið er $3$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

Lausn

$21$

g. Þegar $x$ -gildið er $5$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

Lausn

$45$

2. Svaraðu nú liðum a-d til að greina fallið $f (x) = x (x + 4)$ .

a. Hverjir eru skurðpunktar grafsins við x-ás? Sýndu rökstuðning þinn.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Skurðpunktar grafs fallsins $f$ við x-ás eru $(- 4, 0)$ og $(0, 0)$ . Í þessum punktum er úttaksgildið $0$ .

b. Hvert er x-hnit topppunkts grafsins?

Lausn

$- 2$

c. Hvert er y-hnit topppunkts grafsins?

Lausn

$- 4$

d. Hver er topppunktur grafs fallsins $f$ ? Sýndu rökstuðning þinn.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Topppunkturinn virðist vera í $(- 2, - 4)$ . Í gildistöflunni breytast fallgildin úr því að lækka yfir í að hækka við þennan punkt.

3. Skoðaðu fallið sem er skilgreint með $g (x) = x (x - 4)$ . Svaraðu liðum a-g og búðu til gildistöflu með gefnum $x$ -gildum og samsvarandi úttökum.

a. Þegar $x$ -gildið er $- 4$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

Lausn

$32$

b. Þegar $x$ -gildið er $- 3$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

Lausn

$21$

c. Þegar $x$ -gildið er $0$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

Lausn

$0$

d. Þegar $x$ -gildið er $1$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

Lausn

$- 3$

e. Þegar $x$ -gildið er $2$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

Lausn

$- 4$

f. Þegar $x$ -gildið er $4$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

Lausn

$0$

g. Þegar $x$ -gildið er $5$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

Lausn

$5$

4. Svaraðu nú liðum a-d til að greina fallið $g (x) = x (x - 4)$ .

a. Hverjir eru skurðpunktar grafsins við x-ás? Sýndu rökstuðning þinn.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Skurðpunktar grafs fallsins $g$ við x-ás eru $(0, 0)$ og $(4, 0)$ . Í þessum punktum er úttaksgildið $0$ .

b. Hvert er x-hnit topppunkts grafsins?

Lausn

$2$

c. Hvert er y-hnit topppunkts grafsins?

Lausn

$- 4$

d. Hver er topppunktur grafs fallsins $g$ ? Sýndu rökstuðning þinn.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Topppunkturinn virðist vera í $(2, - 4)$ . Í gildistöflunni breytast fallgildin úr því að lækka yfir í að hækka við þennan punkt.

5. Notaðu grafteikniverkfæri eða annan tæknibúnað utan námskeiðsins.

a. Settu punktana úr töflunum í sama hnitakerfi. Notaðu mismunandi liti eða merkingar fyrir punktasöfnin svo auðvelt sé að greina þau í sundur.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Hnitakerfi með punktum á tveimur gröfum. Rauðu punktarnir tákna fallið g og bláu punktarnir tákna fallið f.

b. Skráðu nokkrar athuganir á því hvernig gröfin tvö tengjast.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Bæði gröfin hafa skurðpunkt við x-ás í $(0, 0)$ .
Gröfin virðast vera speglun hvort af öðru um y-ásinn.
Topppunktarnir hafa báðir y-hnitið $- 4$ og eru einnig spegilmyndir hvor af öðrum um y-ásinn.
Graf hvors falls er samhverft um lóðrétta línu sem liggur gegnum topppunkt þess.

Sjálfspróf

Taflan fyrir fallið $f$ er hér fyrir neðan. Hver er topppunktur grafs fallsins $f$ ?

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$0$	$- 1$	$- 3$	$- 1$	$0$	$2$

A. $(1, 0)$
B. $(- 1, - 3)$
C. $(0, - 1)$
D. $(- 3, 0)$

Viðbótarefni

Finndu skurðpunkta við x-ás og topppunkt annars stigs falls út frá töflunni:

$x$	$- 5$	$- 3$	$- 1$	$0$	$1$
$f (x)$	$16$	$0$	$- 2$	$0$	$16$

Skurðpunktar við x-ás eru þar sem y-gildin eru 0.

Það gerist í $(- 3, 0)$ og $(0, 0)$ .

Topppunktur er punkturinn þar sem fallgildin skipta úr því að lækka yfir í að hækka, eða öfugt. Í þessari töflu er topppunkturinn $(- 1, - 2)$ .

Reyndu þetta: að ákvarða hluta grafs út frá töflu

Ákvarðaðu topppunktinn út frá töflunni:

$x$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$f (x)$	$0$	$4$	$8$	$4$	$0$	$- 2$

Lausn

Svona má ákvarða topppunktinn út frá töflunni:

Núllstöðvarnar eru í $(5, 0)$ og $(9, 0)$ . Topppunkturinn er mitt á milli núllstöðvanna, svo hann hefur x-hnitið $7$ .

Punkturinn í töflunni þar sem $x = 7$ er $(7, 8)$ .

Þetta er topppunkturinn.

7.11.2 Þáttað form annars stigs stæðu og skurðpunktar grafs hennar við x-ás

Verkefni

Skoðaðu tvö föll sem eru skilgreind með $f (x) = x (x + 4)$ og $g (x) = x (x - 4)$ .

