7.11.3 Að skissa graf annars stigs falls út frá að minnsta kosti þremur þekktum punktum

Verkefni

1. Föllin $f$, $g$ og $h$ eru gefin. Notaðu föllin til að ljúka liðum a–f.

2. Notaðu grafteikniverkfæri eða aðra tækni utan námskerfisins til að teikna föllin $f$, $g$ og $h$: $f(x)=(x+3)(x-5)$, $g(x)=2x(x-3)$ og $h(x)=(x+4)(4-x)$. Notaðu gröfin til að athuga spárnar þínar.

Lausn

3. Skissaðu, án þess að nota tækni, graf sem táknar jöfnuna $y=(x-7)(x+11)$ og sýnir skurðpunkta við $x$-ás og topppunktinn. Hugsaðu um hvernig má finna $y$-hnit topppunktsins og útskýrðu röksemdina.

Lausn

Svar: skurðpunktarnir við $x$-ás eru þar sem $x=7$ og $x=-11$. $x$-hnit topppunktsins er mitt á milli, $x=-2$. Þá er $(-2-7)(-2+11)=-81$, þannig að topppunkturinn er $(-2,-81)$. Þegar $x=0$ fæst $(0-7)(0+11)=-77$, svo skurðpunkturinn við $y$-ás er $(0,-77)$.

Fleira til umhugsunar

Myndband: Að skissa graf annars stigs falls

Myndbandið í upprunaefninu sýnir hvernig má skissa graf annars stigs falls með að minnsta kosti þremur þekktum punktum.

Sjálfspróf

Finndu hnit topppunktsins fyrir $f(x)=(x-2)(x-4)$.

1. A. $(0,8)$
2. B. $(4,0)$
3. C. $(3,-1)$
4. D. $(2,0)$

Viðbótarefni

Að skissa annars stigs föll út frá punktum

Fallið $f$ sem gefið er með $f(x)=(x+1)(x-3)$ er ritað á þáttuðu formi. Rifjaðu upp að þetta form er gagnlegt til að finna núllstöðvar fallsins, þar sem fallgildið er 0, og skurðpunkta grafsins við $x$-ás.

Hér er graf sem táknar $f$. Það sýnir tvo skurðpunkta við $x$-ás, við $x=-1$ og $x=3$.

Ef við setjum $-1$ og $3$ inn í $f$, hvert verður úttakið?

$f(-1)=(-1+1)(-1-3)=(0)(-4)=0$

$f(3)=(3+1)(3-3)=(4)(0)=0$

Þar sem inntökin $-1$ og $3$ gefa úttakið 0 eru þau núllstöðvar fallsins $f$. Þar sem bæði $x$-gildin hafa $y$-gildið 0 gefa þau líka skurðpunkta grafsins við $x$-ás.

Þáttað form getur líka hjálpað til við að finna topppunkt grafsins. Hér er $x$-hnit topppunktsins $1$, sem er mitt á milli $-1$ og $3$. Þá fæst $f(1)=(1+1)(1-3)=(2)(-2)=-4$, svo topppunkturinn er $(1,-4)$.

Þegar annars stigs fall er á staðalformi er skurðpunkturinn við $y$-ás augljós: $y$-hnitið er fastaliðurinn $c$ í $a{x}^2+bx+c$. Til að finna skurðpunkt við $y$-ás út frá þáttuðu formi setjum við $x=0$ inn í fallið.

$f(0)=(0+1)(0-3)=(1)(-3)=-3$

Reyndu þetta

Reyndu þetta: að skissa annars stigs fall út frá punktum

Finndu núllstöðvar og topppunkt fallsins $f$ sem er gefið með $f(x)=(x-4)(x+2)$. Notaðu punktana til að teikna graf $f$.

Lausn

Svona má finna núllstöðvar og topppunkt fallsins:

Skref 1: Settu hvorn þátt jafnan 0 og leystu.

$x-4=0,x=4$

$x+2=0,x=-2$

Skref 2: Skrifaðu núllstöðvarnar sem punkta: $(4,0)$ og $(-2,0)$.

Skref 3: Finndu $x$-gildið mitt á milli núllstöðvanna: $x=1$.

Skref 4: Settu $x=1$ inn í fallið til að finna topppunktinn: $f(1)=(1-4)(1+2)=(-3)(3)=-9$. Topppunktur: $(1,-9)$.

Skref 5: Notaðu nú punktana til að teikna graf $f$.