5.14.3 Samanburður línulegra falla og vísisfalla

Verkefni

Skoðaðu föllin: $f(x)=2x$ og $g(x)={(\mathrm{1,01})}^x$.

1. Fylltu út gildistöfluna fyrir föllin $f$ og $g$.

   $x$	$f(x)=2x$	$g(x)={(\mathrm{1,01})}^x$
   1
   10
   50
   100
   500

   Lausn

   Berðu svarið þitt saman:

   $x$	$f(x)=2x$	$g(x)={(\mathrm{1,01})}^x$
   1	2	1,01
   10	20	≈1,10
   50	100	≈1,645
   100	200	≈2,7
   500	1.000	≈144,8

2. Miðað við gildistöfluna, hvort fallið virðist vaxa hraðar? Gakktu úr skugga um að þú getir rökstutt svarið.
   Lausn

   Berðu svarið þitt saman: $f$ vex hraðar fyrir $x$-gildin sem eru í töflunni, en þegar $x$ hækkar fer $g$ að vaxa hraðar. Því gæti $g$ að lokum vaxið hraðar en $f$.

3. Hvort fallið heldur þú að nái gildinu 2.000 fyrst? Rökstyddu svarið. Ef þú festist skaltu prófa að hækka $x$ um 100 nokkrum sinnum og skrá fallgildin í töfluna.
   Lausn

   Berðu svarið þitt saman:

   $f(600)=1.200ogg(600)\approx 392$, Þegar $x$ er 600 tekur $f$ því hærra gildi.

   $f(700)=1.400ogg(700)\approx 1.059$, Þegar $x$ er 700 tekur $f$ enn hærra gildi.

   $f(800)=1.600ogg(800)\approx 2.865$, Þegar $x$ er 800 tekur $g$ hærra gildi. Vísisfallið nær því gildinu 2.000 fyrst.

Ertu til í meira?

Að útvíkka hugsunina

Skoðaðu föllin: $g(x)=x^5$ og $f(x)=5^x$.

Þó að til dæmis sé satt að: $f(7)>g(7)$, er erfitt að staðfesta það með hugarreikningi. Finndu gildi á $x$ þar sem veldisreglur gera þér kleift að álykta án reiknivélar að: $f(x)>g(x)$.

Lausn

Berðu svarið þitt saman: Svarið getur verið breytilegt. Eitt dæmi er: $x=25$.

Þá fæst: $f(25)=5^{25}$, en: $g(25)={25}^5={(5^2)}^5=5^{10}$, sem er minna en: $5^{25}$.

Sjálfspróf

Terence skoðaði annan dálkinn í töflunni hér fyrir neðan og tók eftir að kvótarnir í úttaksgildunum eru allir 3: $\frac{3}{1}=\frac{9}{3}=\frac{27}{9}=\frac{81}{27}$

Út frá þessu hélt hann því fram að hægt væri að lýsa inntaks- og úttakspörunum með vísisfalli. Útskýrðu hvers vegna hann hefur rétt eða rangt fyrir sér.

$x$	$T(x)$
0	1
1	3
4	9
13	27
40	81

1. Terence hefur rangt fyrir sér. Taflan sýnir línuleg tengsl, því breytingarhlutfallið milli raða er fast.
2. Terence hefur rangt fyrir sér. Punktarnir sýna hvorki línuleg tengsl né vísisfall, því $x$ og $y$ breytast um ólíkar stærðir.
3. Terence hefur rétt fyrir sér. Þessa töflu má lýsa með: $y=1·3^x$
4. Terence hefur rétt fyrir sér. Liðir í töflu sem tengjast með föstum margföldunarstuðli sýna alltaf vísisfall.

Viðbótarefni

Að ákvarða og bera saman línuleg föll og vísisföll

Herra Smith á eplagarð. Hann ræður dóttur sína, Lucy, til að tína epli og býður henni tvo greiðslukosti:

• Kostur A: 1,50 dalir fyrir hvert bushel af eplum sem hún tínir.
• Kostur B: 1 sent fyrir að mæta í vinnuna, 3 sent fyrir að tína eitt bushel, 9 sent fyrir tvö bushel, 27 sent fyrir þrjú bushel og svo framvegis. Upphæðin þrefaldast fyrir hvert viðbótarbushel.

