66.6 Þáttun sérstakra margfelda

6.6.2 Þáttun þríliða sem eru ferningar tvíliða

6.6.2 • Þáttun þríliða sem eru ferningar tvíliða

Verkefni

Munið mynstrin fyrir þríliði sem eru ferningar tvíliða:

a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}

a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}

Þáttaðu hvern þrílið sem er ferningur tvíliðu. Ef þörf er á skaltu fyrst taka stærsta samdeili út fyrir sviga.

64 y^{2} - 80 y + 25

Berðu saman svarið þitt:

{(8 y - 5)}^{2}

16 y^{2} + 24 y + 9

Berðu saman svarið þitt:

{(4 y + 3)}^{2}

25 n^{2} - 120 n + 144

Berðu saman svarið þitt:

{(5 n - 12)}^{2}

100 y^{2} - 20 y + 1

Berðu saman svarið þitt:

{(10 y - 1)}^{2}

10 j k^{2} + 80 j k + 160 j

Berðu saman svarið þitt:

10 j {(k + 4)}^{2}

75 u^{4} - 30 u^{3} v + 3 u^{2} v^{2}

Berðu saman svarið þitt:

3 u^{2} {(5 u - v)}^{2}

Meira til að hugsa um

Þáttaðu þennan þrílið sem er ferningur tvíliðu.

90 p^{4} r^{2} + 300 p^{3} q r^{2} + 250 p^{2} q^{2} r^{2}

Berðu saman svarið þitt:

10 p^{2} r^{2} {(3 p + 5 q)}^{2}

Viðbótarefni

Þáttun þríliða sem eru ferningar tvíliða

Sumir þríliðir eru ferningar tvíliða. Þeir verða til þegar tvíliður er margfaldaður með sjálfum sér. Í fyrri kennslustund notuðum við ferningsregluna til að hefja tvílið í annað veldi.

{(a + b)}^{2}

{(3 x + 4)}^{2}

a^{2} + 2 a b + b^{2}

{(3 x)}^{2} + 2 (3 x \cdot 4) + 4^{2}

9 x^{2} + 24 x + 16

Þríliðurinn

9 x^{2} + 24 x + 16

er ferningur tvíliðunnar

3 x + 4

Í þessum hluta byrjar þú með þrílið sem er ferningur tvíliðu og þáttar hann.

Þú gætir þáttað þríliðinn með aðferðunum úr síðasta hluta, þar sem hann er á forminu

a x^{2} + b x + c

En ef þú sérð að fyrsti og síðasti liðurinn eru ferningar og að miðliðurinn passar við mynstrið fyrir þrílið sem er ferningur tvíliðu, sparar það mikla vinnu.

Hér er mynstrið, það er ferningsreglan notuð afturábak.

Mynstur fyrir þrílið sem er ferningur tvíliðu

Ef a og b eru rauntölur, þá gildir:

a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}

a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}

Til að nota mynstrið þarf að sjá að gefinn þríliður passi við það. Athugaðu fyrst hvort forystustuðullinn sé ferningur. Athugaðu næst hvort síðasti liðurinn sé ferningur. Síðan er miðliðurinn prófaður: er hann tvöfalt margfeldi þessara tveggja stærða?

2 a b

Dæmi 1

Þáttaðu:

9 x^{2} + 12 x + 4

Skref 1 - Passar þríliðurinn við mynstrið?

a^{2} + 2 a b + b^{2}

Er fyrsti liðurinn ferningur? Já.

9 x^{2} = {(3 x)}^{2}

Er síðasti liðurinn ferningur? Já.

4 = 2^{2}

Athugaðu miðliðinn. Er hann tvöfalt margfeldi 3x og 2? Já.

2 \cdot 3 x \cdot 2 = 12 x

Útskýring á 9x² + 12x + 4: (3x)² + 2(3x)(2) + 2², þar sem miðliðurinn 12x kemur úr 2(3x)(2). Örvar benda á 12x.

Skref 2 - Skrifaðu þríliðinn sem ferning tvíliðu.

