5.9.3 Teikna gröf jafna til að leysa verkefni

1. Þykkt samanbrotins blaðs, $t$, í millimetrum eftir að blaðið hefur verið brotið $n$ sinnum er gefin með jöfnunni $t=(\mathrm{0,05})·2^n$.

a. Hvað táknar talan 0,05 í jöfnunni?

b. Hvað táknar talan 2 í jöfnunni?

c. Notaðu tæknibúnað til að teikna graf jöfnunnar $t=(\mathrm{0,05})·2^n$.

Lausn

Hér er gildistafla fyrir þykkt blaðsins eftir mismunandi fjölda brota:

Fjöldi brota, n	Þykkt, t (mm)
0	0,05
1	0,1
2	0,2
3	0,4
4	0,8
5	1,6

d. Hversu mörg brot þarf til að samanbrotna blaðið verði meira en 1 mm þykkt? Hversu mörg brot þarf til að það verði meira en 1 cm þykkt? Útskýrðu hvernig þú veist það.

2. Flatarmál blaðs er 93,5 fertommur.

a. Finndu sýnilega flatarmálið sem eftir er eftir að blaðið hefur verið brotið í tvennt einu sinni, tvisvar og þrisvar.

b. Skrifaðu jöfnu sem lýsir sýnilegu flatarmáli blaðsins, $a$, eftir $n$ brot.

c. Notaðu tæknibúnað til að teikna graf jöfnunnar.

Lausn

d. Getur $n$ tekið neikvæð gildi í þessu samhengi? Gættu þess að rökstyðja svarið.

e. Getur $a$ tekið neikvæð gildi? Gættu þess að rökstyðja svarið.

f. Ákvarðaðu formengi grafsins með ójöfnu.

g. Ákvarðaðu myndmengi grafsins með ójöfnu.

h. Hvaða jafna táknar láréttu aðfelluna?

3. Notaðu jöfnuna til að spá fyrir um þykktina eftir 7 brot.

4. Skurðpunkturinn við y-ás táknar upphaflega þykkt blaðsins $t$ áður en það er brotið, það er þegar $n$ er 0. Reiknaðu skurðpunktinn við y-ás.

5. Aðfellan táknar mörk sem grafið nálgast í líkaninu. Hvað þýðir það hér?

Formengi og myndmengi grafa vísisfalla

Grafið hér að neðan lýsir magni kaffíns, $c$, í líkama einstaklings $t$ klukkustundum eftir upphafsmælingu upp á 100 mg. Ferlinum má lýsa með jöfnunni $c=100{(1-\mathrm{0,1})}^t$.

Hvert er minnsta gildið sem $c$ getur nálgast?

Þar sem $c$ er magn kaffíns getur það nálgast 0.

Getur $t$ einhvern tímann tekið neikvæð gildi?

Nei. Tími er ekki neikvæður í þessu samhengi, því mælingin hefst þegar $t=0$ og tíminn líður áfram.

Hver eru lægstu og hæstu gildin fyrir $t$?

Í upphafi er $t=0$. Síðan getur $t$ haldið áfram eins lengi og það tekur kaffínmagnið að verða svo nálægt 0 að það skiptir varla máli.

Formengið, það er möguleg gildi á $t$, er $t\ge 0$.

Myndmengið, það er möguleg gildi á $c$, er $0<c\le 100$.

Reyndu þetta

Formengi og myndmengi grafa vísisfalla

Verðmæti bíls í dollurum er fall, $f$, af fjölda ára, $t$, frá því að bíllinn var keyptur. Bíllinn var keyptur á 12.000 dollara. Tilgreindu formengi og myndmengi. Jafna ferilsins er $f=12.000{(1-\mathrm{0,25})}^t$.