77.10 Gröf falla á staðalformi og þáttuðu formi

7.10.2 Form annars stigs stæðna og gröf þeirra

Verkefni

Í fyrri kennslustund sáum við að jafna eins og $h (t) = 10 + 78 t - 16 t^{2}$ getur lýst hæð hlutar sem kastað er upp frá 10 feta hæð með lóðréttan upphafshraða 78 fet á sekúndu.

Ungur maður í fjólublárri peysu stendur á járnbrautarteinum í skógi og horfir upp á rautt epli fyrir ofan hendur sínar.

1. Er stæðan $- 16 t^{2} + 78 t + 10$ rituð á staðalformi? Sýndu rökstuðning þinn.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Já. Hún er summa annars stigs liðar, fyrsta stigs liðar og fastaliðar. Á forminu $a x^{2} + b x + c$ er stuðullinn $a = - 16, b = 78, c = 10$ .

2. Paola segir að jafnan $g (t) = - 2 (8 t + 1) (t - 5)$ skilgreini sama fall á þáttuðu formi. Hefur Paola rétt fyrir sér? Sýndu rökstuðning þinn.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Já. Ef −2 er dreift yfir $(8 t + 1)$ fæst $(- 16 t - 2)$ . Margfaldaðu síðan þennan tvílið með $(t - 5)$ . Útkoman úr margfeldinu $(- 16 t - 2) (t - 5)$ er $- 16 t^{2} + 78 t + 10$ .

3. Hér er graf sem sýnir bæði $g (t) = - 2 (8 t + 1) (t - 5)$ og $h (t) = 10 + 78 t - 16 t^{2}$ .

Fleygbogi í hnitakerfi. x-ásinn er merktur í einingum frá 0 til 6 og y-ásinn í tugum frá 0 til 140.

a. Hvert er $y$ -gildi skurðpunktsins við $y$ -ás?

Lausn

Skurðpunkturinn við $y$ -ás er $(0, 10)$ .

b. Hvert er $x$ -gildi skurðpunktsins við $x$ -ás?

Lausn

Skurðpunkturinn við $x$ -ás er $(5, 0)$ .

c. Hvað merkir hvor þessara punkta í þessum aðstæðum?

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Skurðpunkturinn við $y$ -ás sýnir hæð hlutarins í fetum þegar honum var kastað. Skurðpunkturinn við $x$ -ás sýnir hve margar sekúndur liðu frá kastinu þar til hluturinn lenti á jörðinni.

Sjálfspróf

Graf annars stigs fallsins $y = - (x - 2) (x + 3)$ er sýnt hér fyrir neðan. Hver eru öll $x$ -gildi skurðpunktanna við $x$ -ás?

Fleygbogi í hnitakerfi sem opnast niður. x-ásinn er merktur í fimm eininga bilum frá −5 til 10 og y-ásinn í fimm eininga bilum frá −5 til 10.

$x = 6$
$x = - 3, x = 2$
$x = 2, x = 6$
$x = - 3$

Viðbótarefni

Eiginleikar grafa annars stigs falla

Graf fallsins $y = (x + 1) (x - 2)$ er sýnt hér fyrir neðan. Hverjir eru skurðpunktarnir við $x$ - og $y$ -ás?

Fleygbogi í hnitakerfi. x-ásinn er merktur í fimm eininga bilum frá um það bil −10 til 10 og y-ásinn í fimm eininga bilum frá um það bil −10 til 12.

Skurðpunktarnir við $x$ -ás eru þar sem grafið sker $x$ -ásinn. Þetta gerist í punktunum $(- 1, 0) og (2, 0)$ .

Skurðpunkturinn við $y$ -ás er þar sem grafið sker $y$ -ásinn. Þetta gerist í punktinum $(0, 2)$ .

Reyndu þetta

Eiginleikar grafa annars stigs falla

Graf fallsins $y = - (x - 4) (x + 1)$ er hér fyrir neðan. Hverjir eru skurðpunktar grafsins við $x$ - og $y$ -ás?

