44.9 Túlkun og gerð grafa

4.9.2 Að túlka gröf án mælieininga

4.9.2 • Að túlka gröf án mælieininga

Verkefni

Fánaathöfn fer fram við hátíðarhöld á þjóðhátíðardegi Bandaríkjanna. Hæð fánans er fall af tíma.

Hér eru nokkur gröf sem gætu hvert um sig lýst fallinu.

Graf A

Línurit sem sýnir að hæð eykst jafnt og þétt með tíma. Rauð, bein lína liggur upp á við frá upphafspunkti (0; 0) að punktinum (5; 6); lóðrétti ásinn er hæð og lárétti ásinn er tími.

Graf B

Graf með tíma á x-ás og hæð á y-ás. Hæðin helst óbreytt í 3 einingum þegar tíminn eykst frá 0 til 6.

Graf C

Graf sem sýnir að hæð eykst með tíma. Ferillinn byrjar hægt, verður næstum láréttur um stund og hækkar síðan hratt eftir tíma 3.

Graf D

Graf sem sýnir bylgjulaga feril með minnkandi sveifluvídd með tímanum. Tími er á x-ás og hæð á y-ás; báðir ásar ná frá 0 til 6.

Graf E

Línurit sem sýnir að hæð eykst með tíma í þrepum. Lóðrétti ásinn sýnir hæð frá 0 til 6 og lárétti ásinn sýnir tíma frá 0 til 6.

Graf F

Línurit sem sýnir hæð með tíma. Hæðin hækkar jafnt frá 0 til 6 milli tíma 0 og 3, lækkar síðan niður í 3 við tíma 5 og helst í hæð 3 frá tíma 5 til 6.

Skoðaðu gröfin og ræddu síðan við félaga hvernig hvert graf gæti lýst hreyfingu fánans þegar hann er dreginn að húni.

Veldu eitt grafanna hér fyrir ofan, eða notaðu grafið sem kennarinn úthlutar þér. Útskýrðu hvað grafið segir okkur um fánann og hæð hans með tímanum.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið mismunandi, en hér eru nokkur dæmi.

Graf A: Fáninn byrjar á jörðinni og er strax dreginn upp með jöfnum hraða.

Graf B: Fáninn byrjar í 3 metra hæð yfir jörðu og helst í þeirri hæð allan tímann.

Graf C: Fáninn byrjar á jörðinni en er fyrst dreginn hratt upp. Hreyfingin hægist, það verður stutt hlé, og síðan er hann dreginn áfram upp með sívaxandi hraða.

Graf D: Fáninn byrjar á jörðinni, er dreginn upp um nokkra metra og látinn síga aftur niður á jörðina. Þetta gerist aftur og aftur.

Graf E: Fáninn byrjar í 0,5 metra hæð yfir jörðu og er dreginn smám saman upp, með stuttu hléi áður en hann er dreginn lengra upp.

Graf F: Fáninn byrjar á jörðinni og er dreginn upp með jöfnum hraða í 3 sekúndur. Hann stöðvast snögglega og fer niður aftur með jöfnum hraða. Tveimur sekúndum síðar stöðvast hann í 3 metra hæð yfir jörðu.

Hvaða graf virðist raunhæfast og líklegast til að lýsa því sem gerist við fánaathöfn? Útskýrðu rök þín.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið mismunandi, en hér er dæmi.

Graf E virðist raunhæfast. Það byrjar í þeirri hæð þar sem einhver gæti fest fánann við línuna, og síðan hækkar fáninn í rykkjum, eins og gæti gerst þegar einhver togar í línuna.

Hvaða gröf virðast óraunhæfust eða ólíklegust við fánaathöfn? Útskýrðu rök þín.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið mismunandi, en hér er dæmi.

Gröf B og D eru óraunhæfust. Á grafi B virðist fáninn vera festur við fánastöngina í einni hæð og síðan aldrei dreginn upp eftir stönginni. Á grafi D virðist sá sem dregur fánann að húni leggja hann á jörðina og síðan draga hann upp, láta hann síga, draga hann upp, láta hann síga, og svo framvegis.

Hvaða gröf gætu verið möguleg en virðast ólíkleg? Útskýrðu rök þín.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið mismunandi, en hér er dæmi.

Gröf A, C og F eru möguleg, en ólíklegt er að fáninn byrji á jörðinni.

Notaðu eftirfarandi graf til að svara spurningum 5 og 6. Athugaðu að grafið tengir einnig saman tíma og hæð.

Graf með tíma á x-ás og hæð á y-ás. Lóðrétt lína er við tíma 3 og nær frá hæð 0 til 6; línan er einu gögnin á grafinu.

Getur þetta graf táknað tíma og hæð fánans? Útskýrðu rök þín.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið mismunandi, en hér er dæmi.

Ef við gerum ráð fyrir að tími sé mældur í sekúndum og hæð í metrum, getur þetta graf ekki táknað hæð fána sem er dreginn að húni við fánaathöfn. Grafið sýnir að fáninn sé í öllum hæðum milli 0 og 6 metra á sama tíma, 3 sekúndum, sem er ómögulegt.