1. Skoðaðu fallið sem er skilgreint með $f (x) = x (x + 4)$ . Svaraðu liðum a-g og búðu til gildistöflu með gefnum $x$ -gildum og samsvarandi úttökum.

a. Þegar $x$ -gildið er $- 4$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

Lausn

$0$

b. Þegar $x$ -gildið er $- 3$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

Lausn

$- 3$

c. Þegar $x$ -gildið er $0$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

Lausn

$0$

d. Þegar $x$ -gildið er $1$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

Lausn

$5$

e. Þegar $x$ -gildið er $2$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

Lausn

$12$

f. Þegar $x$ -gildið er $3$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

Lausn

$21$

g. Þegar $x$ -gildið er $5$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

Lausn

$45$

2. Svaraðu nú liðum a-d til að greina fallið $f (x) = x (x + 4)$ .

a. Hverjir eru skurðpunktar grafsins við x-ás? Sýndu rökstuðning þinn.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Skurðpunktar grafs fallsins $f$ við x-ás eru $(- 4, 0)$ og $(0, 0)$ . Í þessum punktum er úttaksgildið $0$ .

b. Hvert er x-hnit topppunkts grafsins?

Lausn

$- 2$

c. Hvert er y-hnit topppunkts grafsins?

Lausn

$- 4$

d. Hver er topppunktur grafs fallsins $f$ ? Sýndu rökstuðning þinn.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Topppunkturinn virðist vera í $(- 2, - 4)$ . Í gildistöflunni breytast fallgildin úr því að lækka yfir í að hækka við þennan punkt.

3. Skoðaðu fallið sem er skilgreint með $g (x) = x (x - 4)$ . Svaraðu liðum a-g og búðu til gildistöflu með gefnum $x$ -gildum og samsvarandi úttökum.

a. Þegar $x$ -gildið er $- 4$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

Lausn

$32$

b. Þegar $x$ -gildið er $- 3$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

Lausn

$21$

c. Þegar $x$ -gildið er $0$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

Lausn

$0$

d. Þegar $x$ -gildið er $1$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

Lausn

$- 3$

e. Þegar $x$ -gildið er $2$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

Lausn

$- 4$

f. Þegar $x$ -gildið er $4$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

Lausn

$0$

g. Þegar $x$ -gildið er $5$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

Lausn

$5$

4. Svaraðu nú liðum a-d til að greina fallið $g (x) = x (x - 4)$ .

a. Hverjir eru skurðpunktar grafsins við x-ás? Sýndu rökstuðning þinn.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Skurðpunktar grafs fallsins $g$ við x-ás eru $(0, 0)$ og $(4, 0)$ . Í þessum punktum er úttaksgildið $0$ .

b. Hvert er x-hnit topppunkts grafsins?

Lausn

$2$

c. Hvert er y-hnit topppunkts grafsins?

Lausn

$- 4$

d. Hver er topppunktur grafs fallsins $g$ ? Sýndu rökstuðning þinn.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Topppunkturinn virðist vera í $(2, - 4)$ . Í gildistöflunni breytast fallgildin úr því að lækka yfir í að hækka við þennan punkt.

5. Notaðu grafteikniverkfæri eða annan tæknibúnað utan námskeiðsins.

a. Settu punktana úr töflunum í sama hnitakerfi. Notaðu mismunandi liti eða merkingar fyrir punktasöfnin svo auðvelt sé að greina þau í sundur.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

b. Skráðu nokkrar athuganir á því hvernig gröfin tvö tengjast.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Bæði gröfin hafa skurðpunkt við x-ás í $(0, 0)$ .
Gröfin virðast vera speglun hvort af öðru um y-ásinn.
Topppunktarnir hafa báðir y-hnitið $- 4$ og eru einnig spegilmyndir hvor af öðrum um y-ásinn.
Graf hvors falls er samhverft um lóðrétta línu sem liggur gegnum topppunkt þess.

Sjálfspróf

Taflan fyrir fallið $f$ er hér fyrir neðan. Hver er topppunktur grafs fallsins $f$ ?

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$0$	$- 1$	$- 3$	$- 1$	$0$	$2$

A. $(1, 0)$
B. $(- 1, - 3)$
C. $(0, - 1)$
D. $(- 3, 0)$

Viðbótarefni

Finndu skurðpunkta við x-ás og topppunkt annars stigs falls út frá töflunni:

$x$	$- 5$	$- 3$	$- 1$	$0$	$1$
$f (x)$	$16$	$0$	$- 2$	$0$	$16$

Skurðpunktar við x-ás eru þar sem y-gildin eru 0.

Það gerist í $(- 3, 0)$ og $(0, 0)$ .

Topppunktur er punkturinn þar sem fallgildin skipta úr því að lækka yfir í að hækka, eða öfugt. Í þessari töflu er topppunkturinn $(- 1, - 2)$ .

Reyndu þetta: að ákvarða hluta grafs út frá töflu

Ákvarðaðu topppunktinn út frá töflunni:

$x$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$f (x)$	$0$	$4$	$8$	$4$	$0$	$- 2$

Lausn

Svona má ákvarða topppunktinn út frá töflunni:

Núllstöðvarnar eru í $(5, 0)$ og $(9, 0)$ . Topppunkturinn er mitt á milli núllstöðvanna, svo hann hefur x-hnitið $7$ .

Punkturinn í töflunni þar sem $x = 7$ er $(7, 8)$ .

Þetta er topppunkturinn.