9 x^{2} + 12 x + 4

{(3 x)}^{2} + 2 \cdot 3 x \cdot 2 + 2^{2}

{(3 x + 2)}^{2}

Skref 3 - Athugaðu með því að margfalda.

{(3 x + 2)}^{2} = {(3 x)}^{2} + 2 \cdot 3 x \cdot 2 + 2^{2} = 9 x^{2} + 12 x + 4

Fortákn miðliðsins ræður því hvort notað er plús- eða mínusmynstur. Þegar miðliðurinn er neikvæður notum við mynstrið

a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}

Skrefin eru tekin saman hér:

Skýringarmynd sem sýnir að (a + b)² og (a - b)² gefa a², b² og plús eða mínus 2ab.

Athugaðu hvort fyrsti og síðasti liðurinn séu ferningar og hvort miðliðurinn sé 2ab.
Skrifaðu þríliðinn sem ferning tvíliðu.
Athugaðu með því að margfalda.

Dæmi 2

Þáttaðu:

81 y^{2} - 72 y + 16

Fyrsti og síðasti liðurinn eru ferningar. Miðliðurinn er neikvæður, svo við prófum mynstrið

a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}

Skref 1 - Eru fyrsti og síðasti liðurinn ferningar? Já.

81 y^{2} = {(9 y)}^{2}

16 = 4^{2}

Skref 2 - Athugaðu miðliðinn.

Örvar sýna að (9y)² og 4² gefa miðliðinn 2(9y)(4), sem er 72y.

2 \cdot 9 y \cdot 4 = 72 y

Það passar við mínusmynstrið.

Skref 3 - Skrifaðu sem ferning tvíliðu.

{(9 y - 4)}^{2}

Skref 4 - Athugaðu með því að margfalda.

{(9 y - 4)}^{2} = {(9 y)}^{2} - 2 \cdot 9 y \cdot 4 + 4^{2} = 81 y^{2} - 72 y + 16

Dæmi 3

Þáttaðu:

36 x^{2} + 84 x y + 49 y^{2}

Skref 1 - Prófaðu liðina til að staðfesta mynstrið.

a^{2} + 2 (a) (b) + b^{2}

{(6 x)}^{2} + 2 (6 x) (7 y) + {(7 y)}^{2}

Skref 2 - Þáttaðu.

{(6 x + 7 y)}^{2}

Skref 3 - Athugaðu með því að margfalda.

{(6 x + 7 y)}^{2} = {(6 x)}^{2} + 2 \cdot 6 x \cdot 7 y + {(7 y)}^{2} = 36 x^{2} + 84 x y + 49 y^{2}

Mundu að fyrsta skrefið í þáttun er að leita að stærsta samdeili. Þríliðir sem eru ferningar tvíliða geta haft stærsta samdeili í öllum þremur liðum og þá á að taka hann út fyrir sviga fyrst. Stundum sést mynstrið fyrst eftir að stærsti samdeilirinn hefur verið tekinn út fyrir sviga.

Dæmi 4

Þáttaðu:

100 x^{2} y - 80 x y + 16 y

Skref 1 - Er til stærsti samdeilir? Já, 4y, svo taktu hann út fyrir sviga.

4 y (25 x^{2} - 20 x + 4)

Skref 2 - Er þríliðurinn í sviganum ferningur tvíliðu? Staðfestu mynstrið.

a^{2} - 2 a b + b^{2}

4 y [{(5 x)}^{2} - 2 \cdot 5 x \cdot 2 + 2^{2}]

Skref 3 - Skrifaðu sem ferning tvíliðu.

4 y {(5 x - 2)}^{2}

Mundu að halda þættinum 4y í lokasvarinu.

Skref 4 - Athugaðu með því að margfalda.

4 y {(5 x - 2)}^{2} = 4 y [{(5 x)}^{2} - 2 \cdot 5 x \cdot 2 + 2^{2}] = 4 y (25 x^{2} - 20 x + 4) = 100 x^{2} y - 80 x y + 16 y

Dæmi 1

Þáttaðu:

9 x^{2} + 12 x + 4

Skref 1 - Passar þríliðurinn við mynstrið?

a^{2} + 2 a b + b^{2}

Er fyrsti liðurinn ferningur? Já.

9 x^{2} = {(3 x)}^{2}

Er síðasti liðurinn ferningur? Já.

4 = 2^{2}

Athugaðu miðliðinn. Er hann tvöfalt margfeldi 3x og 2? Já.

2 \cdot 3 x \cdot 2 = 12 x

Skref 2 - Skrifaðu þríliðinn sem ferning tvíliðu.

9 x^{2} + 12 x + 4

{(3 x)}^{2} + 2 \cdot 3 x \cdot 2 + 2^{2}

{(3 x + 2)}^{2}

Skref 3 - Athugaðu með því að margfalda.

{(3 x + 2)}^{2} = {(3 x)}^{2} + 2 \cdot 3 x \cdot 2 + 2^{2} = 9 x^{2} + 12 x + 4

Fortákn miðliðsins ræður því hvort notað er plús- eða mínusmynstur. Þegar miðliðurinn er neikvæður notum við mynstrið

a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}

Skrefin eru tekin saman hér:

Athugaðu hvort fyrsti og síðasti liðurinn séu ferningar og hvort miðliðurinn sé 2ab.
Skrifaðu þríliðinn sem ferning tvíliðu.
Athugaðu með því að margfalda.

Dæmi 2

Þáttaðu:

81 y^{2} - 72 y + 16

Fyrsti og síðasti liðurinn eru ferningar. Miðliðurinn er neikvæður, svo við prófum mynstrið

a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}

Skref 1 - Eru fyrsti og síðasti liðurinn ferningar? Já.

81 y^{2} = {(9 y)}^{2}

16 = 4^{2}

Skref 2 - Athugaðu miðliðinn.

2 \cdot 9 y \cdot 4 = 72 y

Það passar við mínusmynstrið.

Skref 3 - Skrifaðu sem ferning tvíliðu.

{(9 y - 4)}^{2}

Skref 4 - Athugaðu með því að margfalda.

{(9 y - 4)}^{2} = {(9 y)}^{2} - 2 \cdot 9 y \cdot 4 + 4^{2} = 81 y^{2} - 72 y + 16

Dæmi 3

Þáttaðu:

36 x^{2} + 84 x y + 49 y^{2}

Skref 1 - Prófaðu liðina til að staðfesta mynstrið.

a^{2} + 2 (a) (b) + b^{2}

{(6 x)}^{2} + 2 (6 x) (7 y) + {(7 y)}^{2}

Skref 2 - Þáttaðu.

{(6 x + 7 y)}^{2}

Skref 3 - Athugaðu með því að margfalda.

{(6 x + 7 y)}^{2} = {(6 x)}^{2} + 2 \cdot 6 x \cdot 7 y + {(7 y)}^{2} = 36 x^{2} + 84 x y + 49 y^{2}

Dæmi 4

Þáttaðu:

100 x^{2} y - 80 x y + 16 y

Skref 1 - Er til stærsti samdeilir? Já, 4y, svo taktu hann út fyrir sviga.

4 y (25 x^{2} - 20 x + 4)

Skref 2 - Er þríliðurinn í sviganum ferningur tvíliðu? Staðfestu mynstrið.

a^{2} - 2 a b + b^{2}

4 y [{(5 x)}^{2} - 2 \cdot 5 x \cdot 2 + 2^{2}]

Skref 3 - Skrifaðu sem ferning tvíliðu.

4 y {(5 x - 2)}^{2}

Mundu að halda þættinum 4y í lokasvarinu.

Skref 4 - Athugaðu með því að margfalda.

4 y {(5 x - 2)}^{2} = 4 y [{(5 x)}^{2} - 2 \cdot 5 x \cdot 2 + 2^{2}] = 4 y (25 x^{2} - 20 x + 4) = 100 x^{2} y - 80 x y + 16 y