5.11.4 Skoða vísishnignun í samhengi

Taflan sýnir nokkrar hæðir bolta eftir tiltekinn fjölda skoppa.

Skoppnúmer, $n$	Hæð, $h$ (cm)
0
1
2	73,5
3	51,5
4	36

1. Skoppar þessi bolti meira eða minna en tennisboltinn í verkefni 5.11.2, þar sem jafnan er þessi? Útskýrðu eða sýndu rökstuðning. $h=150·{\left(\mathrm{0,53}\right)}^n$

Lausn

Berðu svarið þitt saman.

Þessi bolti skoppar meira. Hvert skopp nær hæð sem er um það bil 0,7 sinnum hæðin í skoppinu á undan. Tennisboltinn í fyrra verkefninu tapar um helmingi hæðarinnar í hverju skoppi.

$\mathrm{51,5}÷\mathrm{73,5}\approx \mathrm{0,7}$

2. Úr hvaða hæð var boltanum sleppt? Útskýrðu eða sýndu rökstuðning. Mundu eftir einingunum.

Lausn

Berðu svarið þitt saman.

Boltanum var sleppt úr 150 cm hæð.

$\mathrm{73,5}÷\mathrm{0,7}=105$

$105÷\mathrm{0,7}=150$

3. Skrifaðu jöfnu sem lýsir skopphæð boltans, $h$, í sentimetrum eftir $n$ skopp.

Lausn

Berðu svarið þitt saman.

$h=150·{\left(\mathrm{0,7}\right)}^n$

4. Hvort grafið lýsir jöfnunni fyrir $h$ betur: graf A eða graf B? Undirbúðu rökstuðning fyrir svarinu.

Lausn

Berðu svarið þitt saman.

Graf B hentar betur. Í þessu samhengi eru aðeins heiltölugildi á n skynsamleg; til dæmis er ekki hægt að hafa skopp númer 3,4.

5. Verður $n$-ta skopp þessa bolta lægra en $n$-ta skopp tennisboltans með eftirfarandi jöfnu? Undirbúðu rökstuðning fyrir svarinu. $h=150·{\left(\mathrm{0,53}\right)}^n$

Lausn

Berðu svarið þitt saman.

Nei. Hæð þessa bolta eftir hvaða skopp sem er verður ekki lægri en hæð tennisboltans, því boltunum var sleppt úr sömu hæð og þessi bolti hefur stærri skoppstuðul. Hann skoppar því alltaf hærra en tennisboltinn.

6. Taflan sýnir vísishnignun sem byrjar í 640. Hvaða verkefni með vísishnignun gæti taflan lýst?

$x$	0	1	2	3
$y$	640	160	40	10

Lausn

Berðu svarið þitt saman.

Mynstrið byrjar í 640 og minnkar síðan um $\frac{3}{4}$ í hverju skrefi, þannig að $\frac{1}{4}$ helst eftir. Jafnan má skrifa á tvo jafngilda vegu.

$y=640·{(1-\frac{3}{4})}^x$

$y=640·{\left(\frac{1}{4}\right)}^x$

Dæmi 1

Gögn hafa verið sett í töflu sem sýnir vísishnignun. Hvernig má skrifa jöfnuna sem lýsir líkaninu?

$x$	0	1	2	3
$y$	200	100	50	25

Formúla fyrir vísishnignun er þessi, þar sem a er upphafsgildið og b er hlutfallið sem gildið minnkar um fyrir hverja einingu af x. $y=a·{(1-b)}^x$

Mynstrið byrjar í 200 og helmingast síðan; gildið minnkar um $\frac{1}{2}$ og $\frac{1}{2}$ helst eftir. Jafnan má skrifa á tvo jafngilda vegu. $y=200·{(1-\frac{1}{2})}^x$ eða $y=200·{\left(\frac{1}{2}\right)}^x$

Dæmi 2

Bíll er seldur á 4.000 dollara og tapar $\frac{1}{8}$ af verðgildi sínu á hverju ári. Skrifaðu fall sem gefur verðgildi bílsins, $V\left(t\right)$, $t$ árum eftir að hann er seldur.

Þar sem bíllinn tapar $\frac{1}{8}$ af verðgildi sínu á hverju ári heldur hann eftir $\frac{7}{8}$ af verðgildinu milli ára. Vaxtarstuðullinn er því $\frac{7}{8}$.

$V\left(t\right)=4000·{\left(\frac{7}{8}\right)}^t$