55.11 Líkanagerð fyrir veldishegðun

5.11.3 Líkanagerð með vísisföllum

5.11.3 - Líkanagerð með vísisföllum

Verkefni

Kennarinn lætur hópinn ykkar fá þrjár mismunandi gerðir af boltum.

Markmiðið er að mæla skopphæðir boltanna, búa til líkan sem sýnir tengslin milli fjölda skoppa og skopphæðar og bera saman hversu hátt boltarnir skoppa.

Nærmynd af ýmsum íþróttaboltum, þar á meðal ruðningsboltum, knattspyrnuboltum og körfubolta, sem liggja saman í hrúgu.

1. Búðu til töflu svipaða töflunni hér fyrir neðan og byrjaðu rannsóknina. Skráðu vandlega hvaða bolti tilheyrir hverjum dálki.

$n$ , fjöldi skoppa	$a$ , hæð bolta 1 (cm)	$b$ , hæð bolta 2 (cm)	$c$ , hæð bolta 3 (cm)
0
1
2
3
4

Lausn

Berðu svörin þín saman. Hér er dæmi um gögn.

$n$ , fjöldi skoppa	$a$ , hæð bolta 1 (cm)	$b$ , hæð bolta 2 (cm)	$c$ , hæð bolta 3 (cm)
0	150	150	150
1	80	100	60
2	41	70	25
3	20	50	13
4	11	35	6

2. Hvaða bolti virðist skoppa hæst? Hvaða bolti virðist skoppa lægst? Undirbúðu rökstuðning fyrir svarinu.

Lausn

Berðu svarið þitt saman.

Annar boltinn skoppar hæst. Öllum boltunum var sleppt úr sömu hæð og skopphæð annars boltans er alltaf mest. Þriðji boltinn skoppar lægst.

3. Skrifaðu jöfnu fyrir hvern bolta sem lýsir skopphæðinni sem falli af skoppnúmerinu $n$ .

Lausn

Berðu svörin þín saman.

Bolti 1:

$a = 150 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$

eða

$a = 150 \cdot {(0,5)}^{n}$

Bolti 2:

$b = 150 \cdot {(\frac{7}{10})}^{n}$

eða

$b = 150 \cdot {(0,7)}^{n}$

Bolti 3:

$c = 150 \cdot {(\frac{2}{5})}^{n}$

eða

$c = 150 \cdot {(0,4)}^{n}$

4. Útskýrðu hvernig jöfnurnar geta sýnt hvaða bolti skoppar hæst.

Lausn

Berðu svörin þín saman.

Skoppstuðull boltans er grunnurinn í vísisstæðunni. Fyrir fyrsta boltann er hann $\frac{1}{2}$ , fyrir annan boltann $\frac{7}{10}$ og fyrir þriðja boltann $\frac{2}{5}$ . Því stærri sem skoppstuðullinn er, því hærra skoppar boltinn.

5. Ef boltinn sem skoppar hæst væri látinn falla úr 300 cm hæð, hvaða jafna myndi lýsa skopphæð hans $h$ eftir $n$ skopp?

Lausn

Berðu svarið þitt saman.

$h = 300 \cdot {(\frac{7}{10})}^{n}$

6. Notaðu grafteikniverkfæri til að teikna gröf jafnanna fyrir alla þrjá boltana í sama hnitakerfi. Hver jafna lýsir skopphæð $h$ eftir $n$ skopp.

Lausn

Berðu svarið þitt saman.

Þrjú gröf vísishnignunar eru teiknuð í sama hnitakerfi. Öll byrja hátt og nálgast núll þegar farið er til hægri.

7. Notaðu grafið af jöfnunum fyrir alla þrjá boltana til að spá fyrir um hæðarmun bolta 1 eftir 5 skopp.

Lausn

Berðu svarið þitt saman.

Hæðarmunurinn eftir 5 skopp er um 5,5 cm. Notaðu jöfnuna og teiknaðu gildið fyrir fimmta skoppið. Grafið sýnir hæðina 4,6875 cm eftir 5 skopp.

$h = 150 \cdot {(0,50)}^{n}$

$h = 150 \cdot {(0,50)}^{5}$

$n = 5$

Þetta passar við rökstuðninginn: hæðin minnkar um það bil um helming eftir hvert skopp. Eftir fjórða skoppið er hæðarmunurinn 11 cm, þannig að eftir eitt skopp í viðbót verður hann um helmingi minni.

$11 \cdot \frac{1}{2} = 5,5$

Ef 4,6875 er námundað fæst 5 og ef 5,5 er námundað fæst 6. Meðaltal þeirra er 5,5.

