77.10 Gröf falla á staðalformi og þáttuðu formi

7.10.3 Skurðpunktar annars stigs stæðna við x- og y-ás

Verkefni

Hér eru pör af stæðum á staðalformi og þáttuðu formi. Hvert par skilgreinir sama annars stigs fall, sem má sýna með gefnu grafi. Finndu skurðpunkta hvers grafs við $x$ -ás og skurðpunkt þess við $y$ -ás.

1. Fall f

Fleygbogi fallsins f í hnitakerfi. Grafið opnast upp, sker x-ásinn í −3 og −1 og sker y-ásinn í 3.

Staðalform: $x^{2} + 4 x + 3$

Þáttað form: $(x + 3) (x + 1)$

a. Finndu skurðpunkta grafsins við $x$ -ás.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Graf f: skurðpunktar við $x$ -ás: $(- 3, 0) og (- 1, 0)$

b. Finndu $y$ -gildi skurðpunkts grafsins við $y$ -ás.

Lausn

Graf f: skurðpunktur við $y$ -ás: $(0, 3)$

2. Fall g

Fleygbogi fallsins g í hnitakerfi. Grafið opnast upp, sker x-ásinn í 1 og 4 og sker y-ásinn í 4.

Staðalform: $x^{2} - 5 x + 4$

Þáttað form: $(x - 4) (x - 1)$

a. Finndu skurðpunkta grafsins við $x$ -ás.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Graf g: skurðpunktar við $x$ -ás: $(1, 0) og (4, 0)$

b. Finndu $y$ -gildi skurðpunkts grafsins við $y$ -ás.

Lausn

Graf g: skurðpunktur við $y$ -ás: $(0, 4)$

3. Fall h

Fleygbogi fallsins h í hnitakerfi. Grafið opnast upp, sker x-ásinn í −3 og 3 og sker y-ásinn í −9.

Staðalform: $x^{2} - 9$

Þáttað form: $(x - 3) (x + 3)$

a. Finndu skurðpunkta grafsins við $x$ -ás.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Graf h: skurðpunktar við $x$ -ás: $(3, 0) og (- 3, 0)$

b. Finndu $y$ -gildi skurðpunkts grafsins við $y$ -ás.

Lausn

Graf h: skurðpunktur við $y$ -ás: $(0, - 9)$

4. Fall j

Fleygbogi fallsins j í hnitakerfi. Grafið opnast upp, sker x-ásinn í 0 og 5 og sker y-ásinn í 0.

Staðalform: $x^{2} - 5 x$

Þáttað form: $x (x - 5)$

a. Finndu skurðpunkta grafsins við $x$ -ás.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Graf j: skurðpunktar við $x$ -ás: $(0, 0) og (5, 0)$

b. Finndu $y$ -gildi skurðpunkts grafsins við $y$ -ás.

Lausn

Graf j: skurðpunktur við $y$ -ás: $(0, 0)$

5. Fall k

Fleygbogi fallsins k í hnitakerfi. Grafið opnast niður, sker x-ásinn í 0 og 5 og sker y-ásinn í 0.

Staðalform: $5 x - x^{2}$

Þáttað form: $x (5 - x)$

a. Finndu skurðpunkta grafsins við $x$ -ás.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Graf k: skurðpunktar við $x$ -ás: $(0, 0) og (5, 0)$

b. Finndu $y$ -gildi skurðpunkts grafsins við $y$ -ás.

Lausn

Graf k: skurðpunktur við $y$ -ás: $(0, 0)$

6. Fall l

Fleygbogi fallsins l í hnitakerfi. Grafið opnast upp, snertir x-ásinn í −2 og sker y-ásinn í 4.

Staðalform: $x^{2} + 4 x + 4$

Þáttað form: $(x + 2) (x + 2)$

a. Finndu skurðpunkt grafsins við $x$ -ás.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Graf l: skurðpunktur við $x$ -ás: $(- 2, 0)$

b. Finndu $y$ -gildi skurðpunkts grafsins við $y$ -ás.

