55.5 Framsetning á veldishrörnun

5.5.4 Að rökstyðja veldislíkön

5.5.4 • Að rökstyðja veldislíkön

Verkefni

Sjúklingur með sykursýki fær 100 míkrógrömm af insúlíni. Grafið sýnir magn insúlíns í blóðrásinni, mælt í míkrógrömmum, eftir tíma í mínútum.

Punktarit sem sýnir magn insúlíns í míkrógrömmum eftir tíma í mínútum. Punktarnir (1, 90), (2, 81) og (3, 72,9) eru merktir og gildin minnka eftir því sem tíminn líður.

Vísindamenn hafa komist að því að magn insúlíns í líkama sjúklingsins minnkar samkvæmt vísishnignun. Hvernig geturðu kannað hvort grafið styðji fullyrðingu vísindamannanna?

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Ef insúlínið minnkar samkvæmt vísishnignun, þá brotnar sama hlutfall þess niður á hverri mínútu og sama hlutfall verður eftir. Ein leið til að kanna hvort spáin passi við gögnin er því að skoða hvaða hlutfall insúlíns brotnar niður, eða verður eftir, eftir fyrstu mínútuna, aðra mínútuna og svo framvegis. Ef hlutföllin eru þau sömu styður grafið fullyrðingu vísindamannanna.

Svaraðu spurningunum.

Lausn

a. Hversu mikið insúlín brotnaði niður á fyrstu mínútunni?

Berðu saman svarið þitt:

10 míkrógrömm brotnuðu niður.

b. Hvaða hlutfall er það af upphaflegu insúlínmagninu?

Berðu saman svarið þitt:

\frac{1}{10}

Það er einn tíundi af upphaflega skammtinum.

Svaraðu spurningunum.

Lausn

a. Hversu mikið insúlín brotnaði niður á annarri mínútunni?

Berðu saman svarið þitt:

9 míkrógrömm brotnuðu niður.

b. Hvaða hlutfall er það af magninu sem var í blóðrásinni einni mínútu fyrr?

Berðu saman svarið þitt:

\frac{1}{10}

Það er einn tíundi af magninu einni mínútu fyrr.

Hvaða hlutfall insúlíns er eftir í blóðrásinni fyrir hverja mínútu sem líður? Vertu tilbúin(n) að sýna rökstuðning þinn.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

\frac{9}{10}

Til dæmis brotnar annar einn tíundi af insúlíninu niður næstu mínútuna. Í hvert skipti eru níu tíundu hlutar magnsins eftir.

Fylltu út töfluna til að sýna spáð magn insúlíns 4 og 5 mínútum eftir sprautuna.

Lausn

Tími eftir sprautu (mínútur)	0	1	2	3	4	5
Insúlín í blóðrásinni (míkrógrömm)	100	90	81	72,9

Berðu saman svörin þín:

Tími eftir sprautu (mínútur)	0	1	2	3	4	5
Insúlín í blóðrásinni (míkrógrömm)	100	90	81	72,9	65,61	59,05

Svaraðu spurningunum.

Lausn

a. Lýstu því hvernig þú myndir finna hve mörg míkrógrömm af insúlíni eru eftir í blóðrásinni eftir 10 mínútur.

Berðu saman svarið þitt:

Margfaldaðu 100 með vaxtarstuðlinum tíu sinnum:

100 \cdot {(\frac{9}{10})}^{10}

b. Eftir m mínútur?

Berðu saman svarið þitt:

Til dæmis má margfalda 100 með vaxtarstuðlinum m sinnum:

100 \cdot {(\frac{9}{10})}^{m}

Myndband: Greining á veldisgröfum og ritun jafna

Horfðu á myndbandið til að læra meira um að greina veldisgröf og nota þau til að skrifa jöfnu.

Viðbótarefni

Fleiri veldislíkön

Grafið sýnir magn efnis í líkama sjúklings á mismunandi tímum, mælt í klukkustundum frá því að magnið var fyrst mælt.

Gæti magn efnisins í sjúklingnum minnkað samkvæmt vísishnignun? Útskýrðu hvernig þú veist það.

Graf sem sýnir magn parasetamóls í milligrömmum eftir tíma í klukkustundum. Grafið byrjar í 1000 mg, fer í 750 mg eftir 1 klukkustund og í 562,5 mg eftir 2 klukkustundir og heldur áfram að lækka.

Grafið virðist hafa lögun vísishnignunar. Til að staðfesta hvort efnið í sjúklingnum minnkar samkvæmt vísishnignun má finna vaxtarstuðulinn. Þar sem liðir í veldislíkani eru margfaldaðir með vaxtarstuðlinum má deila samliggjandi gildum til að athuga hvort sami vaxtarstuðull fæst í hvert sinn.

Á grafinu eru fyrstu gildin 1000, 750 og 562,5. Samliggjandi hlutföll eru jöfn:

\frac{750}{1000} = \frac{562,5}{750} = \frac{3}{4}

Vaxtarstuðullinn er því þrír fjórðu hlutar. Ef y táknar magn efnisins í mg og x táknar tímann í klukkustundum má lýsa líkaninu með jöfnunni:

y = 1000 \cdot {(\frac{3}{4})}^{x}

Þegar tíminn líður nálgast magn efnisins 0 mg. Þetta sést á grafinu þar sem gagnapunktarnir nálgast x-ásinn. Línan sem punktarnir nálgast kallast aðfella. Í þessu dæmi er aðfellan

y = 0

Fleiri veldislíkön

Eftirfarandi tafla sýnir fjölda fólks sem hefur lesið bók. Sýnir taflan veldisvöxt? Vertu tilbúin(n) að sýna rökstuðning þinn.

Fjöldi mánaða	Fjöldi fólks sem hefur lesið bókina
0	300
1	600
2	1200
3	2400

Berðu saman svarið þitt:

Hér er ein leið til að kanna hvort taflan sýnir veldistengsl:

Eins og með gildi á grafi má deila samliggjandi gildum til að finna vaxtarstuðulinn. Ef sama hlutfall fæst fyrir hvert par samliggjandi gilda eru tengslin veldisleg. Hér fæst:

\frac{600}{300} = \frac{1200}{600} = \frac{2400}{1200} = 2

Taflan sýnir því veldisvöxt. Ef y táknar fjölda fólks sem hefur lesið bókina og x táknar fjölda mánaða má lýsa stöðunni með jöfnunni:

y = 300 \cdot 2^{x}

Fleiri veldislíkön

Eftirfarandi tafla sýnir fjölda fólks sem hefur lesið bók. Sýnir taflan veldisvöxt? Vertu tilbúin(n) að sýna rökstuðning þinn.

Fjöldi mánaða

Fjöldi fólks sem hefur lesið bókina

300

600

1200

2400

Berðu saman svarið þitt:

Hér er ein leið til að kanna hvort taflan sýnir veldistengsl:

Eins og með gildi á grafi má deila samliggjandi gildum til að finna vaxtarstuðulinn. Ef sama hlutfall fæst fyrir hvert par samliggjandi gilda eru tengslin veldisleg. Hér fæst:

\frac{600}{300} = \frac{1200}{600} = \frac{2400}{1200} = 2

Taflan sýnir því veldisvöxt. Ef y táknar fjölda fólks sem hefur lesið bókina og x táknar fjölda mánaða má lýsa stöðunni með jöfnunni:

y = 300 \cdot 2^{x}