Er þetta graf af falli? Útskýrðu rök þín.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið mismunandi, en hér er dæmi.

Þetta graf táknar ekki fall. Í falli er aðeins eitt úttak fyrir hvert inntak. Ef við gerum ráð fyrir að tími sé mældur í sekúndum og hæð í metrum, sýnir grafið mörg möguleg úttök þegar inntakið er 3 sekúndur.

Dýpkun

Gerum ráð fyrir að maur hreyfist um 1 millimetra á sekúndu og haldi þeim hraða lengi. Ef tími, $x$ , er mældur í sekúndum, þá er vegalengdin sem maurinn hefur farið í millimetrum, $y$ , gefin með $y = 1 x$ . Ef tími, $x$ , er mældur í mínútum, er vegalengdin í millimetrum $y = 60 x$ .

1. Útskýrðu hvers vegna jafnan $y = (365 \cdot 24 \cdot 3600) x$ gefur vegalengdina sem maurinn hefur farið, í millimetrum, sem fall af tíma, $x$ , í árum.

Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið mismunandi, en hér er dæmi.

Til dæmis: Fjöldi sekúndna í ári er $365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60$ . Ef maurinn fer 1 millimetra á sekúndu, fer hann $365 \cdot 24 \cdot 3600$ millimetra á einu ári. Á $x$ árum fer hann $(365 \cdot 24 \cdot 3600) x$ millimetra.

Notaðu Desmos-grafreiknivélina eða annað grafteikniverkfæri utan námskeiðsins til að teikna graf jöfnunnar.

Lausn

Graf með rúðustrikun. Svartur x-ás og rauður y-ás skerast í (0; 0), og báðir ásar eru merktir með tölum frá -40 til 40.

3. Lítur grafið út eins og graf falls? Hvers vegna heldurðu að það líti svona út?

Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið mismunandi, en hér er dæmi.

Grafið er lóðrétt lína og lítur ekki út eins og graf falls. Hallatalan er mjög stór, þannig að línan er svo brött að hún virðist lóðrétt.

4. Notaðu grafteikniverkfæri og stilltu grafgluggann þar til grafið lítur ekki lengur svona út. Ef þér tekst það skaltu lýsa grafglugganum sem þú notar.

Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið mismunandi, en hér er dæmi.

Grafið er hallandi lína þegar $x$ -ásinn er kvarðaður frá −0,0001 til 0,0001 árum og $y$ -ásinn er kvarðaður í tugþúsundum í báðar áttir.

5. Heldurðu að síðasta grafið í fánaverkefninu, graf F, gæti táknað fall sem tengir tíma og hæð fána? Útskýrðu rök þín.

Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið mismunandi, en hér er dæmi.

Það gæti gert það, eftir því hvaða tímaeining er notuð og hvaða kvarði er á lárétta og lóðrétta ásnum. Ef tíminn er til dæmis mældur í mánuðum gæti hver punktur á grafinu táknað tímagildi sem er aðeins örlítið meira en 3 mánuðir, til dæmis 3 mánuðir og 1 sekúnda, 3 mánuðir og 2 sekúndur, og svo framvegis. Lárétt breyting um 1 sekúndu væri ekki sýnileg þegar láréttu einingarnar eru mánuðir, þannig að öll inntaks- og úttakspör sem sýna hæð fánans á hverri sekúndu myndu virðast vera á lóðréttri línu.

Ítarefni

Að túlka gröf falla

Grafið hér fyrir neðan sýnir heildarfjölda snjallsíma sem eru sendir í verslun yfir nokkra daga.

Graf sem sýnir fjölda snjallsíma sem fall af tíma í dögum. x-ásinn nær frá 0 til 50 í skrefum upp á 10 og y-ásinn frá 0 til 4000 í skrefum upp á 1000. Grafið hækkar línulega frá x = 0 til x = 20, helst óbreytt frá x = 20 til x = 25 og hækkar svo aftur línulega með minni halla.

Paraðu hvern hluta grafsins (A, B og C) við orðlýsinguna sem passar. Gættu þess að geta útskýrt rök þín.

Lýsing	Nánari upplýsingar
Lýsing 1	Helmingur starfsmanna verksmiðjunnar fór í verkfall og ekki voru framleiddir nógu margir snjallsímar fyrir venjulegar sendingar.
Lýsing 2	Framleiðsluáætlunin var venjuleg og snjallsímar voru sendir í verslunina með jöfnum hraða.
Lýsing 3	Gallaður rafkubbur fannst og verksmiðjan þurfti að loka, þannig að engir snjallsímar voru sendir.

Lýsing 1 passar best við hluta C á grafinu. Ef helmingur starfsmanna fór í verkfall, þá var fjöldi framleiddra snjallsíma minni en venjulega. Breytingarhraðinn á hluta C er minni en breytingarhraðinn á hluta A.

Lýsing 3 passar best við hluta B á grafinu. Ef engir snjallsímar eru sendir í verslunina helst heildarfjöldinn óbreyttur á því tímabili.

Hluti A á grafinu passar best við lýsingu 2. Ef framleiðsluáætlunin er venjuleg er breytingarhraðinn á bili A meiri en breytingarhraðinn á bili C.