77.11 Teikning grafs út frá þáttuðu formi

7.11.2 Þáttað form annars stigs stæðu og skurðpunktar grafs hennar við x-ás

7.11.2 • Þáttað form annars stigs stæðu og skurðpunktar grafs hennar við x-ás

Verkefni

Skoðaðu tvö föll sem eru skilgreind með $f (x) = x (x + 4)$ og $g (x) = x (x - 4)$ .

1. Skoðaðu fallið sem er skilgreint með $f (x) = x (x + 4)$ . Svaraðu liðum a-g og búðu til gildistöflu með gefnum $x$ -gildum og samsvarandi úttökum.

a. Þegar $x$ -gildið er $- 4$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

$0$

b. Þegar $x$ -gildið er $- 3$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

$- 3$

c. Þegar $x$ -gildið er $0$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

$0$

d. Þegar $x$ -gildið er $1$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

$5$

e. Þegar $x$ -gildið er $2$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

$12$

f. Þegar $x$ -gildið er $3$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

$21$

g. Þegar $x$ -gildið er $5$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

$45$

x	−4	−3	0	1	2	3	5
f(x)	0	−3	0	5	12	21	45

2. Svaraðu nú liðum a-d til að greina fallið $f (x) = x (x + 4)$ .

a. Hverjir eru skurðpunktar grafsins við x-ás? Sýndu rökstuðning þinn.

Lausn

þetta:

Skurðpunktar grafs fallsins $f$ við x-ás eru $(- 4, 0)$ og $(0, 0)$ . Í þessum punktum er úttaksgildið $0$ .

b. Hvert er x-hnit topppunkts grafsins?

$- 2$

c. Hvert er y-hnit topppunkts grafsins?

$- 4$

d. Hver er topppunktur grafs fallsins $f$ ? Sýndu rökstuðning þinn.

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Topppunkturinn virðist vera í $(- 2, - 4)$ . Í gildistöflunni breytast fallgildin úr því að lækka yfir í að hækka við þennan punkt.

3. Skoðaðu fallið sem er skilgreint með $g (x) = x (x - 4)$ . Svaraðu liðum a-g og búðu til gildistöflu með gefnum $x$ -gildum og samsvarandi úttökum.

a. Þegar $x$ -gildið er $- 4$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

$32$

b. Þegar $x$ -gildið er $- 3$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

$21$

c. Þegar $x$ -gildið er $0$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

$0$

d. Þegar $x$ -gildið er $1$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

$- 3$

e. Þegar $x$ -gildið er $2$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

$- 4$

f. Þegar $x$ -gildið er $4$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

$0$

g. Þegar $x$ -gildið er $5$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

$5$

x	−4	−3	0	1	2	4	5
g(x)	32	21	0	−3	−4	0	5

4. Svaraðu nú liðum a-d til að greina fallið $g (x) = x (x - 4)$ .

a. Hverjir eru skurðpunktar grafsins við x-ás? Sýndu rökstuðning þinn.

Lausn

þetta:

Skurðpunktar grafs fallsins $g$ við x-ás eru $(0, 0)$ og $(4, 0)$ . Í þessum punktum er úttaksgildið $0$ .

b. Hvert er x-hnit topppunkts grafsins?

$2$

c. Hvert er y-hnit topppunkts grafsins?

$- 4$

d. Hver er topppunktur grafs fallsins $g$ ? Sýndu rökstuðning þinn.

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Topppunkturinn virðist vera í $(2, - 4)$ . Í gildistöflunni breytast fallgildin úr því að lækka yfir í að hækka við þennan punkt.

Notaðu grafteikniverkfæri eða annan tæknibúnað utan námskeiðsins.

a. Settu punktana úr töflunum í sama hnitakerfi. Notaðu mismunandi liti eða merkingar fyrir punktasöfnin svo auðvelt sé að greina þau í sundur.

Lausn

þetta:

Hnitakerfi með punktum á tveimur gröfum. Rauðu punktarnir tákna fallið g og bláu punktarnir tákna fallið f.

b. Skráðu nokkrar athuganir á því hvernig gröfin tvö tengjast.

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Bæði gröfin hafa skurðpunkt við x-ás í (0,0).

Gröfin virðast vera speglun hvort af öðru um y-ásinn.

Topppunktarnir hafa báðir y-hnitið −4 og eru einnig spegilmyndir hvor af öðrum um y-ásinn.

Graf hvors falls er samhverft um lóðrétta línu sem liggur gegnum topppunkt þess.

Viðbótarefni

Finndu skurðpunkta við x-ás og topppunkt annars stigs falls út frá töflunni:

x	−5	−3	−1	0	1
f(x)	16	0	−2	0	16

Skurðpunktar við x-ás eru þar sem y-gildin eru 0.

Það gerist í $(- 3, 0)$ og $(0, 0)$ .

Topppunktur er punkturinn þar sem fallgildin skipta úr því að lækka yfir í að hækka, eða öfugt. Í þessari töflu er topppunkturinn $(- 1, - 2)$ .

Reyndu þetta: að ákvarða hluta grafs út frá töflu

Ákvarðaðu topppunktinn út frá töflunni:
x 5 6 7 8 9 10
f(x) 0 4 8 4 0 −2
Svona má ákvarða topppunktinn út frá töflunni:
Núllstöðvarnar eru í $(5, 0)$ og $(9, 0)$ . Topppunkturinn er mitt á milli núllstöðvanna, svo hann hefur x-hnitið $7$ .
Punkturinn í töflunni þar sem $x = 7$ er $(7, 8)$ .
Þetta er topppunkturinn.

