77.10 Gröf falla á staðalformi og þáttuðu formi

7.10.3 Skurðpunktar annars stigs stæðna við x- og y-ás

7.10.3 • Skurðpunktar annars stigs stæðna við x- og y-ás

Verkefni

Hér eru pör af stæðum á staðalformi og þáttuðu formi. Hvert par skilgreinir sama annars stigs fall, sem má sýna með gefnu grafi. Finndu skurðpunkta hvers grafs við x-ás og skurðpunkt þess við y-ás.

Fall f

Fleygbogi fallsins f í hnitakerfi. Grafið opnast upp, sker x-ásinn í −3 og −1 og sker y-ásinn í 3.

Staðalform:

x^{2} + 4 x + 3

Þáttað form:

(x + 3) (x + 1)

a. Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás.

Lausn

þetta:

Graf f: skurðpunktar við x-ás:

(- 3, 0) og (- 1, 0)

b. Finndu y-gildi skurðpunkts grafsins við y-ás.

Graf f: skurðpunktur við y-ás:

(0, 3)

Fall g

Staðalform:

x^{2} - 5 x + 4

Þáttað form:

(x - 4) (x - 1)

Fleygbogi fallsins g í hnitakerfi. Grafið opnast upp, sker x-ásinn í 1 og 4 og sker y-ásinn í 4.

a. Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás.

Lausn

þetta:

Graf g: skurðpunktar við x-ás:

(1, 0) og (4, 0)

b. Finndu y-gildi skurðpunkts grafsins við y-ás.

Graf g: skurðpunktur við y-ás:

(0, 4)

Fall h

Staðalform:

x^{2} - 9

Þáttað form:

(x - 3) (x + 3)

Fleygbogi fallsins h í hnitakerfi. Grafið opnast upp, sker x-ásinn í −3 og 3 og sker y-ásinn í −9.

a. Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás.

Lausn

þetta:

Graf h: skurðpunktar við x-ás:

(3, 0) og (- 3, 0)

b. Finndu y-gildi skurðpunkts grafsins við y-ás.

Graf h: skurðpunktur við y-ás:

(0, - 9)

Fall j

Staðalform:

x^{2} - 5 x

Þáttað form:

x (x - 5)

Fleygbogi fallsins j í hnitakerfi. Grafið opnast upp, sker x-ásinn í 0 og 5 og sker y-ásinn í 0.

a. Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás.

Lausn

þetta:

Graf j: skurðpunktar við x-ás:

(0, 0) og (5, 0)

b. Finndu y-gildi skurðpunkts grafsins við y-ás.

Graf j: skurðpunktur við y-ás:

(0, 0)

Fall k

Staðalform:

5 x - x^{2}

Þáttað form:

x (5 - x)

Fleygbogi fallsins k í hnitakerfi. Grafið opnast niður, sker x-ásinn í 0 og 5 og sker y-ásinn í 0.

a. Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás.

Lausn

þetta:

Graf k: skurðpunktar við x-ás:

(0, 0) og (5, 0)

b. Finndu y-gildi skurðpunkts grafsins við y-ás.

Graf k: skurðpunktur við y-ás:

(0, 0)

Fall l

Staðalform:

x^{2} + 4 x + 4

Þáttað form:

(x + 2) (x + 2)

Fleygbogi fallsins l í hnitakerfi. Grafið opnast upp, snertir x-ásinn í −2 og sker y-ásinn í 4.

a. Finndu skurðpunkt grafsins við x-ás.

Lausn

þetta:

Graf l: skurðpunktur við x-ás:

(- 2, 0)

b. Finndu y-gildi skurðpunkts grafsins við y-ás.

Graf l: skurðpunktur við y-ás:

(0, 4)

Hvað tekur þú eftir um skurðpunktana við x-ás, skurðpunktinn við y-ás og tölurnar í stæðunum sem skilgreina hvert fall? Skrifaðu nokkrar athuganir.