Lausn

Graf l: skurðpunktur við $y$ -ás: $(0, 4)$

7. Hvað tekur þú eftir um skurðpunktana við $x$ -ás, skurðpunktinn við $y$ -ás og tölurnar í stæðunum sem skilgreina hvert fall? Skrifaðu nokkrar athuganir.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

$y$ -hnit skurðpunktsins við $y$ -ás er fastaliðurinn þegar fallið er ritað á staðalformi. Fyrir fallið h er skurðpunkturinn við $y$ -ás $(0, - 9)$ og staðalformið er $x^{2} - 9$ .

Skurðpunktarnir við $x$ -ás virðast tengjast tölunum í þáttunum á þáttuðu formi, en formerkin verða öfug. Til dæmis er stæðan $(x + 3) (x + 1)$ og skurðpunktarnir við $x$ -ás eru $(- 3, 0) og (- 1, 0)$ .

Þegar annar þátturinn er bara breyta, en ekki summa eða mismunur, er einn skurðpunktur við $x$ -ás $(0, 0)$ . Fyrir fallið j, $x (x - 5)$ er einn skurðpunkturinn $(0, 0)$ .

Stæðurnar $x (x - 5) og x (5 - x)$ hafa sömu skurðpunkta við $x$ -ás, en annað grafið opnast upp og hitt opnast niður. Þegar tveir þættir eru eins er aðeins einn skurðpunktur við $x$ -ás. Fyrir fallið l, $(x + 2) (x + 2)$ er skurðpunkturinn við $x$ -ás $(- 2, 0)$ .

8. Hér er stæða sem lýsir fallinu p, öðru annars stigs falli: $(x - 9) (x - 1)$

a. Spáðu fyrir um skurðpunkta grafsins við $x$ -ás.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Skurðpunktarnir við $x$ -ás verða $(9, 0) og (1, 0)$ .

b. Finndu $y$ -gildi skurðpunkts grafsins við $y$ -ás.

Lausn

Skurðpunkturinn við $y$ -ás verður $(0, 9)$ því 9 er fastaliðurinn þegar stæðan er rituð á staðalformi.

Myndband: Skurðpunktar annars stigs stæðna við $x$ - og $y$ -ás

Horfðu á myndbandið til að læra meira um skurðpunkta annars stigs stæðna við $x$ - og $y$ -ás.

Sjálfspróf

Hver eru $x$ -gildi skurðpunkta grafsins við $x$ -ás fyrir fallið $y = (x - 9) (x + 2)$ ?

$x = 9, x = 2$
$x = - 2, x = - 9$
$x = - 2, x = 9$
$x = 2, x = - 9$

Viðbótarefni

Að finna skurðpunkta við $x$ -ás án grafa

Þegar annars stigs stæða er á þáttuðu formi má finna skurðpunktana við $x$ -ás með því að skoða þættina.

Fastinn í þætti gefur skurðpunkt með öfugu formerki, því ef $x + a = 0$ þá er $x = - a$ .

Gildið $x = 0$ getur líka komið fyrir. Ef sami þáttur er endurtekinn er aðeins einn skurðpunktur við $x$ -ás.

Dæmi

Finndu skurðpunkta grafsins við $x$ -ás fyrir fallið $y = (x - 3) (x + 2)$ .

Skurðpunktarnir við $x$ -ás verða þar sem $y = 0$ . Settu hvorn þátt jafnan 0 og leystu. $\begin{aligned} x - 3 & = 0 & x + 2 & = 0 \\ x & = 3 & x & = - 2 \end{aligned}$

Fyrir þáttinn $(x - 3)$ er fastinn −3, svo skurðpunkturinn við $x$ -ás hefur $x$ -gildið $x = 3$ og punkturinn er $(3, 0)$ .

Fyrir þáttinn $(x + 2)$ er fastinn 2, svo skurðpunkturinn við $x$ -ás hefur $x$ -gildið $x = - 2$ og punkturinn er $(- 2, 0)$ .

Reyndu þetta

Að finna skurðpunkta við $x$ -ás án grafa

Finndu skurðpunkta grafsins við $x$ -ás fyrir fallið $y = (x - 1) (x + 5)$ .

Lausn

Svona má finna skurðpunktana við $x$ -ás: þeir verða þar sem $y = 0$ .