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Svona má finna skurðpunktana:

Fyrir skurðpunktana við $x$ -ás skaltu skoða hvar grafið sker $x$ -ásinn. Þetta gerist þegar $x = - 1 og x = 4$ . Punktarnir eru því $(- 1, 0) og (4, 0)$ .

Fyrir skurðpunktinn við $y$ -ás skaltu skoða hvar grafið sker $y$ -ásinn. Þetta gerist þegar $y = 4$ . Punkturinn er því $(0, 4)$ .

7.10.2 Form annars stigs stæðna og gröf þeirra

Verkefni

Í fyrri kennslustund sáum við að jafna eins og $h (t) = 10 + 78 t - 16 t^{2}$ getur lýst hæð hlutar sem kastað er upp frá 10 feta hæð með lóðréttan upphafshraða 78 fet á sekúndu.

1. Er stæðan $- 16 t^{2} + 78 t + 10$ rituð á staðalformi? Sýndu rökstuðning þinn.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Já. Hún er summa annars stigs liðar, fyrsta stigs liðar og fastaliðar. Á forminu $a x^{2} + b x + c$ er stuðullinn $a = - 16, b = 78, c = 10$ .

2. Paola segir að jafnan $g (t) = - 2 (8 t + 1) (t - 5)$ skilgreini sama fall á þáttuðu formi. Hefur Paola rétt fyrir sér? Sýndu rökstuðning þinn.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Já. Ef −2 er dreift yfir $(8 t + 1)$ fæst $(- 16 t - 2)$ . Margfaldaðu síðan þennan tvílið með $(t - 5)$ . Útkoman úr margfeldinu $(- 16 t - 2) (t - 5)$ er $- 16 t^{2} + 78 t + 10$ .

3. Hér er graf sem sýnir bæði $g (t) = - 2 (8 t + 1) (t - 5)$ og $h (t) = 10 + 78 t - 16 t^{2}$ .

a. Hvert er $y$ -gildi skurðpunktsins við $y$ -ás?

Lausn

Skurðpunkturinn við $y$ -ás er $(0, 10)$ .

b. Hvert er $x$ -gildi skurðpunktsins við $x$ -ás?

Lausn

Skurðpunkturinn við $x$ -ás er $(5, 0)$ .

c. Hvað merkir hvor þessara punkta í þessum aðstæðum?

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Sjálfspróf

Graf annars stigs fallsins $y = - (x - 2) (x + 3)$ er sýnt hér fyrir neðan. Hver eru öll $x$ -gildi skurðpunktanna við $x$ -ás?

$x = 6$
$x = - 3, x = 2$
$x = 2, x = 6$
$x = - 3$

Viðbótarefni

Eiginleikar grafa annars stigs falla

Graf fallsins $y = (x + 1) (x - 2)$ er sýnt hér fyrir neðan. Hverjir eru skurðpunktarnir við $x$ - og $y$ -ás?

Skurðpunktarnir við $x$ -ás eru þar sem grafið sker $x$ -ásinn. Þetta gerist í punktunum $(- 1, 0) og (2, 0)$ .

Skurðpunkturinn við $y$ -ás er þar sem grafið sker $y$ -ásinn. Þetta gerist í punktinum $(0, 2)$ .

Reyndu þetta

Eiginleikar grafa annars stigs falla

Graf fallsins $y = - (x - 4) (x + 1)$ er hér fyrir neðan. Hverjir eru skurðpunktar grafsins við $x$ - og $y$ -ás?

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Svona má finna skurðpunktana:

Fyrir skurðpunktana við $x$ -ás skaltu skoða hvar grafið sker $x$ -ásinn. Þetta gerist þegar $x = - 1 og x = 4$ . Punktarnir eru því $(- 1, 0) og (4, 0)$ .

Fyrir skurðpunktinn við $y$ -ás skaltu skoða hvar grafið sker $y$ -ásinn. Þetta gerist þegar $y = 4$ . Punkturinn er því $(0, 4)$ .