66.6 Þáttun sérstakra margfelda

6.6.3 Þáttun mismunar tveggja ferninga

6.6.3 • Þáttun mismunar tveggja ferninga

Verkefni

Munið að

(a - b)

(a + b)

eru samokar. Þegar þeir eru margfaldaðir saman fæst mismunur tveggja ferninga:

a^{2} - b^{2}

Skoðum mynstrið sem er notað til að þátta mismun tveggja ferninga:

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Vinnið með félaga að því að þátta með reglunni um mismun tveggja ferninga. Skiptist á að ljúka einu skrefi í einu. Ef þú veist ekki næsta skref skaltu biðja félaga þinn um aðstoð.

81 y^{2} - 1

Berðu saman svarið þitt:

(9 y - 1) (9 y + 1)

196 m^{2} - 25 n^{2}

Berðu saman svarið þitt:

(14 m - 5 n) (14 m + 5 n)

6 p^{2} q^{2} - 54 p^{2}

Berðu saman svarið þitt:

6 p^{2} (q - 3) (q + 3)

7 a^{4} c^{2} - 7 b^{4} c^{2}

Berðu saman svarið þitt:

7 c^{2} (a - b) (a + b) (a^{2} + b^{2})

a^{2} + 6 a + 9 - 9 b^{2}

Berðu saman svarið þitt:

(a + 3 - 3 b) (a + 3 + 3 b)

x^{2} + 6 x + 9 - 4 y^{2}

Berðu saman svarið þitt:

(x + 3 - 2 y) (x + 3 + 2 y)

Er hægt að þátta tvílið með plúsmerki með reglunni um mismun tveggja ferninga? Útskýrðu.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Nei. Tvíliður sem er þáttaður með reglunni um mismun tveggja ferninga er alltaf á forminu

a^{2} - b^{2}

Í upprunalega efninu fylgir hjálparmyndband um þáttun mismunar tveggja ferninga þegar stærsti samdeilir kemur einnig fyrir.

Viðbótarefni

Þáttun mismunar tveggja ferninga

Hitt sérstaka margfeldið úr fyrri hluta var regla um margfeldi samoka tvíliða. Þá margfaldaðir þú tvo samoka tvíliði. Hér er dæmi:

(a - b) (a + b)

(3 x - 4) (3 x + 4)

{(a)}^{2} - {(b)}^{2}

{(3 x)}^{2} - 4^{2}

9 x^{2} - 16

Mismunur tveggja ferninga þáttast sem margfeldi samoka þátta.

Reglan um mismun tveggja ferninga

Ef a og b eru rauntölur, þá gildir:

Skýringarmynd af reglunni um mismun tveggja ferninga: a² - b² = (a - b)(a + b). Örvar merkja mismun, ferninga og samoka þætti.

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Orðið mismunur vísar til frádráttar. Til að nota regluna þarftu því að hafa tvílið þar sem tveir ferningar eru dregnir hvor frá öðrum.

Hvernig á að þátta mismun tveggja ferninga

Athugaðu hvort tvíliðurinn passi við mynstrið: er um frádrátt að ræða og eru fyrsti og síðasti liðurinn ferningar?

Lausn

a^{2} - b^{2}

Skrifaðu liðina sem ferninga.

Lausn

{(a)}^{2} - {(b)}^{2}

Skrifaðu margfeldi samoka þátta.

Lausn

(a - b) (a + b)

4. Athugaðu með því að margfalda.

Dæmi 1

Þáttaðu:

64 y^{2} - 1

Skref 1 - Passar tvíliðurinn við mynstrið? Já, þetta er mismunur og báðir liðir eru ferningar.

Skref 2 - Skrifaðu liðina sem ferninga.

{(8 y)}^{2} - 1^{2}

Skref 3 - Skrifaðu margfeldi samoka þátta.

(8 y - 1) (8 y + 1)

Skref 4 - Athugaðu með því að margfalda.

(8 y - 1) (8 y + 1) = 64 y^{2} - 1

Mikilvægt er að muna að summa tveggja ferninga þáttast ekki í margfeldi tvíliða. Eftir að stærsti samdeilir hefur verið tekinn út fyrir sviga er stæða af gerðinni

a^{2} + b^{2}

óþættanleg yfir rauntölum í þessu samhengi.

Dæmi 2

Þáttaðu:

144 x^{2} - 49 y^{2}

Skref 1 - Er þetta mismunur tveggja ferninga? Já.

{(12 x)}^{2} - {(7 y)}^{2}

Skref 2 - Þáttaðu sem margfeldi samoka þátta.

(12 x - 7 y) (12 x + 7 y)

Skref 3 - Athugaðu með því að margfalda.

(12 x - 7 y) (12 x + 7 y) = 144 x^{2} - 49 y^{2}

Eins og alltaf ættirðu fyrst að leita að stærsta samdeili þegar þú þarft að þátta stæðu. Stundum felur sameiginlegur þáttur mynstrið fyrir mismun tveggja ferninga og þá sést mynstrið fyrst eftir að hann hefur verið tekinn út fyrir sviga.

Í næsta dæmi er mismunur tveggja ferninga þáttaður tvisvar.

