55.11 Líkanagerð fyrir veldishegðun

5.11.2 Velja viðeigandi líkan

5.11.2 - Velja viðeigandi líkan

Verkefni

Gulur tennisbolti á hvítri línu á grænum tennisvelli.

Hér eru mælingar á hámarkshæð tennisbolta eftir nokkur skopp á steyptu yfirborði.

Fjöldi skoppa, $n$	Hæð, $h$ (sentimetrar)
0	150
1	80
2	43
3	20
4	11

1. Hvort hentar betur til að búa til líkan af hámarkshæð tennisboltans, h, í sentimetrum, eftir $n$ skopp: línulegt fall eða vísisfall? Notaðu gögn úr töflunni til að styðja svarið.

Lausn

Berðu svarið þitt saman: vísisfall. Hér eru dæmi um rökstuðning.

Ef punktarnir eru settir í hnitakerfi liggja þeir ekki nálægt beinni línu.

Dreifirit sem sýnir hámarkshæð tennisbolta í sentimetrum eftir fjölda skoppa. Punktarnir lækka úr um 150 cm niður í um 10 cm og mynda boginn feril sem nálgast 0.

Línulegt fall fyrir skopphæðina myndi lækka um sömu tölu við hvert skopp. Mismunurinn á hæðum eftir skopp er ekki næstum sá sami, eins og taflan sýnir. Hann minnkar með hverju skoppi, þannig að fallið er ekki línulegt.

Fjöldi skoppa	Mismunur frá hæð fyrra skopps
0	--
1	70
2	37
3	23
4	9

Vísisfall fyrir skopphæðina myndi lækka með sama þætti við hvert skopp. Það lítur út fyrir að hvert skopp nái um það bil helmingi hæðar fyrra skopps, svo vísislíkan hentar vel.

2. Tennisreglur segja að bolti sem er látinn falla á steyptan flöt eigi að hoppa upp í hæð sem er á milli 53% og 58% af fallhæðinni. Uppfyllir þessi tennisbolti þessa kröfu? Undirbúðu rökstuðning fyrir svarinu.

Lausn

Berðu svarið þitt saman. Nokkur svör geta verið rökstudd:

Já. Fyrsta skoppið er rétt yfir 53%, annað er næstum 54% og fjórða er 55%. Þriðja skoppið er aðeins um 47%, en þar gæti verið mælingarskekkja.
Nei. Þriðja skoppið er undir 50% af fallhæð boltans og því utan leyfilegs bils.
Það er ekki hægt að segja með vissu. Eitt gildið er of lágt, en hin gildin eru nógu nálægt 53% til að óvíst sé hvort skopp þessa bolta uppfylli reglurnar.

3. Skrifaðu jöfnu sem lýsir skopphæðinni h eftir $n$ skopp fyrir þennan tennisbolta.

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

$h = 150 \cdot {(0,53)}^{n}$

Stuðullinn 0,5 er einnig ásættanlegur, og sömuleiðis gildi á bilinu 0,53 til 0,58 ef rökstuðningurinn er skýr.

4. Um það bil hversu mörg skopp þarf áður en skopphæð tennisboltans verður minni en 1 sentimetri? Undirbúðu rökstuðning fyrir svarinu.

Lausn

Berðu svarið þitt saman: 8 skopp. Til dæmis:

Hæð boltans lækkar um þátt sem er um það bil $\frac{1}{2}$ eftir hvert skopp. Eftir 3 skopp í viðbót lækkar hún því um þáttinn $\frac{1}{8}$ , sem gefur aðeins meira en 1 cm. Eftir 4 skopp í viðbót lækkar hún um þáttinn $\frac{1}{16}$ , sem gefur minna en 1 cm.

Ef jöfnurnar eru teiknaðar samtímis í grafteikniverkfæri sést að skopphæðin fer fyrst niður fyrir $h = 1$ í 8. skoppi.

$h = 150 \cdot {(0,53)}^{n}$ og $h = 1$

5. Teiknaðu graf jöfnunnar sem lýsir skopphæðinni h eftir $n$ skopp fyrir þennan tennisbolta.

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Graf af líkani fyrir skopphæð tennisbolta. Ferillinn byrjar hátt á y-ásnum og lækkar hratt þegar fjöldi skoppa eykst.