Settu hvorn þátt jafnan 0 og leystu. $\begin{aligned} x - 1 & = 0 & x + 5 & = 0 \\ x & = 1 & x & = - 5 \end{aligned}$

Fyrir þáttinn $(x - 1)$ er fastinn −1, svo skurðpunkturinn við $x$ -ás hefur $x$ -gildið $x = 1$ og punkturinn er $(1, 0)$ .

Fyrir þáttinn $(x + 5)$ er fastinn 5, svo skurðpunkturinn við $x$ -ás hefur $x$ -gildið $x = - 5$ og punkturinn er $(- 5, 0)$ .

Viltu prófa meira?

Að dýpka skilninginn

Finndu gildi a, p og q þannig að $y = a (x - p) (x - q)$ sé jafnan sem grafið sýnir.

Fleygbogi í hnitakerfi. Grafið opnast upp, sker x-ásinn í 1 og 3 og sker y-ásinn í 6.

Hvert er gildið á a?

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: $a = 2$

Hvert er gildið á p?

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: $p = 1 eða p = 3$

Hvert er gildið á q?

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: $q = 1 eða q = 3$

7.10.3 Skurðpunktar annars stigs stæðna við x- og y-ás

Verkefni

1. Fall f

Staðalform: $x^{2} + 4 x + 3$

Þáttað form: $(x + 3) (x + 1)$

a. Finndu skurðpunkta grafsins við $x$ -ás.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Graf f: skurðpunktar við $x$ -ás: $(- 3, 0) og (- 1, 0)$

b. Finndu $y$ -gildi skurðpunkts grafsins við $y$ -ás.

Lausn

Graf f: skurðpunktur við $y$ -ás: $(0, 3)$

2. Fall g

Staðalform: $x^{2} - 5 x + 4$

Þáttað form: $(x - 4) (x - 1)$

a. Finndu skurðpunkta grafsins við $x$ -ás.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Graf g: skurðpunktar við $x$ -ás: $(1, 0) og (4, 0)$

b. Finndu $y$ -gildi skurðpunkts grafsins við $y$ -ás.

Lausn

Graf g: skurðpunktur við $y$ -ás: $(0, 4)$

3. Fall h

Staðalform: $x^{2} - 9$

Þáttað form: $(x - 3) (x + 3)$

a. Finndu skurðpunkta grafsins við $x$ -ás.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Graf h: skurðpunktar við $x$ -ás: $(3, 0) og (- 3, 0)$

b. Finndu $y$ -gildi skurðpunkts grafsins við $y$ -ás.

Lausn

Graf h: skurðpunktur við $y$ -ás: $(0, - 9)$

4. Fall j

Staðalform: $x^{2} - 5 x$

Þáttað form: $x (x - 5)$

a. Finndu skurðpunkta grafsins við $x$ -ás.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Graf j: skurðpunktar við $x$ -ás: $(0, 0) og (5, 0)$

b. Finndu $y$ -gildi skurðpunkts grafsins við $y$ -ás.

Lausn

Graf j: skurðpunktur við $y$ -ás: $(0, 0)$

5. Fall k

Staðalform: $5 x - x^{2}$

Þáttað form: $x (5 - x)$

a. Finndu skurðpunkta grafsins við $x$ -ás.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Graf k: skurðpunktar við $x$ -ás: $(0, 0) og (5, 0)$

b. Finndu $y$ -gildi skurðpunkts grafsins við $y$ -ás.

Lausn

Graf k: skurðpunktur við $y$ -ás: $(0, 0)$

6. Fall l

Staðalform: $x^{2} + 4 x + 4$

Þáttað form: $(x + 2) (x + 2)$

a. Finndu skurðpunkt grafsins við $x$ -ás.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Graf l: skurðpunktur við $x$ -ás: $(- 2, 0)$

b. Finndu $y$ -gildi skurðpunkts grafsins við $y$ -ás.

Lausn

Graf l: skurðpunktur við $y$ -ás: $(0, 4)$

7. Hvað tekur þú eftir um skurðpunktana við $x$ -ás, skurðpunktinn við $y$ -ás og tölurnar í stæðunum sem skilgreina hvert fall? Skrifaðu nokkrar athuganir.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

$y$ -hnit skurðpunktsins við $y$ -ás er fastaliðurinn þegar fallið er ritað á staðalformi. Fyrir fallið h er skurðpunkturinn við $y$ -ás $(0, - 9)$ og staðalformið er $x^{2} - 9$ .

Þegar annar þátturinn er bara breyta, en ekki summa eða mismunur, er einn skurðpunktur við $x$ -ás $(0, 0)$ . Fyrir fallið j, $x (x - 5)$ er einn skurðpunkturinn $(0, 0)$ .

8. Hér er stæða sem lýsir fallinu p, öðru annars stigs falli: $(x - 9) (x - 1)$

a. Spáðu fyrir um skurðpunkta grafsins við $x$ -ás.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Skurðpunktarnir við $x$ -ás verða $(9, 0) og (1, 0)$ .

b. Finndu $y$ -gildi skurðpunkts grafsins við $y$ -ás.

Lausn

Skurðpunkturinn við $y$ -ás verður $(0, 9)$ því 9 er fastaliðurinn þegar stæðan er rituð á staðalformi.

Myndband: Skurðpunktar annars stigs stæðna við $x$ - og $y$ -ás

Horfðu á myndbandið til að læra meira um skurðpunkta annars stigs stæðna við $x$ - og $y$ -ás.

Sjálfspróf

Hver eru $x$ -gildi skurðpunkta grafsins við $x$ -ás fyrir fallið $y = (x - 9) (x + 2)$ ?

$x = 9, x = 2$
$x = - 2, x = - 9$
$x = - 2, x = 9$
$x = 2, x = - 9$

Viðbótarefni

Að finna skurðpunkta við $x$ -ás án grafa

Þegar annars stigs stæða er á þáttuðu formi má finna skurðpunktana við $x$ -ás með því að skoða þættina.

Fastinn í þætti gefur skurðpunkt með öfugu formerki, því ef $x + a = 0$ þá er $x = - a$ .

Gildið $x = 0$ getur líka komið fyrir. Ef sami þáttur er endurtekinn er aðeins einn skurðpunktur við $x$ -ás.

Dæmi

Finndu skurðpunkta grafsins við $x$ -ás fyrir fallið $y = (x - 3) (x + 2)$ .

Skurðpunktarnir við $x$ -ás verða þar sem $y = 0$ . Settu hvorn þátt jafnan 0 og leystu. $\begin{aligned} x - 3 & = 0 & x + 2 & = 0 \\ x & = 3 & x & = - 2 \end{aligned}$

Fyrir þáttinn $(x - 3)$ er fastinn −3, svo skurðpunkturinn við $x$ -ás hefur $x$ -gildið $x = 3$ og punkturinn er $(3, 0)$ .

Fyrir þáttinn $(x + 2)$ er fastinn 2, svo skurðpunkturinn við $x$ -ás hefur $x$ -gildið $x = - 2$ og punkturinn er $(- 2, 0)$ .

Reyndu þetta

Að finna skurðpunkta við $x$ -ás án grafa

Finndu skurðpunkta grafsins við $x$ -ás fyrir fallið $y = (x - 1) (x + 5)$ .

Lausn

Svona má finna skurðpunktana við $x$ -ás: þeir verða þar sem $y = 0$ .

Settu hvorn þátt jafnan 0 og leystu. $\begin{aligned} x - 1 & = 0 & x + 5 & = 0 \\ x & = 1 & x & = - 5 \end{aligned}$

Fyrir þáttinn $(x - 1)$ er fastinn −1, svo skurðpunkturinn við $x$ -ás hefur $x$ -gildið $x = 1$ og punkturinn er $(1, 0)$ .

Fyrir þáttinn $(x + 5)$ er fastinn 5, svo skurðpunkturinn við $x$ -ás hefur $x$ -gildið $x = - 5$ og punkturinn er $(- 5, 0)$ .

Viltu prófa meira?

Að dýpka skilninginn

Finndu gildi a, p og q þannig að $y = a (x - p) (x - q)$ sé jafnan sem grafið sýnir.

Hvert er gildið á a?

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: $a = 2$

Hvert er gildið á p?

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: $p = 1 eða p = 3$

Hvert er gildið á q?

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta: $q = 1 eða q = 3$