5.14.2 Að nota töflur til að bera saman línuleg föll og vísisföll

Verkefni

Fjölskylda á 1.000 dali til að fjárfesta og íhugar tvo kosti: að kaupa ríkisskuldabréf með 2% einföldum vöxtum eða leggja féð inn á sparireikning í banka. Bankinn tekur 20 dala stofngjald og greiðir 2% vaxtavexti. Í báðum kostum eru vextir greiddir árlega.

Töflurnar sýna hvað fjölskyldan hefði á fyrstu árum fjárfestingarinnar ef hún bætir engu við og tekur ekkert út.

fjárfestingarár	upphæð í dölum
0	1.000
1	1.020
2	1.040

fjárfestingarár	upphæð í dölum
0	980
1	999,60
2	1.019,59

1. Skuldabréf: Hvernig vex fjárfestingin með einföldum vöxtum?
   Lausn

   Berðu svarið þitt saman: Fjárfestingin vex línulega. Hún hækkar um 20 dali á hverju ári.

2. Sparireikningur: Hvernig eru upphæðirnar 999,60 dalir og 1.019,59 dalir reiknaðar?
   Lausn

   Berðu svarið þitt saman: 999,60 er 1,02 sinnum 980 og 1.019,59 er 1,02 sinnum 999,60.

3. Ritaðu jöfnu sem lýsir tengslunum milli peningaupphæðarinnar og fjölda ára fyrir hvorn kost.
   1. Jafna fyrir gögnin í skuldabréfatöflunni:
      Lausn

      $b=1.000+20x$

      Hér er $x$ fjöldi ára frá upphafi fjárfestingarinnar og $b$ virði skuldabréfanna.

   2. Jafna fyrir gögnin í töflu sparireikningsins:
      Lausn

      $s=980·{(\mathrm{1,02})}^x$

      Hér táknar $s$ virði sparireikningsins í dölum og $x$ fjölda ára frá upphafi fjárfestingarinnar.

4. Hvorn fjárfestingarkostinn ætti fjölskyldan að velja? Notaðu jöfnurnar eða útreikninga til að rökstyðja svarið.
   Lausn

   Berðu svarið þitt saman: Fjölskyldan ætti að velja skuldabréfin ef fjárfest er í skemmri tíma en 12 ár. Eftir 12 ár eru um 1.242,88 dalir á sparireikningnum, því gildið fæst úr $980·{(\mathrm{1,02})}^{12}$. Skuldabréfin eru þá 1.240 dala virði, því gildið fæst úr $1.000+20(12)$.

   Ef fjölskyldan sparar til langs tíma, til dæmis fyrir háskólanámi eða eftirlaunum, ætti hún að velja sparireikninginn. Með tímanum verður meira fé á sparireikningnum en fæst með skuldabréfunum. Eftir 20 ár eru til dæmis 1.456,23 dalir á sparireikningnum: $[980·{(\mathrm{1,02})}^{20}]$. Á sama tíma gefa skuldabréfin aðeins 1.400 dali: $[1.000+20(20)]$.

5. Notaðu Desmos-grafreiknivélina til að teikna gröf fyrir báða fjárfestingarkostina og sýna hvernig upphæðin vex í hvorum kosti.
   Lausn

   Berðu svarið þitt saman:

   

Myndband: Að nota töflur til að bera saman línuleg föll og vísisföll

Horfðu á myndbandið til að læra meira um samanburð línulegra falla og vísisfalla.

Sjálfspróf

Joanna notaði reiknivél, bjó til töfluna hér fyrir neðan og setti fram tilgátuna að $3x$ væri alltaf stærra en ${(\mathrm{1,02})}^x$. Hefur hún rétt fyrir sér? Útskýrðu.

$x$	${(\mathrm{1,02})}^x$	$3x$
1	1,02	3
2	1,0404	6
3	1,0612	9
4	1,0824	12
5	1,1041	15

1. Joanna hefur rangt fyrir sér. Ef taflan er framlengd að $x$ = 300 verður ${(\mathrm{1,02})}^x$ stærra en $3x$.
2. Joanna hefur rangt fyrir sér. Þar sem ${(\mathrm{1,02})}^x$ lýsir veldisvexti og $3x$ lýsir línulegum vexti verður ${(\mathrm{1,02})}^x$ að lokum stærra en $3x$.
3. Joanna hefur rétt fyrir sér. Ef punktarnir í töflunni fyrir ${(\mathrm{1,02})}^x$ og $3x$ eru teiknaðir, eru punktarnir fyrir $3x$ allir fyrir ofan punktana fyrir ${(\mathrm{1,02})}^x$.
4. Joanna hefur rétt fyrir sér. Ekkert gildi í töflunni fyrir ${(\mathrm{1,02})}^x$ er stærra en samsvarandi gildi fyrir $3x$.