6. Notaðu graf jöfnunnar sem lýsir skopphæðinni h eftir $n$ skopp til að spá fyrir um hæðarmuninn eftir 6 skopp.

Lausn

Berðu svarið þitt saman: hæðarmunurinn eftir 6 skopp er um 2 cm. Notaðu til dæmis jöfnuna:

$h = 150 \cdot {(0,50)}^{n}$

$h = 150 \cdot {(0,50)}^{6}$

Grafið sýnir að hæðin er um 2,344 cm eftir 6 skopp, það er þegar $n = 6$ . Þetta samræmist því að hæðarmunurinn eftir 4. skoppið er 9 cm og ætti síðan að helmingast tvisvar.

$9 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{9}{4}$

Myndband: Að ákvarða líkan og jöfnu út frá raunverulegum aðstæðum

Myndband: Að ákvarða líkan og jöfnu út frá raunverulegum aðstæðum. Horfðu á myndbandið til að læra meira um líkanagerð með vísisföllum.

Sjálfspróf

Taflan sýnir spá um meðalkostnað bensínbíls eftir árið 2030. Hvaða graf sýnir best sambandið milli tíma og spáðs kostnaðar?

Tími (ár)	Kostnaður (þúsundir dollara)
0	35
5	40,2
10	46,3
15	53,2
20	61,2

Svarmöguleikar:

Viðbótarefni

Notkun vísislíkans

Rannsakandi á rannsóknarstofu skráir vöxt gerstofns og sér að stofninn tvöfaldast á hverri klukkustund. Taflan sýnir fyrstu fjórar klukkustundirnar.

Klukkustundir frá upphafi rannsóknar	0	1	2	3	4
Stærð gerstofns (í þúsundum)	5	10	20	40	80

Upphafsgildið er 5, í þúsundum, og stofninn tvöfaldast. Vaxtarstuðullinn er því 2.

Dæmi

Þú getur notað gögnin sem þú hefur til að spá fyrir um stærð gerstofnsins síðar.

1. Hver verður stærð stofnsins eftir 5 klukkustundir?

Stofninn verður 160.000. Þá tvöfaldast 80, sem táknar 80.000.

2. Hver verður stærð stofnsins eftir 6 klukkustundir?

Stofninn verður 320.000. Þá tvöfaldast 160, sem táknar 160.000.

3. Hver verður stærð stofnsins eftir 10 klukkustundir?

Þú gætir þurft að nota reiknivél til að finna þetta. Þá þarf að tvöfalda fjórum sinnum í viðbót. Stofninn verður 5.120.000.

Jafnan sem lýsir þessum vexti er:

$P (t) = 5 \cdot 2^{t}$

Grafið er hér fyrir neðan:

Graf með appelsínugulum ferli sem sýnir veldisvöxt gerstofns. Ferillinn byrjar nálægt upphafspunkti og hækkar hratt þegar tíminn líður.

Reyndu þetta

Notkun vísislíkans

Bolti skoppar upp og niður frá upphafshæð sem er 65 sentimetrar. Við hvert skopp lækkar hæðin í $\frac{1}{3}$ af fyrri hæð. Fylltu út töflu sem sýnir fyrstu 4 skoppin. Spáðu síðan fyrir um hæðina eftir 5 skopp og skrifaðu fall $h (x)$ sem ákvarðar hæðina eftir $x$ skopp.

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Fjöldi skoppa, $x$	0	1	2	3	4
Hæð, $h (x)$	65	$\frac{65}{3}$	$\frac{65}{9}$	$\frac{65}{27}$	$\frac{65}{81}$

Hér er ein leið til að finna líkanið fyrir þessar aðstæður. Upphafshæðin er 65 og vaxtarstuðullinn er $\frac{1}{3}$ .

Hæðin eftir 5. skoppið er:

$\frac{65}{243}$

Hámarkshæðina h(x) eftir x skopp má tákna með:

$h (x) = 65 \cdot {(\frac{1}{3})}^{x}$

5.11.2 Velja viðeigandi líkan

5.11.2 - Velja viðeigandi líkan

Verkefni

Hér eru mælingar á hámarkshæð tennisbolta eftir nokkur skopp á steyptu yfirborði.

Fjöldi skoppa, $n$	Hæð, $h$ (sentimetrar)
0	150
1	80
2	43
3	20
4	11

1. Hvort hentar betur til að búa til líkan af hámarkshæð tennisboltans, h, í sentimetrum, eftir $n$ skopp: línulegt fall eða vísisfall? Notaðu gögn úr töflunni til að styðja svarið.

Lausn

Berðu svarið þitt saman: vísisfall. Hér eru dæmi um rökstuðning.