Hvaða kostur er línulegur og hvaða kostur er veldisvöxtur? Hvernig veistu það?

Búðu til töflu fyrir hvora sviðsmynd.

Hvor kosturinn er betri ef hún tínir 6 bushel? En 12 bushel? Hversu mörg bushel þarf hún að tína til að kostur B verði betri en kostur A?

Látum $x$ tákna fjölda bushela sem Lucy tínir og $f(x)$ heildarupphæðina sem hún fær fyrir $x$ bushel.

Kostur A er línulegur vegna þess að greitt er 1,50 dalir fyrir hvert bushel. Kostur B er vísisfall vegna þess að upphæðin þrefaldast fyrir hvert bushel.

	Línulegt líkan	Vísisfall
Almennt form	$f(x)=ax+b$	$f(x)=a·b^x$
Merking stika	a er hallatala eða fastur breytingarhraði; b er skurðpunktur við y-ás, eða f(x) þegar x=0.	a er skurðpunktur við y-ás, eða f(x) þegar x=0; b er veldisstofn eða fastur kvóti.
Dæmi	$f(x)=\mathrm{1,50}x$	$f(x)=\mathrm{0,01}·3^x$
Regla fyrir f(x+1)	Bæta 1,50 við f(x).	Margfalda f(x) með 3.

$x$	$f(x)$
0	0
1	1,50
2	3,00
3	4,50

$x$	$f(x)$
0	0,01
1	0,03
2	0,09
3	0,27

Til að búa til töflu fyrir kost A er 1,50 dalir lagðir við hvern lið. Til að búa til töflu fyrir kost B er hver liður margfaldaður með 3.

fjöldi bushela	upphæð í dölum
1	1,50
2	3,00
3	4,50
4	6,00
5	7,50
6	9,00

fjöldi bushela	upphæð í dölum
1	0,03
2	0,09
3	0,27
4	0,81
5	2,43
6	7,29

Ef Lucy tínir 6 bushel er kostur A betri, því hún fær 9,00 dali.

Ef hún tínir 12 bushel er kostur A 18,00 dalir en kostur B 5.314,41 dalir, þannig að kostur B er betri.

Til að finna hvenær kostur B verður betri má framlengja töfluna eða teikna föllin og finna x-gildið þar sem kostur B fer fram úr kosti A. Fjöldinn er meiri en 6 en minni en 12, og kostur B er betri þegar Lucy tínir 7 eða fleiri bushel af eplum.

Reyndu þetta

Að ákvarða og bera saman línuleg föll og vísisföll

Jayden rekur hundaviðrun. Hann býður tvær leiðir. Leið 1 felur í sér eina hundaviðrun á dag fyrir 5 dali á dag. Leið 2 felur líka í sér eina viðrun á dag, en heildarkostnaðurinn tvöfaldast: 1 sent fyrir 1 dag, 2 sent fyrir 2 daga, 4 sent fyrir 3 daga, 8 sent fyrir 4 daga og svo framvegis. Frú Maroney þarf hundaviðrun á hverjum degi í tvær vikur. Hvora leið ætti hún að velja? Sýndu útreikninga til að rökstyðja svarið.

Lausn

Berðu svarið þitt saman: Leið 1 er línuleg, því hún kostar 5 dali á dag. Leið 2 vex samkvæmt vísisfalli, því kostnaðurinn tvöfaldast. Tvær vikur eru 14 dagar.

Leið 1 í 14 daga kostar: $5·14=70$.

Leið 2 í 14 daga kostar, miðað við mynstrið 1 sent fyrir 1 dag, 2 sent fyrir 2 daga og svo framvegis: $\mathrm{0,01}·2^{13}=\mathrm{81,92}$.

Leið 1 er því betri fyrir frú Maroney, því hún kostar minna.