Viðbótarefni

Samanburður línulegs vaxtar og veldisvaxtar með töflum

Flokkaðu hverja töflu sem línulega, veldisvöxt eða vísishnignun.

$x$	$f(x)$
1	$\frac{1}{2}$
2	$\frac{1}{4}$
3	$\frac{1}{8}$
4	$\frac{1}{16}$
5	$\frac{1}{32}$

$x$	$f(x)$
1	1,4
2	2,5
3	3,6
4	4,7
5	5,8

$x$	$f(x)$
1	30
2	60
3	120
4	240
5	480

Í öllum töflunum hækka inntökin, eða $x$-gildin, um 1 í hvert skipti. Slík gildi má kalla samliggjandi liði.

• Ef mismunurinn milli samsvarandi úttaka, eða $y$-gilda, er alltaf sami fastinn, má lýsa inntaks- og úttakspörunum með línulegu falli.
• Ef kvótinn milli samsvarandi úttaka, eða $y$-gilda, er alltaf sami fastinn, má lýsa inntaks- og úttakspörunum með vísisfalli. Vaxtarstuðull stærri en 1 merkir veldisvöxt og vaxtarstuðull milli 0 og 1 merkir vísishnignun.

Tafla getur líka sýnt gildi sem fylgja engu þessara tengsla.

Í töflu A er kvótinn milli fyrstu tveggja samliggjandi liða: $\frac{1}{4}/\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.

Sami kvóti fæst fyrir öll önnur pör samliggjandi liða. Tafla A táknar því vísisfall. Þar sem vaxtarstuðullinn er: $\frac{1}{2}$, og hann er milli 0 og 1, táknar tafla A vísishnignun.

Í töflu B er kvótinn milli samliggjandi liða ekki alltaf sá sami, en fastur mismunur er til staðar. Mismunurinn milli fyrstu tveggja liðanna er: $\mathrm{2,5}-\mathrm{1,4}=\mathrm{1,1}$.

Sama gildir um hin pör samliggjandi liða, þannig að tafla B táknar línuleg tengsl.

Í töflu C er kvótinn milli samliggjandi liða: $\frac{60}{30}=2$.

Þetta gildir fyrir öll pör samliggjandi liða. Tafla C táknar því vísisfall, og þar sem vaxtarstuðullinn er stærri en 1 táknar tafla C veldisvöxt.

Reyndu þetta

Reyndu þetta: Samanburður línulegs vaxtar og veldisvaxtar með töflum

Hver af eftirfarandi töflum táknar veldisvöxt? Gakktu úr skugga um að þú getir rökstutt svarið.

$x$	$f(x)$
1	2
2	8
3	14
4	20

$x$	$f(x)$
1	432
2	144
3	48
4	16

$x$	$f(x)$
1	4
2	16
3	64
4	256

$x$	$f(x)$
1	6
2	4
3	9
4	2

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Svona má ákvarða hvaða tafla sýnir veldisvöxt. Þegar leitað er að veldisvexti þarf hvert y-gildi að vera stærra en gildið á undan. Þannig má útiloka töflu B og töflu D.

Næst eru tengsl milli samliggjandi liða skoðuð. Í töflu A fæst bæði: $2+6=8$ og $2·4=8$.

Þess vegna gætu tengslin í fyrstu litið út fyrir að vera annaðhvort línuleg eða veldisvöxtur. Næsta liðapar sker úr um það: $8·4\ne 14$ og $8+6=14$.

Tengslin í töflu A eru því línuleg, ekki veldisvöxtur.

Svarið ætti því að vera tafla C, en alltaf þarf að staðfesta það. Fyrir samliggjandi liði í töflu C fæst sami vaxtarstuðullinn: $\frac{16}{4}=4$, $\frac{64}{16}=4$ og $\frac{256}{64}=4$.

Þetta sýnir að vaxtarstuðullinn er 4 og að tafla C táknar veldisvöxt.