Ef punktarnir eru settir í hnitakerfi liggja þeir ekki nálægt beinni línu.

Fjöldi skoppa	Mismunur frá hæð fyrra skopps
0	--
1	70
2	37
3	23
4	9

Vísisfall fyrir skopphæðina myndi lækka með sama þætti við hvert skopp. Það lítur út fyrir að hvert skopp nái um það bil helmingi hæðar fyrra skopps, svo vísislíkan hentar vel.

Lausn

Berðu svarið þitt saman. Nokkur svör geta verið rökstudd:

Já. Fyrsta skoppið er rétt yfir 53%, annað er næstum 54% og fjórða er 55%. Þriðja skoppið er aðeins um 47%, en þar gæti verið mælingarskekkja.
Nei. Þriðja skoppið er undir 50% af fallhæð boltans og því utan leyfilegs bils.
Það er ekki hægt að segja með vissu. Eitt gildið er of lágt, en hin gildin eru nógu nálægt 53% til að óvíst sé hvort skopp þessa bolta uppfylli reglurnar.

3. Skrifaðu jöfnu sem lýsir skopphæðinni h eftir $n$ skopp fyrir þennan tennisbolta.

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

$h = 150 \cdot {(0,53)}^{n}$

Stuðullinn 0,5 er einnig ásættanlegur, og sömuleiðis gildi á bilinu 0,53 til 0,58 ef rökstuðningurinn er skýr.

4. Um það bil hversu mörg skopp þarf áður en skopphæð tennisboltans verður minni en 1 sentimetri? Undirbúðu rökstuðning fyrir svarinu.

Lausn

Berðu svarið þitt saman: 8 skopp. Til dæmis:

Ef jöfnurnar eru teiknaðar samtímis í grafteikniverkfæri sést að skopphæðin fer fyrst niður fyrir $h = 1$ í 8. skoppi.

$h = 150 \cdot {(0,53)}^{n}$ og $h = 1$

5. Teiknaðu graf jöfnunnar sem lýsir skopphæðinni h eftir $n$ skopp fyrir þennan tennisbolta.

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

6. Notaðu graf jöfnunnar sem lýsir skopphæðinni h eftir $n$ skopp til að spá fyrir um hæðarmuninn eftir 6 skopp.

Lausn

Berðu svarið þitt saman: hæðarmunurinn eftir 6 skopp er um 2 cm. Notaðu til dæmis jöfnuna:

$h = 150 \cdot {(0,50)}^{n}$

$h = 150 \cdot {(0,50)}^{6}$

Grafið sýnir að hæðin er um 2,344 cm eftir 6 skopp, það er þegar $n = 6$ . Þetta samræmist því að hæðarmunurinn eftir 4. skoppið er 9 cm og ætti síðan að helmingast tvisvar.

$9 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{9}{4}$

Myndband: Að ákvarða líkan og jöfnu út frá raunverulegum aðstæðum

Myndband: Að ákvarða líkan og jöfnu út frá raunverulegum aðstæðum. Horfðu á myndbandið til að læra meira um líkanagerð með vísisföllum.

Viðbótarefni

Notkun vísislíkans

Rannsakandi á rannsóknarstofu skráir vöxt gerstofns og sér að stofninn tvöfaldast á hverri klukkustund. Taflan sýnir fyrstu fjórar klukkustundirnar.

Klukkustundir frá upphafi rannsóknar	0	1	2	3	4
Stærð gerstofns (í þúsundum)	5	10	20	40	80

Upphafsgildið er 5, í þúsundum, og stofninn tvöfaldast. Vaxtarstuðullinn er því 2.

Dæmi

Þú getur notað gögnin sem þú hefur til að spá fyrir um stærð gerstofnsins síðar.

1. Hver verður stærð stofnsins eftir 5 klukkustundir?

Stofninn verður 160.000. Þá tvöfaldast 80, sem táknar 80.000.

2. Hver verður stærð stofnsins eftir 6 klukkustundir?

Stofninn verður 320.000. Þá tvöfaldast 160, sem táknar 160.000.

3. Hver verður stærð stofnsins eftir 10 klukkustundir?

Þú gætir þurft að nota reiknivél til að finna þetta. Þá þarf að tvöfalda fjórum sinnum í viðbót. Stofninn verður 5.120.000.

Jafnan sem lýsir þessum vexti er:

$P (t) = 5 \cdot 2^{t}$

Grafið er hér fyrir neðan: