55.14 Hvor breytist hraðar?

5.14.2 Að nota töflur til að bera saman línuleg föll og vísisföll

5.14.2 - Að nota töflur til að bera saman línuleg föll og vísisföll

Verkefni

Fjölskylda á 1.000 dali til að fjárfesta og íhugar tvo kosti: að kaupa ríkisskuldabréf með 2% einföldum vöxtum eða leggja féð inn á sparireikning í banka. Bankinn tekur 20 dala stofngjald og greiðir 2% vaxtavexti. Í báðum kostum eru vextir greiddir árlega.

Töflurnar sýna hvað fjölskyldan hefði á fyrstu árum fjárfestingarinnar ef hún bætir engu við og tekur ekkert út.

fjárfestingarár	upphæð í dölum
0	1.000
1	1.020
2	1.040

fjárfestingarár	upphæð í dölum
0	980
1	999,60
2	1.019,59

Skuldabréf: Hvernig vex fjárfestingin með einföldum vöxtum?

Lausn

Berðu svarið þitt saman: Fjárfestingin vex línulega. Hún hækkar um 20 dali á hverju ári.

Sparireikningur: Hvernig eru upphæðirnar 999,60 dalir og 1.019,59 dalir reiknaðar?

Lausn

Berðu svarið þitt saman: 999,60 er 1,02 sinnum 980 og 1.019,59 er 1,02 sinnum 999,60.

Ritaðu jöfnu sem lýsir tengslunum milli peningaupphæðarinnar og fjölda ára fyrir hvorn kost.

Lausn

a. Jafna fyrir gögnin í skuldabréfatöflunni:

b = 1.000 + 20 x

Hér er x fjöldi ára frá upphafi fjárfestingarinnar og b virði skuldabréfanna.

b. Jafna fyrir gögnin í töflu sparireikningsins:

s = 980 \cdot {(1,02)}^{x}

Hér táknar s virði sparireikningsins í dölum og x fjölda ára frá upphafi fjárfestingarinnar.

Hvorn fjárfestingarkostinn ætti fjölskyldan að velja? Notaðu jöfnurnar eða útreikninga til að rökstyðja svarið.

Lausn

Berðu svarið þitt saman: Fjölskyldan ætti að velja skuldabréfin ef fjárfest er í skemmri tíma en 12 ár. Eftir 12 ár eru um 1.242,88 dalir á sparireikningnum, því gildið fæst úr:

980 \cdot {(1,02)}^{12}

Skuldabréfin eru þá 1.240 dala virði, því gildið fæst úr:

1.000 + 20 (12)

Ef fjölskyldan sparar til langs tíma, til dæmis fyrir háskólanámi eða eftirlaunum, ætti hún að velja sparireikninginn. Með tímanum verður meira fé á sparireikningnum en fæst með skuldabréfunum. Eftir 20 ár eru til dæmis 1.456,23 dalir á sparireikningnum:

[980 \cdot {(1,02)}^{20}]

Á sama tíma gefa skuldabréfin aðeins 1.400 dali:

[1.000 + 20 (20)]

Notaðu Desmos-grafreiknivélina til að teikna gröf fyrir báða fjárfestingarkostina og sýna hvernig upphæðin vex í hvorum kosti.

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Línurit sem sýnir fjárfestingarár á x-ás og upphæð í dölum á y-ás. Tvö gröf, b í rauðu og s í bláu, hækka bæði; þau skerast um það bil við 11 ár og sparireikningurinn verður hærri eftir það.

Myndband: Að nota töflur til að bera saman línuleg föll og vísisföll

Horfðu á myndbandið til að læra meira um samanburð línulegra falla og vísisfalla.

Sjálfspróf

Joanna notaði reiknivél, bjó til töfluna hér fyrir neðan og setti fram tilgátuna að 3x væri alltaf stærra en (1,02)ˣ. Hefur hún rétt fyrir sér? Útskýrðu.

x	(1,02)ˣ	3x
1	1,02	3
2	1,0404	6
3	1,0612	9
4	1,0824	12
5	1,1041	15

{(1,02)}^{x} og 3 x

Joanna hefur rangt fyrir sér. Ef taflan er framlengd að x = 300 verður (1,02)ˣ stærra en 3x.
Joanna hefur rangt fyrir sér. Þar sem (1,02)ˣ lýsir veldisvexti og 3x lýsir línulegum vexti verður (1,02)ˣ að lokum stærra en 3x.
Joanna hefur rétt fyrir sér. Ef punktarnir í töflunni fyrir (1,02)ˣ og 3x eru teiknaðir, eru punktarnir fyrir 3x allir fyrir ofan punktana fyrir (1,02)ˣ.
Joanna hefur rétt fyrir sér. Ekkert gildi í töflunni fyrir (1,02)ˣ er stærra en samsvarandi gildi fyrir 3x.

Viðbótarefni

Samanburður línulegs vaxtar og veldisvaxtar með töflum

Flokkaðu hverja töflu sem línulega, veldisvöxt eða vísishnignun.

x	f(x)
1	1/2
2	1/4
3	1/8
4	1/16
5	1/32

x	f(x)
1	1,4
2	2,5
3	3,6
4	4,7
5	5,8

x	f(x)
1	30
2	60
3	120
4	240
5	480

Í öllum töflunum hækka inntökin, eða x-gildin, um 1 í hvert skipti. Slík gildi má kalla samliggjandi liði.

Ef mismunurinn milli samsvarandi úttaka, eða y-gilda, er alltaf sami fastinn, má lýsa inntaks- og úttakspörunum með línulegu falli.

Ef kvótinn milli samsvarandi úttaka, eða y-gilda, er alltaf sami fastinn, má lýsa inntaks- og úttakspörunum með vísisfalli. Vaxtarstuðull stærri en 1 gefur veldisvöxt; vaxtarstuðull milli 0 og 1 gefur vísishnignun.

Tafla getur líka sýnt gildi sem fylgja engu þessara tengsla.

Í töflu A er kvótinn milli fyrstu tveggja samliggjandi liða:

\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

Sami kvóti fæst fyrir öll önnur pör samliggjandi liða. Tafla A táknar því vísisfall. Þar sem vaxtarstuðullinn er:

\frac{1}{2}

og hann er milli 0 og 1, táknar tafla A vísishnignun.

Í töflu B er kvótinn milli samliggjandi liða ekki alltaf sá sami, en fastur mismunur er til staðar. Mismunurinn milli fyrstu tveggja liðanna er:

2,5 - 1,4 = 1,1

Sama gildir um hin pör samliggjandi liða, þannig að tafla B táknar línuleg tengsl.

Í töflu C er kvótinn milli samliggjandi liða:

\frac{60}{30} = 2

Þetta gildir fyrir öll pör samliggjandi liða. Tafla C táknar því vísisfall, og þar sem vaxtarstuðullinn er stærri en 1 táknar tafla C veldisvöxt.

Reyndu þetta: Samanburður línulegs vaxtar og veldisvaxtar með töflum

Hver af eftirfarandi töflum táknar veldisvöxt? Gakktu úr skugga um að þú getir rökstutt svarið.

x	f(x)
1	2
2	8
3	14
4	20

x	f(x)
1	432
2	144
3	48
4	16

x	f(x)
1	4
2	16
3	64
4	256

x	f(x)
1	6
2	4
3	9
4	2

Berðu svarið þitt saman:

Svona má ákvarða hvaða tafla sýnir veldisvöxt. Þegar leitað er að veldisvexti þarf hvert y-gildi að vera stærra en gildið á undan. Þannig má fyrst útiloka töflu B og töflu D. Í töflu B minnka gildin, og í töflu D hækka þau og lækka til skiptis.

Næst eru tengsl milli samliggjandi liða skoðuð. Í töflu A fæst bæði:

2 + 6 = 8

2 \cdot 4 = 8

Þess vegna gætu tengslin í fyrstu litið út fyrir að vera annaðhvort línuleg eða veldisvöxtur. Næsta liðapar sker úr um það:

8 \cdot 4 \neq 14

8 + 6 = 14

Tengslin í töflu A eru því línuleg, ekki veldisvöxtur.

Svarið ætti því að vera tafla C, en alltaf þarf að staðfesta það. Fyrir samliggjandi liði í töflu C fæst sami vaxtarstuðullinn:

\frac{16}{4} = 4

\frac{64}{16} = 4

\frac{256}{64} = 4

Þetta sýnir að vaxtarstuðullinn er 4 og að tafla C táknar veldisvöxt.

fjárfestingarár

upphæð í dölum

1.000

1.020

1.040

fjárfestingarár

upphæð í dölum

980

999,60

1.019,59

f(x)

1/2

1/4

1/8

1/16

1/32

f(x)

1,4

2,5

3,6

4,7

5,8

f(x)

120

240

480

f(x)

432

144

f(x)

256

f(x)