55.9 Túlkun veldisfalla

5.9.3 Teikna gröf jafna til að leysa verkefni

5.9.3 • Teikna gröf jafna til að leysa verkefni

Verkefni

1. Þykkt samanbrotins blaðs, t, í millimetrum eftir að blaðið hefur verið brotið n sinnum er gefin með jöfnunni:

t = 0,05 \cdot 2^{n}

a. Hvað táknar talan 0,05 í jöfnunni?

Berðu saman svarið þitt:

Blaðið er 0,05 mm þykkt áður en það er brotið.

b. Hvað táknar talan 2 í jöfnunni?

Berðu saman svarið þitt:

Talan 2 segir að þykktin tvöfaldast í hvert sinn sem n hækkar um 1, það er í hvert sinn sem blaðið er brotið einu sinni í viðbót.

c. Notaðu tæknibúnað til að teikna graf jöfnunnar.

t = 0,05 \cdot 2^{n}

Berðu saman svarið þitt:

Hér er gildistafla fyrir þykkt blaðsins eftir mismunandi fjölda brota:

Fjöldi brota, n	Þykkt, t (mm)
0	0,05
1	0,1
2	0,2
3	0,4
4	0,8
5	1,6

Dreifirit sem sýnir fjölda brota á x-ásnum og þykkt í millimetrum á y-ásnum. Punktarnir hækka hratt þegar brotum fjölgar.

d. Hversu mörg brot þarf til að samanbrotna blaðið verði meira en 1 mm þykkt? Hversu mörg brot þarf til að það verði meira en 1 cm þykkt? Útskýrðu hvernig þú veist það.

Berðu saman svarið þitt:

Það þarf 5 brot til að blaðið verði meira en 1 mm þykkt. Eftir 4 brot er þykktin 0,8 mm og eftir 5 brot er hún 1,6 mm. Það þarf 8 brot til að blaðið verði meira en 1 cm þykkt, því 1 cm er 10 mm og eftir 8 brot er þykktin 12,8 mm.

2. Flatarmál blaðs er 93,5 fertommur.

a. Finndu sýnilega flatarmálið sem eftir er eftir að blaðið hefur verið brotið í tvennt einu sinni, tvisvar og þrisvar.

Berðu saman svarið þitt:

46,75; 23,375; 11,6875 fertommur.

b. Skrifaðu jöfnu sem lýsir sýnilegu flatarmáli blaðsins, a, eftir n brot.

Berðu saman svarið þitt:

a = 93,5 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}

c. Notaðu tæknibúnað til að teikna graf jöfnunnar.

Berðu saman svarið þitt:

Dreifirit sem sýnir að sýnilegt flatarmál í fertommum minnkar þegar fjöldi brota eykst.

d. Getur n tekið neikvæð gildi í þessu samhengi? Gættu þess að rökstyðja svarið.

Berðu saman svarið þitt:

Nei. Breytan n táknar fjölda skipta sem blaðið hefur verið brotið, svo hún getur ekki verið neikvæð.

e. Getur a tekið neikvæð gildi? Gættu þess að rökstyðja svarið.

Berðu saman svarið þitt:

Nei. Flatarmál blaðsins getur aldrei orðið neikvætt, sama hversu oft það er brotið.

f. Ákvarðaðu formengi grafsins með ójöfnu.

Berðu saman svarið þitt:

n \geq 0

g. Ákvarðaðu myndmengi grafsins með ójöfnu.

Berðu saman svarið þitt:

0 < a \leq 93,5

Flatarmálið getur hvorki verið neikvætt né orðið nákvæmlega 0, því blaðið hverfur ekki.

h. Hvaða jafna táknar láréttu aðfelluna?

Berðu saman svarið þitt:

y = 0

3. Notaðu jöfnuna til að spá fyrir um þykktina eftir 7 brot.

Berðu saman svarið þitt:

t = 0,05 \cdot 2^{7} = 0,05 \cdot 128 = 6,4

4. Skurðpunkturinn við y-ás táknar upphaflega þykkt blaðsins t áður en það er brotið, það er þegar n er 0. Reiknaðu skurðpunktinn við y-ás.

Berðu saman svarið þitt:

t = 0,05 \cdot 2^{0} = 0,05 \cdot 1 = 0,05

5. Aðfellan táknar mörk sem grafið nálgast í líkaninu. Hvað þýðir það hér?

Berðu saman svarið þitt:

Í líkaninu vex þykkt blaðsins eftir því sem fjöldi brota eykst. Líkanið gefur til kynna að þykktin geti vaxið án takmarks, þó það sé ekki raunhæft í raunveruleikanum.

Sjálfspróf

Grafið hér að neðan sýnir verðmæti tölvu í dollurum, y, sem fall af tíma, x, mælt í árum frá kaupum. Hvert er myndmengið fyrir grafið og aðstæðurnar?

Graf sem sýnir verðmæti tölvu í dollurum eftir fjölda ára frá kaupum. Verðmætið byrjar nálægt 400 dollurum og lækkar í átt að 0.

y \geq 0

0 < y \leq 400

x \geq 0

y \leq 400

Viðbótarefni

Formengi og myndmengi grafa vísisfalla

Grafið hér að neðan lýsir magni kaffíns, c, í líkama einstaklings t klukkustundum eftir upphafsmælingu upp á 100 mg. Ferlinum má lýsa með jöfnunni:

c = 100 {(1 - 0,1)}^{t}

Graf sem sýnir magn kaffíns í milligrömmum yfir tíma í klukkustundum. Kaffínið byrjar í 100 mg og minnkar smám saman þegar tíminn líður.

Hvert er minnsta gildið sem c getur nálgast?

Þar sem c er magn kaffíns getur það nálgast 0.

Getur t einhvern tímann tekið neikvæð gildi?

Nei. Tími er ekki neikvæður í þessu samhengi, því mælingin hefst þegar t = 0 og tíminn líður áfram.

t = 0

Hver eru lægstu og hæstu gildin fyrir t?

Í upphafi er t = 0. Síðan getur t haldið áfram eins lengi og það tekur kaffínmagnið að verða svo nálægt 0 að það skiptir varla máli.

Formengið, það er möguleg gildi á t, er:

t \geq 0

Myndmengið, það er möguleg gildi á c, er:

0 < c \leq 100

Reyndu þetta

Formengi og myndmengi grafa vísisfalla

Verðmæti bíls í dollurum er fall, f, af fjölda ára, t, frá því að bíllinn var keyptur. Bíllinn var keyptur á 12.000 dollara. Tilgreindu formengi og myndmengi. Jafna ferilsins er:

f = 12.000 {(1 - 0,25)}^{t}

Graf sem sýnir lækkandi verðmæti bíls í dollurum eftir fjölda ára frá kaupum. Verðmætið byrjar nálægt 12.000 dollurum og lækkar hratt fyrstu árin.

Berðu saman svarið þitt:

Svona má ákvarða formengi og myndmengi vísisfallsins:

Til að ákvarða formengið skaltu skoða t-gildin. Bíllinn er keyptur þegar t = 0, svo formengið er:

t \geq 0

Til að ákvarða myndmengið skaltu skoða f-gildin, það er mögulegt verðmæti bílsins í dollurum. Bíllinn var keyptur á 12.000 dollara og tapar verðmæti þar til verðmætið nálgast 0, en hann verður aldrei neikvæðra dollara virði.

Myndmengið er:

0 < f \leq 12.000

Fjöldi brota, n

Þykkt, t (mm)

0,05

0,1

0,2

0,4

0,8

1,6