Lausn

þetta:

y-hnit skurðpunktsins við y-ás er fastaliðurinn þegar fallið er ritað á staðalformi. Fyrir fallið h er skurðpunkturinn við y-ás

(0, - 9)

og staðalformið er

x^{2} - 9

Skurðpunktarnir við x-ás virðast tengjast tölunum í þáttunum á þáttuðu formi, en formerkin verða öfug. Til dæmis er stæðan

(x + 3) (x + 1)

og skurðpunktarnir við x-ás eru

(- 3, 0) og (- 1, 0)

Þegar annar þátturinn er bara breyta, en ekki summa eða mismunur, er einn skurðpunktur við x-ás

(0, 0)

Fyrir fallið j,

x (x - 5)

er einn skurðpunkturinn

(0, 0)

Stæðurnar

x (x - 5) og x (5 - x)

hafa sömu skurðpunkta við x-ás, en annað grafið opnast upp og hitt opnast niður. Þegar tveir þættir eru eins er aðeins einn skurðpunktur við x-ás. Fyrir fallið l,

(x + 2) (x + 2)

er skurðpunkturinn við x-ás

(- 2, 0)

Hér er stæða sem lýsir fallinu p, öðru annars stigs falli:

(x - 9) (x - 1)

a. Spáðu fyrir um skurðpunkta grafsins við x-ás.

Lausn

þetta:

Skurðpunktarnir við x-ás verða

(9, 0) og (1, 0)

b. Finndu y-gildi skurðpunkts grafsins við y-ás.

Skurðpunkturinn við y-ás verður

(0, 9)

því 9 er fastaliðurinn þegar stæðan er rituð á staðalformi.

Myndband: Skurðpunktar annars stigs stæðna við x- og y-ás

Horfðu á myndbandið til að læra meira um skurðpunkta annars stigs stæðna við x- og y-ás.

Viðbótarefni

Að finna skurðpunkta við x-ás án grafa

Þegar annars stigs stæða er á þáttuðu formi má finna skurðpunktana við x-ás með því að skoða þættina.

Fastinn í þætti gefur skurðpunkt með öfugu formerki, því ef

x + a = 0

þá er

x = - a

Gildið

x = 0

getur líka komið fyrir. Ef sami þáttur er endurtekinn er aðeins einn skurðpunktur við x-ás.

Dæmi

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás fyrir fallið

y = (x - 3) (x + 2)

Skurðpunktarnir við x-ás verða þar sem

y = 0

Settu hvorn þátt jafnan 0 og leystu.

\begin{aligned} x - 3 & = 0 & x + 2 & = 0 \\ x & = 3 & x & = - 2 \end{aligned}

Fyrir þáttinn

(x - 3)

er fastinn −3, svo skurðpunkturinn við x-ás hefur x-gildið

x = 3

og punkturinn er

(3, 0)

Fyrir þáttinn

(x + 2)

er fastinn 2, svo skurðpunkturinn við x-ás hefur x-gildið

x = - 2

og punkturinn er

(- 2, 0)

Viltu prófa meira?

Að dýpka skilninginn

Finndu gildi a, p og q þannig að

y = a (x - p) (x - q)

sé jafnan sem grafið sýnir.

Fleygbogi í hnitakerfi. Grafið opnast upp, sker x-ásinn í 1 og 3 og sker y-ásinn í 6.

Hvert er gildið á a?

Lausn

þetta:

a = 2

Hvert er gildið á p?

Berðu svarið þitt saman við þetta:

p = 1 eða p = 3

Hvert er gildið á q?

Lausn

þetta:

q = 1 eða q = 3

77.10 Gröf falla á staðalformi og þáttuðu formi

7.10.3 Skurðpunktar annars stigs stæðna við x- og y-ás

7.10.3 • Skurðpunktar annars stigs stæðna við x- og y-ás

Verkefni

Fall f

Staðalform:

x^{2} + 4 x + 3

Þáttað form:

(x + 3) (x + 1)

a. Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás.

Lausn

þetta:

Graf f: skurðpunktar við x-ás:

(- 3, 0) og (- 1, 0)

b. Finndu y-gildi skurðpunkts grafsins við y-ás.

Graf f: skurðpunktur við y-ás:

(0, 3)

Fall g

Staðalform:

x^{2} - 5 x + 4

Þáttað form:

(x - 4) (x - 1)

a. Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás.

Lausn

þetta:

Graf g: skurðpunktar við x-ás:

(1, 0) og (4, 0)

b. Finndu y-gildi skurðpunkts grafsins við y-ás.

Graf g: skurðpunktur við y-ás:

(0, 4)

Fall h

Staðalform:

x^{2} - 9

Þáttað form:

(x - 3) (x + 3)

a. Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás.

Lausn

þetta:

Graf h: skurðpunktar við x-ás:

(3, 0) og (- 3, 0)

b. Finndu y-gildi skurðpunkts grafsins við y-ás.

Graf h: skurðpunktur við y-ás:

(0, - 9)

Fall j

Staðalform:

x^{2} - 5 x

Þáttað form:

x (x - 5)

a. Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás.

Lausn

þetta:

Graf j: skurðpunktar við x-ás:

(0, 0) og (5, 0)

b. Finndu y-gildi skurðpunkts grafsins við y-ás.

