4.12.3 Myndmengi: úttak falls

4.12.3 • Myndmengi: úttak falls

Verkefni

Í fyrra verkefni sástu fall sem táknaði flatarmál fernings, fallið A, og annað fall sem táknaði tekjur tennisbúða, fallið R. Notaðu lýsingarnar á þessum föllum til að svara spurningunum.

1.

Hér er graf sem táknar fallið A. Fallið er skilgreint með jöfnunni hér fyrir neðan, þar sem s er hliðarlengd ferningsins í sentimetrum.

Lausn

$$A(s)=s^2$$

a. Nefndu þrjú möguleg inntaks- og úttakspör fyrir þetta fall. Skráðu svörin sem mengi af röðuðum tvenndum.

Berðu saman svörin þín:

$$A(2)=4,A(3)=9,A(7)=49$$

Þetta má einnig skrifa sem mengi af röðuðum tvenndum:

$$\{(2;4),(3;9),(7;49)\}$$

b. Áður lýstum við mengi allra mögulegra inntaksgilda fallsins A sem öllum tölum sem eru stærri en eða jafnar 0. Hvernig myndir þú lýsa mengi allra mögulegra úttaksgilda fallsins A?

Berðu saman svörin þín:

Úttaksgildi fallsins A eru líka allar tölur sem eru stærri en eða jafnar 0.

2.

Fallið R er skilgreint með jöfnunni hér fyrir neðan, þar sem n er fjöldi þátttakenda í búðunum.

Lausn

$$R(n)=40n$$

a. Er 20 mögulegt úttaksgildi í þessum aðstæðum? En 100? Undirbúðu rökstuðning fyrir svarinu.

Berðu saman svörin þín:

Nei. Hvorki 20 né 100 geta verið úttaksgildi, því inntakið, fjöldi þátttakenda, getur ekki verið brot.

b. Hér eru tvö gröf sem sýna tengsl fjölda nemenda og tekna búðanna í dölum. Hvort grafið gæti táknað fallið R? Útskýrðu hvers vegna hitt grafið getur ekki táknað fallið.

Berðu saman svörin þín:

Seinna grafið gæti táknað fallið R. Fyrra grafið gæti það ekki, því það inniheldur alla punkta fyrir n-gildi á milli 0 og 5, n-gildi stærri en 16 og brotin n-gildi. Engin þessara n-gilda á við í þessum aðstæðum.

c. Lýstu mengi allra mögulegra úttaksgilda fallsins R.

Berðu saman svörin þín:

Úttaksgildi fallsins R eru öll margfeldi af 40 á bilinu 200 til 640, það er 200, 240, 280 og svo framvegis.

Skrifaðu eftirfarandi skilgreiningu í stærðfræðibókina þína: Mengi úttaksgilda myndar myndmengi fallsins.

Ertu tilbúin í meira?

Að dýpka hugsunina

Ef búðirnar vilja fá að minnsta kosti 500 dali frá þátttakendum, hversu marga nemendur geta þær tekið við? Útskýrðu hvernig þessar upplýsingar sjást á grafinu.

Berðu saman svörin þín:

Þær þurfa að minnsta kosti 13 nemendur til að fá 500 dali eða meira. Möguleikarnir eru því 13, 14, 15 og 16. Á grafinu eru aðeins 4 punktar sem liggja á eða fyrir ofan láréttu línuna sem táknar 500 dali.

Myndband: Að bera kennsl á úttök falls

Horfðu á eftirfarandi myndband til að læra meira um hvernig úttök falls eru borin kennsl á.

Ítarefni

Að nefna inntaks- og úttakspör

Graf er enn ein leið til að tákna vensl. Mengi allra röðuðu tvenndanna sem svara til punktanna á grafinu eru venslin. Mengi allra x-hnita, eða inntaksgilda, er formengi venslanna, og mengi allra y-hnita, eða úttaksgilda, er myndmengið.

Mundu að hnit eru rituð sem röðuð tvennd:

Nefndu inntaks- og úttakspörin fyrir grafið hér fyrir neðan:

Inntaksgildin eru x-gildin og úttaksgildin eru y-gildin:

Þetta þýðir að formengi venslanna á grafinu er:

og myndmengið er:

Að nota ójöfnur til að ákvarða myndmengi

Formengi og myndmengi falls lýsa mengi mögulegra inntaksgilda og úttaksgilda fyrir fallið. Myndmengið er mengi gilda sem fallið getur skilað. Ójöfnur má nota til að tákna myndmengi falls. Þegar myndmengi er ákvarðað með ójöfnum þarf að huga að eðli fallsins, eiginleikum þess og sérstökum skorðum. Graf fallsins getur oft gefið sjónrænar vísbendingar sem hjálpa til við að staðfesta niðurstöðuna.

Til að ákvarða myndmengi falls með ójöfnum skaltu gera þetta:

• Greindu hegðun fallsins og möguleg úttaksgildi þess, yfirleitt táknuð með f(x).

• Skoðaðu myndmengið út frá grafi fallsins eða algebrulegum eiginleikum þess.

• Finndu lægsta og hæsta mögulega gildi sem fallið getur tekið, ef slík gildi eru til.

Til að setja myndmengi falls fram skaltu gera þetta:

• Notaðu biltákn eða mengjatákn til að sýna gild úttaksgildi fallsins.

• Notaðu ójöfnur til að lýsa lægstu og hæstu mögulegu gildum.

Til dæmis, ef graf fallsins fer aldrei niður fyrir −3 og getur tekið hvaða jákvæða gildi sem er, má skrifa myndmengið sem ójöfnu:

Sértilfelli

Taktu einnig tillit til sérstakra útilokana eða viðbótarskilyrða sem koma fram í skilgreiningu fallsins.

Til dæmis, ef fall tekur algildi, geta y-gildin ekki verið neikvæð. Þá má sýna myndmengið með ójöfnu á borð við:

eða með öðrum skilyrðum eftir því sem við á.

Dæmi

Ákvarðaðu myndmengi þessa falls:

Þar sem fallið p(x) er fastafall og er alltaf jafnt og 3, er myndmengi fallsins eitt gildi: 3.

Þess vegna er myndmengi fallsins mengið: