7.11.3 Graf annars stigs falls skissað með að minnsta kosti þremur þekktum punktum

1. Föllin $f$, $g$ $h$ eru gefin. Notaðu föllin til að ljúka liðum a–f.

Gefið er $f(x)=(x+3)(x-5)$. Finndu skurðpunkta grafsins við $x$-ás og $x$-hnit topppunktsins.

Svar: skurðpunktar við $x$-ás eru$(-3,0)$og$(5,0)$; $x=1$ fyrir topppunktinn.

Gefið er $g(x)=2x(x-3)$. Finndu skurðpunkta grafsins við $x$-ás og $x$-hnit topppunktsins.

Svar: skurðpunktar við $x$-ás eru$(0,0)$og$(3,0)$; $x=\mathrm{1,5}$ fyrir topppunktinn.

Gefið er $h(x)=(x+4)(4-x)$. Finndu skurðpunkta grafsins við $x$-ás og $x$-hnit topppunktsins.

Svar: skurðpunktar við $x$-ás eru$(-4,0)$og$(4,0)$; $x=0$ fyrir topppunktinn.

2. Notaðu grafteikniverkfæri eða aðra tækni utan námskerfisins til að teikna föllin $f$, $g$ $h$: $f(x)=(x+3)(x-5)$, $g(x)=2x(x-3)$og $h(x)=(x+4)(4-x)$. Notaðu gröfin til að athuga spárnar þínar.

3. Skissaðu, án þess að nota tækni, graf sem táknar jöfnuna $y=(x-7)(x+11)$og sýnir skurðpunkta við $x$-ás og topppunktinn. Hugsaðu um hvernig má finna $y$-hnit topppunktsins og útskýrðu röksemdina.

Svar: skurðpunktarnir við $x$-ás eru þar sem $x=7$ og $x=-11$. $x$-hnit topppunktsins er mitt á milli, $x=-2$. Þá er$(-2-7)(-2+11)=-81$, þannig að topppunkturinn er$(-2,-81)$. Þegar $x=0$ fæst$(0-7)(0+11)=-77$, svo skurðpunkturinn við $y$-ás er$(0,-77)$.

Annars stigs fallið $f$ er gefið með $f(x)=x^2+2x+6$. Finndu $f(-2)$.

Svar: $6$

Finndu $f(0)$.

Svar: $6$

Hvert er $x$-hnit topppunkts grafs þessa annars stigs falls?

Svar:$-1$

Hefur grafið einhverja skurðpunkta við $x$-ás? Útskýrðu eða sýndu hvernig þú veist það.

Svar: nei, grafið sker ekki $x$-ás. $y$-hnit topppunktsins er $5$ því $f(-1)=(-1{)}^2+2(-1)+6=5$. Stuðullinn við annars stigs liðinn er jákvæður og því er topppunkturinn lággildi; úttak fallsins verður aldrei minna en 5.

Fallið $f$ sem gefið er með $f(x)=(x+1)(x-3)$er ritað á þáttuðu formi. Rifjaðu upp að þetta form er gagnlegt til að finna núllstöðvar fallsins, þar sem fallgildið er 0, og skurðpunkta grafsins við $x$-ás.

Hér er graf sem táknar $f$. Það sýnir tvo skurðpunkta við $x$-ás, við $x=-1$ og $x=3$.

Ef við setjum$-1$ og $3$ inn í $f$, hvert verður úttakið?

$f(-1)=(-1+1)(-1-3)=(0)(-4)=0$

$f(3)=(3+1)(3-3)=(4)(0)=0$

Þar sem inntökin$-1$ og $3$ gefa úttakið 0 eru þau núllstöðvar fallsins $f$. Þar sem bæði $x$-gildin hafa $y$-gildið 0 gefa þau líka skurðpunkta grafsins við $x$-ás.

Þáttað form getur líka hjálpað til við að finna topppunkt grafsins. Hér er $x$-hnit topppunktsins $1$, sem er mitt á milli$-1$ og $3$. Þá fæst $f(1)=(1+1)(1-3)=(2)(-2)=-4$, svo topppunkturinn er$(1,-4)$.

Þegar annars stigs fall er á staðalformi er skurðpunkturinn við $y$-ás augljós: $y$-hnitið er fastaliðurinn $c$ í $a{x}^2+bx+c$. Til að finna skurðpunkt við $y$-ás út frá þáttuðu formi setjum við $x=0$ inn í fallið.

$f(0)=(0+1)(0-3)=(1)(-3)=-3$

Finndu núllstöðvar og topppunkt fallsins $f$ sem er gefið með $f(x)=(x-4)(x+2)$. Notaðu punktana til að teikna graf $f$.

$x-4=0,x=4$

$x+2=0,x=-2$

Skref 2: Skrifaðu núllstöðvarnar sem punkta:$(4,0)$og$(-2,0)$.

Skref 3: Finndu $x$-gildið mitt á milli núllstöðvanna: $x=1$.

Skref 4: Settu $x=1$ inn í fallið til að finna topppunktinn: $f(1)=(1-4)(1+2)=(-3)(3)=-9$. Topppunktur:$(1,-9)$.

Skref 5: Notaðu nú punktana til að teikna graf $f$.