5.5.3 Að nota gröf til að sýna vísishnignun

5.5.3 • Að nota gröf til að sýna vísishnignun

Verkefni

Til að halda þörungablóma í stöðuvatni í skefjum nota vísindamenn meðferðarefni.

Þegar meðferðin hefst er flatarmálið sem þörungarnir þekja, A, í ferjördum gefið með jöfnunni hér fyrir neðan. Tíminn, t, er mældur í vikum.

1. Hvað segir 240 okkur um þörungana í jöfnunni?

Berðu saman svarið þitt:

Í upphafi þekja þörungarnir 240 ferjarda.

2. Hvað segir brotið 1/3 okkur?

Berðu saman svarið þitt:

Í hverri viku er flatarmálið sem þörungarnir þekja einn þriðji af flatarmálinu vikuna á undan.

3. Búðu til graf sem sýnir jöfnuna þegar t er 0, 1, 2, 3 og 4. Veldu kvarða ásanna vandlega. Ef þú festist getur þú búið til gildistöflu fyrst.

Berðu saman svarið þitt:

4. Um það bil hve marga ferjarda þekja þörungarnir eftir 2,5 vikur? Vertu tilbúin(n) að sýna rökstuðning þinn.

Svör geta verið mismunandi, en hér er dæmi:

Þörungarnir þekja minna en 27 ferjarda og meira en 9 ferjarda, því flatarmálið minnkar. Góð ágiskun er tala á bilinu 15 til 20.

Viltu meira?

Að víkka hugsunina

Vísindamennirnir áætla að til að koma í veg fyrir að þörungablóminn breiðist út eftir að meðferðinni lýkur þurfi þeir að ná flatarmálinu niður fyrir eitt ferfet. Hve margar vikur ætti meðferðin að standa til að ná því markmiði?

Berðu saman svarið þitt:

7 vikur. Í hverjum ferjarda eru 9 ferfet, þannig að 1 ferfet er 1/9 úr ferjarda, eða um 0,111 ferjardi. Eftir 7 vikur fer flatarmálið fyrst niður fyrir 1/9 úr ferjarda.

Sjálfspróf

Hvaða graf hér fyrir neðan sýnir fallið?

Viðbótarefni

Tengsl taflna og grafa í vísishnignun

Stofn farfiðrilda, p, uppfyllir jöfnuna hér fyrir neðan, þar sem w er fjöldi vikna frá því að þau hófu far sitt.

Svaraðu spurningunum til að fylla út töfluna og búa til graf sem sýnir stofninn eftir fjölda vikna frá upphafi farsins.

• Fjöldi fiðrilda þegar þau hófu far sitt.
• Fjöldi fiðrilda 1 viku eftir að þau hófu far sitt.
• Fjöldi fiðrilda 3 vikum eftir að þau hófu far sitt.
• Búðu til graf sem sýnir stofninn best.
• Hver er skurðpunktur grafsins við y-ásinn? Hvað segir hann um fiðrildastofninn?
• Hvenær nær fiðrildastofninn um það bil 50.000?
• Hver er aðfella grafsins? Hvað segir hún um fiðrildastofninn með tímanum?

Þegar jafna aðstæðnanna er þekkt má setja gildi inn fyrir breytuna og nota röð reikniaðgerða til að finna gildin í töflunni.

Upphafsgildið er 100.000. Eftir 1 viku fæst 80.000 og eftir 3 vikur fæst 51.200.

Skurðpunkturinn við y-ásinn er 100.000. Hann segir að þegar fiðrildin hefja far sitt, það er þegar w = 0, sé stofninn 100.000.

Fiðrildastofninn nær um það bil 50.000 eftir um 3 vikur.

Aðfella er lína sem graf falls nálgast en sker ekki. Þegar w verður stærra minnkar veldisliðurinn sífellt meira. Því nálgast stofninn p núll. Lárétta aðfellan er x-ásinn, eða línan y = 0.

Reyndu þetta

Tengsl taflna og grafa í vísishnignun

Á útgáfuári bókar seldust 600.000 eintök. Á hverju ári eftir það minnkaði fjöldi seldra eintaka um helming.

1. Fylltu út töfluna sem sýnir fjölda seldra eintaka á hverju ári.

Berðu saman svarið þitt:

Settu 600.000 í fyrstu línuna, því það er upphafsgildið. Fyrir hvert gildi á eftir margfaldar þú með 1/2.

1. Ritaðu jöfnu sem sýnir fjölda seldra eintaka, c, y árum eftir að bókin kom út.

   $$c=600.000·{\left(\frac{1}{2}\right)}^y$$

2. Notaðu grafteikniverkfæri eða aðra tækni. Teiknaðu graf jöfnunnar sem sýnir aðstæðurnar.

Notaðu punktana í töflunni til að búa til graf.

4. Notaðu jöfnuna eða grafið til að finna c þegar y = 6. Hvað þýðir það fyrir bóksöluna?

Niðurstaðan 9.375 þýðir að sex árum eftir útgáfu bókarinnar seldust 9.375 eintök.

5. Hver er skurðpunktur grafsins við y-ásinn? Hvað segir hann um fjölda seldra eintaka?

Skurðpunkturinn við y-ásinn er 600.000. Það þýðir að á útgáfuárinu, þegar y = 0, seldust 600.000 eintök.

6. Hver er aðfella grafsins? Hvað segir hún um fjölda seldra eintaka með tímanum?

Þegar y stækkar nálgast fallið 0. Lárétta aðfellan er því y = 0. Það segir að þegar árin líða nálgast fjöldi seldra eintaka núll.