Graf j: skurðpunktur við y-ás:

(0, 0)

Fall k

Staðalform:

5 x - x^{2}

Þáttað form:

x (5 - x)

a. Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás.

Lausn

þetta:

Graf k: skurðpunktar við x-ás:

(0, 0) og (5, 0)

b. Finndu y-gildi skurðpunkts grafsins við y-ás.

Graf k: skurðpunktur við y-ás:

(0, 0)

Fall l

Staðalform:

x^{2} + 4 x + 4

Þáttað form:

(x + 2) (x + 2)

a. Finndu skurðpunkt grafsins við x-ás.

Lausn

þetta:

Graf l: skurðpunktur við x-ás:

(- 2, 0)

b. Finndu y-gildi skurðpunkts grafsins við y-ás.

Graf l: skurðpunktur við y-ás:

(0, 4)

Hvað tekur þú eftir um skurðpunktana við x-ás, skurðpunktinn við y-ás og tölurnar í stæðunum sem skilgreina hvert fall? Skrifaðu nokkrar athuganir.

Lausn

þetta:

y-hnit skurðpunktsins við y-ás er fastaliðurinn þegar fallið er ritað á staðalformi. Fyrir fallið h er skurðpunkturinn við y-ás

(0, - 9)

og staðalformið er

x^{2} - 9

Skurðpunktarnir við x-ás virðast tengjast tölunum í þáttunum á þáttuðu formi, en formerkin verða öfug. Til dæmis er stæðan

(x + 3) (x + 1)

og skurðpunktarnir við x-ás eru

(- 3, 0) og (- 1, 0)

Þegar annar þátturinn er bara breyta, en ekki summa eða mismunur, er einn skurðpunktur við x-ás

(0, 0)

Fyrir fallið j,

x (x - 5)

er einn skurðpunkturinn

(0, 0)

Stæðurnar

x (x - 5) og x (5 - x)

hafa sömu skurðpunkta við x-ás, en annað grafið opnast upp og hitt opnast niður. Þegar tveir þættir eru eins er aðeins einn skurðpunktur við x-ás. Fyrir fallið l,

(x + 2) (x + 2)

er skurðpunkturinn við x-ás

(- 2, 0)

Hér er stæða sem lýsir fallinu p, öðru annars stigs falli:

(x - 9) (x - 1)

a. Spáðu fyrir um skurðpunkta grafsins við x-ás.

Lausn

þetta:

Skurðpunktarnir við x-ás verða

(9, 0) og (1, 0)

b. Finndu y-gildi skurðpunkts grafsins við y-ás.

Skurðpunkturinn við y-ás verður

(0, 9)

því 9 er fastaliðurinn þegar stæðan er rituð á staðalformi.

Myndband: Skurðpunktar annars stigs stæðna við x- og y-ás

Horfðu á myndbandið til að læra meira um skurðpunkta annars stigs stæðna við x- og y-ás.

Viðbótarefni

Að finna skurðpunkta við x-ás án grafa

Þegar annars stigs stæða er á þáttuðu formi má finna skurðpunktana við x-ás með því að skoða þættina.

Fastinn í þætti gefur skurðpunkt með öfugu formerki, því ef

x + a = 0

þá er

x = - a

Gildið

x = 0

getur líka komið fyrir. Ef sami þáttur er endurtekinn er aðeins einn skurðpunktur við x-ás.

Dæmi

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás fyrir fallið

y = (x - 3) (x + 2)

Skurðpunktarnir við x-ás verða þar sem

y = 0

Settu hvorn þátt jafnan 0 og leystu.

\begin{aligned} x - 3 & = 0 & x + 2 & = 0 \\ x & = 3 & x & = - 2 \end{aligned}

Fyrir þáttinn

(x - 3)

er fastinn −3, svo skurðpunkturinn við x-ás hefur x-gildið

x = 3

og punkturinn er

(3, 0)

Fyrir þáttinn

(x + 2)

er fastinn 2, svo skurðpunkturinn við x-ás hefur x-gildið

x = - 2

og punkturinn er

(- 2, 0)

Viltu prófa meira?

Að dýpka skilninginn

Finndu gildi a, p og q þannig að

y = a (x - p) (x - q)

sé jafnan sem grafið sýnir.

Hvert er gildið á a?

Lausn

þetta:

a = 2

Hvert er gildið á p?

Berðu svarið þitt saman við þetta:

p = 1 eða p = 3

Hvert er gildið á q?

Lausn

þetta:

q = 1 eða q = 3