77.11 Teikning grafs út frá þáttuðu formi

7.11.2 Þáttað form annars stigs stæðu og skurðpunktar grafs hennar við x-ás

7.11.2 • Þáttað form annars stigs stæðu og skurðpunktar grafs hennar við x-ás

Verkefni

Skoðaðu tvö föll sem eru skilgreind með $f (x) = x (x + 4)$ og $g (x) = x (x - 4)$ .

1. Skoðaðu fallið sem er skilgreint með $f (x) = x (x + 4)$ . Svaraðu liðum a-g og búðu til gildistöflu með gefnum $x$ -gildum og samsvarandi úttökum.

a. Þegar $x$ -gildið er $- 4$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

$0$

b. Þegar $x$ -gildið er $- 3$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

$- 3$

c. Þegar $x$ -gildið er $0$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

$0$

d. Þegar $x$ -gildið er $1$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

$5$

e. Þegar $x$ -gildið er $2$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

$12$

f. Þegar $x$ -gildið er $3$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

$21$

g. Þegar $x$ -gildið er $5$ , hvert er gildi $f (x)$ ?

$45$

x	−4	−3	0	1	2	3	5
f(x)	0	−3	0	5	12	21	45

2. Svaraðu nú liðum a-d til að greina fallið $f (x) = x (x + 4)$ .

a. Hverjir eru skurðpunktar grafsins við x-ás? Sýndu rökstuðning þinn.

Lausn

þetta:

Skurðpunktar grafs fallsins $f$ við x-ás eru $(- 4, 0)$ og $(0, 0)$ . Í þessum punktum er úttaksgildið $0$ .

b. Hvert er x-hnit topppunkts grafsins?

$- 2$

c. Hvert er y-hnit topppunkts grafsins?

$- 4$

d. Hver er topppunktur grafs fallsins $f$ ? Sýndu rökstuðning þinn.

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Topppunkturinn virðist vera í $(- 2, - 4)$ . Í gildistöflunni breytast fallgildin úr því að lækka yfir í að hækka við þennan punkt.

3. Skoðaðu fallið sem er skilgreint með $g (x) = x (x - 4)$ . Svaraðu liðum a-g og búðu til gildistöflu með gefnum $x$ -gildum og samsvarandi úttökum.

a. Þegar $x$ -gildið er $- 4$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

$32$

b. Þegar $x$ -gildið er $- 3$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

$21$

c. Þegar $x$ -gildið er $0$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

$0$

d. Þegar $x$ -gildið er $1$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

$- 3$

e. Þegar $x$ -gildið er $2$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

$- 4$

f. Þegar $x$ -gildið er $4$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

$0$

g. Þegar $x$ -gildið er $5$ , hvert er gildi $g (x)$ ?

$5$

x	−4	−3	0	1	2	4	5
g(x)	32	21	0	−3	−4	0	5

4. Svaraðu nú liðum a-d til að greina fallið $g (x) = x (x - 4)$ .

a. Hverjir eru skurðpunktar grafsins við x-ás? Sýndu rökstuðning þinn.

Lausn

þetta:

Skurðpunktar grafs fallsins $g$ við x-ás eru $(0, 0)$ og $(4, 0)$ . Í þessum punktum er úttaksgildið $0$ .

b. Hvert er x-hnit topppunkts grafsins?

$2$

c. Hvert er y-hnit topppunkts grafsins?

$- 4$

d. Hver er topppunktur grafs fallsins $g$ ? Sýndu rökstuðning þinn.

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Topppunkturinn virðist vera í $(2, - 4)$ . Í gildistöflunni breytast fallgildin úr því að lækka yfir í að hækka við þennan punkt.

Notaðu grafteikniverkfæri eða annan tæknibúnað utan námskeiðsins.

a. Settu punktana úr töflunum í sama hnitakerfi. Notaðu mismunandi liti eða merkingar fyrir punktasöfnin svo auðvelt sé að greina þau í sundur.

Lausn

þetta:

b. Skráðu nokkrar athuganir á því hvernig gröfin tvö tengjast.

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Bæði gröfin hafa skurðpunkt við x-ás í (0,0).

Gröfin virðast vera speglun hvort af öðru um y-ásinn.

Topppunktarnir hafa báðir y-hnitið −4 og eru einnig spegilmyndir hvor af öðrum um y-ásinn.

Graf hvors falls er samhverft um lóðrétta línu sem liggur gegnum topppunkt þess.

Viðbótarefni

Finndu skurðpunkta við x-ás og topppunkt annars stigs falls út frá töflunni:

x	−5	−3	−1	0	1
f(x)	16	0	−2	0	16

Skurðpunktar við x-ás eru þar sem y-gildin eru 0.

Það gerist í $(- 3, 0)$ og $(0, 0)$ .

Topppunktur er punkturinn þar sem fallgildin skipta úr því að lækka yfir í að hækka, eða öfugt. Í þessari töflu er topppunkturinn $(- 1, - 2)$ .

Reyndu þetta: að ákvarða hluta grafs út frá töflu

Ákvarðaðu topppunktinn út frá töflunni:
x 5 6 7 8 9 10
f(x) 0 4 8 4 0 −2
Svona má ákvarða topppunktinn út frá töflunni:
Núllstöðvarnar eru í $(5, 0)$ og $(9, 0)$ . Topppunkturinn er mitt á milli núllstöðvanna, svo hann hefur x-hnitið $7$ .
Punkturinn í töflunni þar sem $x = 7$ er $(7, 8)$ .
Þetta er topppunkturinn.