Dæmi 3

Þáttaðu:

48 x^{4} y^{2} - 243 y^{2}

Skref 1 - Er til stærsti samdeilir? Já, 3y². Taktu hann út fyrir sviga.

3 y^{2} (16 x^{4} - 81)

Skref 2 - Er tvíliðurinn í sviganum mismunur tveggja ferninga? Já.

3 y^{2} [{(4 x^{2})}^{2} - 9^{2}]

Skref 3 - Þáttaðu sem margfeldi samoka þátta.

3 y^{2} (4 x^{2} - 9) (4 x^{2} + 9)

Skref 4 - Taktu eftir að fyrsti tvíliðurinn er líka mismunur tveggja ferninga.

3 y^{2} [{(2 x)}^{2} - 3^{2}] (4 x^{2} + 9)

Skref 5 - Þáttaðu hann sem margfeldi samoka þátta.

3 y^{2} (2 x - 3) (2 x + 3) (4 x^{2} + 9)

Síðasti þátturinn, summa tveggja ferninga, þáttast ekki frekar hér.

Skref 6 - Athugaðu með því að margfalda.

3 y^{2} (2 x - 3) (2 x + 3) (4 x^{2} + 9) = 48 x^{4} y^{2} - 243 y^{2}

Dæmi 4

Þáttaðu:

x^{2} - 6 x + 9 - y^{2}

Skref 1 - Þáttaðu fyrst fyrstu þrjá liðina sem þrílið sem er ferningur tvíliðu.

{(x - 3)}^{2} - y^{2}

Skref 2 - Nú er þetta mismunur tveggja ferninga.

{(x - 3)}^{2} - y^{2}

Skref 3 - Þáttaðu sem margfeldi samoka þátta.

((x - 3) - y) ((x - 3) + y)

(x - 3 - y) (x - 3 + y)

Einnig má skrifa svarið sem

(x - y - 3) (x + y - 3)

Dæmi 1

Þáttaðu:

64 y^{2} - 1

Skref 1 - Passar tvíliðurinn við mynstrið? Já, þetta er mismunur og báðir liðir eru ferningar.

Skref 2 - Skrifaðu liðina sem ferninga.

{(8 y)}^{2} - 1^{2}

Skref 3 - Skrifaðu margfeldi samoka þátta.

(8 y - 1) (8 y + 1)

Skref 4 - Athugaðu með því að margfalda.

(8 y - 1) (8 y + 1) = 64 y^{2} - 1

Mikilvægt er að muna að summa tveggja ferninga þáttast ekki í margfeldi tvíliða. Eftir að stærsti samdeilir hefur verið tekinn út fyrir sviga er stæða af gerðinni

a^{2} + b^{2}

óþættanleg yfir rauntölum í þessu samhengi.

Dæmi 2

Þáttaðu:

144 x^{2} - 49 y^{2}

Skref 1 - Er þetta mismunur tveggja ferninga? Já.

{(12 x)}^{2} - {(7 y)}^{2}

Skref 2 - Þáttaðu sem margfeldi samoka þátta.

(12 x - 7 y) (12 x + 7 y)

Skref 3 - Athugaðu með því að margfalda.

(12 x - 7 y) (12 x + 7 y) = 144 x^{2} - 49 y^{2}

Í næsta dæmi er mismunur tveggja ferninga þáttaður tvisvar.

Dæmi 3

Þáttaðu:

48 x^{4} y^{2} - 243 y^{2}

Skref 1 - Er til stærsti samdeilir? Já, 3y². Taktu hann út fyrir sviga.

3 y^{2} (16 x^{4} - 81)

Skref 2 - Er tvíliðurinn í sviganum mismunur tveggja ferninga? Já.

3 y^{2} [{(4 x^{2})}^{2} - 9^{2}]

Skref 3 - Þáttaðu sem margfeldi samoka þátta.

3 y^{2} (4 x^{2} - 9) (4 x^{2} + 9)

Skref 4 - Taktu eftir að fyrsti tvíliðurinn er líka mismunur tveggja ferninga.

3 y^{2} [{(2 x)}^{2} - 3^{2}] (4 x^{2} + 9)

Skref 5 - Þáttaðu hann sem margfeldi samoka þátta.

3 y^{2} (2 x - 3) (2 x + 3) (4 x^{2} + 9)

Síðasti þátturinn, summa tveggja ferninga, þáttast ekki frekar hér.

Skref 6 - Athugaðu með því að margfalda.

3 y^{2} (2 x - 3) (2 x + 3) (4 x^{2} + 9) = 48 x^{4} y^{2} - 243 y^{2}

Dæmi 4

Þáttaðu:

x^{2} - 6 x + 9 - y^{2}

Skref 1 - Þáttaðu fyrst fyrstu þrjá liðina sem þrílið sem er ferningur tvíliðu.

{(x - 3)}^{2} - y^{2}

Skref 2 - Nú er þetta mismunur tveggja ferninga.

{(x - 3)}^{2} - y^{2}

Skref 3 - Þáttaðu sem margfeldi samoka þátta.

((x - 3) - y) ((x - 3) + y)

(x - 3 - y) (x - 3 + y)

Einnig má skrifa svarið sem

(x - y - 3) (x + y - 3)