$\frac{5 + 6}{2} = 5,5$

8. Notaðu grafið af jöfnunum fyrir alla þrjá boltana til að spá fyrir um hæðarmun bolta 2 eftir 5 skopp.

Lausn

Berðu svarið þitt saman.

Hæðarmunurinn eftir 5 skopp er um 25 cm. Notaðu jöfnuna og teiknaðu gildið fyrir fimmta skoppið. Grafið sýnir hæðina 25,2105 cm eftir 5 skopp.

$h = 150 \cdot {(0,7)}^{n}$

$h = 150 \cdot {(0,7)}^{5}$

Þetta passar við rökstuðninginn: hæðin minnkar um stuðulinn 7/10 eftir hvert skopp. Eftir fjórða skoppið er hæðarmunurinn 35 cm, þannig að næsti munur er um 24,5 cm. Hvort sem 25,2105 eða 24,5 er námundað fæst svarið 25.

$35 \cdot \frac{7}{10} \approx 24,5$

9. Notaðu grafið af jöfnunum fyrir alla þrjá boltana til að spá fyrir um hæðarmun bolta 3 eftir 5 skopp.

Lausn

Berðu svarið þitt saman.

Hæðarmunurinn eftir 5 skopp er um 2 cm. Notaðu jöfnuna og teiknaðu gildið fyrir fimmta skoppið. Grafið sýnir hæðina 1,636 cm eftir 5 skopp.

$h = 150 \cdot {(0,4)}^{n}$

$h = 150 \cdot {(0,4)}^{5}$

Þetta passar við rökstuðninginn: hæðin minnkar um stuðulinn 2/5 eftir hvert skopp. Eftir fjórða skoppið er hæðarmunurinn 6 cm, þannig að næsti munur er um 2,4 cm. Hvort sem 1,636 eða 2,4 er námundað fæst svarið 2.

$6 \cdot \frac{2}{5} \approx 2,4$

Ertu tilbúin(n) í meira?

Útvíkkaðu hugsunina

1. Ef bolti 1 væri látinn falla úr tvöfalt meiri hæð, væri skoppið meira, minna eða það sama? Undirbúðu rökstuðning fyrir svarinu.

2. Bolti 4 skoppar helmingi minna en boltinn sem skoppar lægst. Hvaða jafna myndi lýsa hæð hans $h$ sem falli af fjölda skoppa $n$ ?

3. Bolti 5 var látinn falla úr 150 cm hæð. Hann skoppaði örlítið einu sinni eða tvisvar og fór síðan að rúlla. Hvernig myndirðu lýsa skoppstuðli hans? Undirbúðu rökstuðning fyrir svarinu.

Lausn

Berðu svörin þín saman.

1. Það sama. Hversu hátt boltinn skoppar, hlutfallslega séð, fer ekki eftir fallhæðinni. Þess vegna má lýsa skopphæðum í röð með vísisfalli.

2. $h = 150 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}$

3. Skoppstuðullinn er mjög nálægt 0. Þar sem boltinn lyftist varla frá gólfinu eftir að hann lenti, má segja að hann hafi tapað næstum allri hæð sinni í hverju skoppi.

5.11.3 Líkanagerð með vísisföllum

5.11.3 - Líkanagerð með vísisföllum

Verkefni

Kennarinn lætur hópinn ykkar fá þrjár mismunandi gerðir af boltum.

Markmiðið er að mæla skopphæðir boltanna, búa til líkan sem sýnir tengslin milli fjölda skoppa og skopphæðar og bera saman hversu hátt boltarnir skoppa.

1. Búðu til töflu svipaða töflunni hér fyrir neðan og byrjaðu rannsóknina. Skráðu vandlega hvaða bolti tilheyrir hverjum dálki.

$n$ , fjöldi skoppa	$a$ , hæð bolta 1 (cm)	$b$ , hæð bolta 2 (cm)	$c$ , hæð bolta 3 (cm)
0
1
2
3
4

Lausn

Berðu svörin þín saman. Hér er dæmi um gögn.

$n$ , fjöldi skoppa	$a$ , hæð bolta 1 (cm)	$b$ , hæð bolta 2 (cm)	$c$ , hæð bolta 3 (cm)
0	150	150	150
1	80	100	60
2	41	70	25
3	20	50	13
4	11	35	6

2. Hvaða bolti virðist skoppa hæst? Hvaða bolti virðist skoppa lægst? Undirbúðu rökstuðning fyrir svarinu.

Lausn

Berðu svarið þitt saman.

Annar boltinn skoppar hæst. Öllum boltunum var sleppt úr sömu hæð og skopphæð annars boltans er alltaf mest. Þriðji boltinn skoppar lægst.

3. Skrifaðu jöfnu fyrir hvern bolta sem lýsir skopphæðinni sem falli af skoppnúmerinu $n$ .

Lausn

Berðu svörin þín saman.

Bolti 1:

$a = 150 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$

eða

$a = 150 \cdot {(0,5)}^{n}$

Bolti 2:

$b = 150 \cdot {(\frac{7}{10})}^{n}$

eða

$b = 150 \cdot {(0,7)}^{n}$

Bolti 3:

$c = 150 \cdot {(\frac{2}{5})}^{n}$

eða

$c = 150 \cdot {(0,4)}^{n}$

4. Útskýrðu hvernig jöfnurnar geta sýnt hvaða bolti skoppar hæst.

Lausn

Berðu svörin þín saman.

5. Ef boltinn sem skoppar hæst væri látinn falla úr 300 cm hæð, hvaða jafna myndi lýsa skopphæð hans $h$ eftir $n$ skopp?

Lausn

Berðu svarið þitt saman.

$h = 300 \cdot {(\frac{7}{10})}^{n}$

6. Notaðu grafteikniverkfæri til að teikna gröf jafnanna fyrir alla þrjá boltana í sama hnitakerfi. Hver jafna lýsir skopphæð $h$ eftir $n$ skopp.

Lausn

Berðu svarið þitt saman.

7. Notaðu grafið af jöfnunum fyrir alla þrjá boltana til að spá fyrir um hæðarmun bolta 1 eftir 5 skopp.

Lausn

Berðu svarið þitt saman.

Hæðarmunurinn eftir 5 skopp er um 5,5 cm. Notaðu jöfnuna og teiknaðu gildið fyrir fimmta skoppið. Grafið sýnir hæðina 4,6875 cm eftir 5 skopp.

$h = 150 \cdot {(0,50)}^{n}$

$h = 150 \cdot {(0,50)}^{5}$

$n = 5$

$11 \cdot \frac{1}{2} = 5,5$

Ef 4,6875 er námundað fæst 5 og ef 5,5 er námundað fæst 6. Meðaltal þeirra er 5,5.

$\frac{5 + 6}{2} = 5,5$

8. Notaðu grafið af jöfnunum fyrir alla þrjá boltana til að spá fyrir um hæðarmun bolta 2 eftir 5 skopp.

Lausn

Berðu svarið þitt saman.

Hæðarmunurinn eftir 5 skopp er um 25 cm. Notaðu jöfnuna og teiknaðu gildið fyrir fimmta skoppið. Grafið sýnir hæðina 25,2105 cm eftir 5 skopp.

$h = 150 \cdot {(0,7)}^{n}$

$h = 150 \cdot {(0,7)}^{5}$

$35 \cdot \frac{7}{10} \approx 24,5$

9. Notaðu grafið af jöfnunum fyrir alla þrjá boltana til að spá fyrir um hæðarmun bolta 3 eftir 5 skopp.

Lausn

Berðu svarið þitt saman.

Hæðarmunurinn eftir 5 skopp er um 2 cm. Notaðu jöfnuna og teiknaðu gildið fyrir fimmta skoppið. Grafið sýnir hæðina 1,636 cm eftir 5 skopp.

$h = 150 \cdot {(0,4)}^{n}$

$h = 150 \cdot {(0,4)}^{5}$

$6 \cdot \frac{2}{5} \approx 2,4$

Ertu tilbúin(n) í meira?

Útvíkkaðu hugsunina

1. Ef bolti 1 væri látinn falla úr tvöfalt meiri hæð, væri skoppið meira, minna eða það sama? Undirbúðu rökstuðning fyrir svarinu.

2. Bolti 4 skoppar helmingi minna en boltinn sem skoppar lægst. Hvaða jafna myndi lýsa hæð hans $h$ sem falli af fjölda skoppa $n$ ?

Lausn

Berðu svörin þín saman.

1. Það sama. Hversu hátt boltinn skoppar, hlutfallslega séð, fer ekki eftir fallhæðinni. Þess vegna má lýsa skopphæðum í röð með vísisfalli.

2. $h = 150 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}$

3. Skoppstuðullinn er mjög nálægt 0. Þar sem boltinn lyftist varla frá gólfinu eftir að hann lenti, má segja að hann hafi tapað næstum allri hæð sinni í hverju skoppi.