88 Tímavirði peninga II: jafnar endurteknar greiðslur

8.2 Jafnar greiðsluraðir

Hæfniviðmið

Að þessum kaflahluta loknum átt þú að geta:

Skilgreint jafna greiðsluröð.
Greint á milli venjulegrar jafnrar greiðsluraðar og fyrirframgreiddrar jafnrar greiðsluraðar.
Reiknað núvirði venjulegrar jafnrar greiðsluraðar og fyrirframgreiddrar jafnrar greiðsluraðar.
Útskýrt hvernig jafnar greiðsluraðir geta verið notaðar í happdrættisvinningum og skipulögðum uppgjörum.
Útskýrt hvernig jafnar greiðsluraðir geta nýst í eftirlaunaáætlanagerð.

Núvirði jafnrar greiðsluraðar

Jöfn greiðsluröð er röð fastra greiðslna sem eru inntar af hendi eða mótteknar með reglulegu millibili. Núvirði og framtíðargildi raðarinnar má reikna með því að beita reglum um tímavirði peninga á hverja greiðslu. Við byrjum á núvirðinu.

Áður en núvirðið er reiknað er gagnlegt að skoða hvernig reglubundnar innborganir safnast upp. Gerum ráð fyrir að $1,000 séu lögð inn í lok hvers árs í fimm ár og að innstæðan beri 7% ársvexti. Vextirnir eru tryggðir frá upphafi samningsins þótt fyrsta innborgunin fari ekki fram fyrr en í lok fyrsta árs. Tímalínan er sýnd í töflu 8.1.

Ár	0	1	2	3	4	5
Staða flutt áfram ($)	0.00	0.00	1,000.00	2,070.00	3,214.90	4,439.94
Áunnir vextir ($)		0.00	70.00	144.90	225.04	310.80
Höfuðstól bætt við ($)		1,000.00	1,000.00	1,000.00	1,000.00	1,000.00
Ný staða ($)		1,000.00	2,070.00	3,214.90	4,439.94	5,750.74

Fyrstu $1,000 eru lögð inn í lok árs 1 og bera því enga vexti það ár. Lokastaðan flyst sem upphafsstaða yfir á næsta ár. Á ári 2 bera fyrstu $1,000 7% vexti og önnur $1,000 innborgun bætist við í árslok, þannig að staðan verður $2,070. Ferlið endurtekur sig og í lok árs 5 er staðan $5,750.74. Þar af eru $5,000 innborganir en $750.74 áunnir vextir og vaxtavextir.

Tvennt við tímasetninguna skiptir máli. Fyrsta innborgunin nýtur ekki vaxta á fyrsta árinu þar sem hún er greidd í árslok. Fimmta og síðasta innborgunin er einnig greidd í lok síðasta árs og ber því enga vexti innan samningstímans. Síðar verður sýnt hvernig greiðslur í upphafi tímabils breyta niðurstöðunni.

Skoðum nú núvirði jafnrar greiðsluraðar. Þú vilt taka $25,000 út úr sjóði árlega í fimm ár, í fyrsta sinn eftir eitt ár. Þar sem fyrsta greiðslan kemur í lok fyrsta tímabils er þetta venjuleg jöfn greiðsluröð. Hversu stór þarf sjóðurinn að vera í dag ef eftirstöðvar hans bera 8% ársvexti? Sjóðurinn minnkar við hverja úttekt en það sem eftir stendur heldur áfram að ávaxtast.

Núvirði greiðsluraðarinnar má fyrst reikna handvirkt eða í Excel með því að afvaxta hverja af fimm $25,000 greiðslunum sérstaklega. Notuð er almenna núvirðisformúlan:

PV = \frac{FV}{{(1 + r)}^{n}}

8.11

þar sem FV er framtíðargildi, PV er núvirði, r eru vextir á tímabil og n er fjöldi tímabila.

Fyrsta $25,000 greiðslan er afvöxtuð um eitt tímabil:

\begin{array}{rcl} PV & = & \frac{$ 25, 000}{{(1 + 0 . 08)}^{1}} \\ PV & = & \frac{$ 25, 000}{1.08} = $ 23,148.15 \end{array}

8.12

Staðfesting: $23,148.15 vaxa í $25,000 á einu ári við 8% vexti:

$ 23,148.15 \times 1.08 = $ 25,000

8.13

Sama aðferð er notuð fyrir öll fimm árin og veldisvísirinn n hækkaður um einn fyrir hvert ár. Niðurstöðurnar eru sýndar í töflu 8.2.

Ár	Útreikningur	Niðurstaða
1	$\begin{array}{rcl} $ 25,000 \div {(1.08)}^{1} \end{array}$	$23,148.15
2	$\begin{array}{rcl} $ 25,000 \div {(1.08)}^{2} \end{array}$	$21,433.47
3	$\begin{array}{rcl} $ 25, 000 \div {(1.08)}^{3} \end{array}$	$19,846.81
4	$\begin{array}{rcl} $ 25,000 \div {(1.08)}^{4} \end{array}$	$18,375.75
5	$\begin{array}{rcl} $ 25,000 \div {(1.08)}^{5} \end{array}$	$17,014.58
SAMTALS		$99,818.76

Samanlagt núvirði samkvæmt töflunni er $99,818.76. Áður en fyrsta greiðslan er tekin út bætast 8% vextir við sjóðinn; eftir $25,000 úttekt standa $82,804.26 eftir. Þetta endurtekur sig þar til sjóðurinn er nánast tæmdur eftir fimmtu greiðslu, að teknu tilliti til námundunar. Þar sem allar greiðslurnar eru jafnar má reikna sama núvirði í einu skrefi:

PVa = PYMT \times \frac{[1 - \frac{1}{{(1 + r)}^{n}}]}{r}

8.14

þar sem PVa er núvirði jöfnu greiðsluraðarinnar og PYMT er fjárhæð hverrar greiðslu.

Í dæminu er PYMT $25,000 í lok hvers árs í fimm ár. Langir samningar og háar fjárhæðir geta magnað námundunarmun. Hér eru notaðir sex aukastafir í jafngreiðsluþættinum, þótt nákvæmt gildi hans geti verið lengra; þess vegna er oft notað nálgunarmerkið ≈.

Þegar gildin eru sett inn og reikniaðgerðir framkvæmdar í réttri röð fæst:

\begin{array}{rcl} PVa & = & $ 25,000 \times \frac{[1 - \frac{1}{{(1 + 0 . 08)}^{5}}]}{0.08} \\ PVa & = & $ 25,000 \times \frac{(1 - \frac{1}{1.469328})}{0.08} \\ PVa & = & $ 25,000 \times \frac{1 - 0 . 680583}{0.08} \\ PVa & = & $ 25,000 \times \frac{0.319417}{0.08} \\ PVa & = & $ 25,000 \times 3.9927125 \\ PVa & \approx & $ 99,817.81 \end{array}

8.15

Báðar aðferðir gefa sömu niðurstöðu að frátöldum námundunarmun. Slíkur munur getur orðið verulegur þegar margfaldarar og fjárhæðir eru stór, til dæmis við fjármögnun dýrrar vélar eða verksmiðju. Í þessari bók er litið fram hjá óverulegum námundunarmun.

Fimm greiðslur að fjárhæð $25,000, samtals $125,000, má því fjármagna með $99,817.81 í dag. Mismunurinn fæst með 8% vöxtum á eftirstöðvum sjóðsins. Árleg staða er reiknuð með því að bæta vöxtum við fyrri stöðu og draga síðan $25,000 greiðsluna frá. Á fimmta ári duga vextirnir nákvæmlega til að standa undir lokagreiðslunni, að námundun frátalinni.

Núvirði jafnrar greiðsluraðar er meðal annars notað við stóra happdrættisvinninga. Gerum ráð fyrir $1.2 milljóna vinningi sem greiðist með tíu árlegum $120,000 greiðslum, þeirri fyrstu eftir eitt ár. Að sköttum og öðrum ófjárhagslegum þáttum slepptum býðst einnig $787,000 eingreiðsla í dag. Fjárhæðirnar eru ekki sambærilegar fyrr en framtíðargreiðslurnar hafa verið færðar til núvirðis. Með 9% afvöxtunarhlutfalli má reikna núvirði venjulegu greiðsluraðarinnar og bera það saman við eingreiðsluna.

Þegar gildin eru sett inn og reikniaðgerðir framkvæmdar í réttri röð fæst:

\begin{array}{rcl} PVa & = & $ 120,000 \times \frac{[1 - \frac{1}{{(1 + 0 . 09)}^{10}}]}{0.09} \\ PVa & = & $ 120,000 \times \frac{(1 - \frac{1}{2.3673637})}{0.09} \\ PVa & = & $ 120,000 \times \frac{1 - 0 . 4224108}{0.09} \\ PVa & = & $ 120,000 \times \frac{0.5775892}{0.09} \\ PVa & = & $ 120,000 \times 6.4176578 \\ PVa & \approx & $ 770,119 \end{array}

8.16

Núvirði tíu $120,000 greiðslna er um $770,119. Á hreinum fjárhagslegum grunni er $787,000 eingreiðslan því verðmætari. Skattar, þarfir, greiðsluöryggi og aðrir persónulegir þættir gætu þó breytt ákvörðuninni.

Núvirði fyrirframgreiddrar jafnrar greiðsluraðar

Venjuleg jöfn greiðsluröð hefst með greiðslu í lok fyrsta tímabils. Fyrirframgreidd jöfn greiðsluröð hefst hins vegar strax, þannig að hver greiðsla færist fram um eitt tímabil. Í happdrættisdæminu kæmu fyrstu $120,000 þá strax í stað þess að berast eftir eitt ár. Sami tímasetningarmunur gildir bæði við núvirðis- og framtíðargildisútreikninga.

Munurinn nemur einu vaxtatímabili. Fyrirframgreidd greiðsluröð er því reiknuð eins og venjuleg greiðsluröð og niðurstaðan síðan margfölduð með (1 + i). Vaxtaviðbótarformúlan er (1 + i)N, en hér er viðbótartímabilið aðeins eitt og veldið því 1.

Í fyrra dæminu átti sjóður að greiða $25,000 árlega í fimm ár og bera 8% vexti. Þegar fyrsta greiðslan kom eftir eitt ár þurfti upphafsstaðan að vera $99,817.81. Ef fyrsta greiðslan er tekin út strax verður röðin fyrirframgreidd. Þá þarf hærri upphafsstöðu, enda fer hluti sjóðsins út áður en hann nær að bera vexti.

Að öðru óbreyttu er bæði núvirði og framtíðargildi fyrirframgreiddrar greiðsluraðar hærra en samsvarandi gildi venjulegrar greiðsluraðar. Í dæminu er niðurstaða venjulegu raðarinnar því margfölduð með (1 + i):

\begin{array}{rcl} PVa & = & $ 25,000 \times \frac{[1 - \frac{1}{{(1 + 0.08)}^{5}}]}{0.08} \times (1 + 0.08) \\ PVa & = & $ 25,000 \times \frac{(1 - \frac{1}{1.469328})}{0.08} \times 1.08 \\ PVa & = & $ 25,000 \times \frac{1 - 0.680583}{0.08} \times 1.08 \\ PVa & = & $ 25,000 \times \frac{0.319417}{0.08} \times 1.08 \\ PVa & = & $ 25,000 \times 3.9927125 \times 1.08 \\ PVa & \approx & $ 107,803.24 \end{array}

8.17

Upphafsstaðan þarf að vera $107,803.24 áður en vextir bætast við eða greiðsla er tekin út. Hún er hærri en $99,817.81 fyrir venjulega greiðsluröð vegna þess að fyrsta úttektin fer fram strax.

Þrjú atriði skýra niðurstöðuna:

Formúlan breytist vegna þess að fyrsta greiðslan er tekin út áður en vextir fyrsta tímabilsins reiknast.
Að óverulegum námundunarmun frátöldum tæmist sjóðurinn við síðustu greiðslu.
Síðasta greiðslan er tekin út í upphafi lokaársins og sjóðurinn ber því enga vexti það ár.

Sama regla gildir um happdrættið. Tíu árlegar greiðslur að fjárhæð $120,000 eru afvaxtaðar með 9%, en fyrsta greiðslan berst nú strax. Röðin er því fyrirframgreidd og núvirði venjulegu raðarinnar margfaldað með (1 + i):

\begin{array}{rcl} PVa & = & $ 120,000 \times \frac{[1 - \frac{1}{{(1 + 0 . 09)}^{10}}]}{0.09} \times 1.09 \\ PVa & = & $ 120,000 \times \frac{(1 - \frac{1}{2.3673637})}{0.09} \times 1.09 \\ PVa & = & $ 120,000 \times \frac{1 - 0 . 4224108}{0.09} \times 1.09 \\ PVa & = & $ 120,000 \times \frac{0.5775892}{0.09} \times 1.09 \\ PVa & = & $ 120,000 \times 6.4176578 \times 1.09 \\ PVa & \approx & $ 839,429 \end{array}

8.18

Niðurstaðan er aftur hærri en núvirði samsvarandi venjulegrar greiðsluraðar.

Dæmin hér að ofan nota árleg tímabil. Vaxtaviðbót og afvöxtun jafnra greiðsluraða geta einnig miðast við til dæmis ársfjórðunga eða mánuði. Slík greiðslutíðni verður tekin fyrir síðar í kaflanum.

Jafnar greiðsluraðir í skipulögðum uppgjörum

Jafnar greiðsluraðir eru einnig algengar í skipulögðum uppgjörum. Gerum ráð fyrir $450,000 vátryggingauppgjöri þar sem gagnaðili vill greiða með afborgunum í stað eingreiðslu. Ef afvöxtunarhlutfallið er 6% og boðnar eru tíu árlegar $45,000 greiðslur, sú fyrsta eftir eitt ár, má bera valkostina saman með núvirðisformúlu venjulegrar greiðsluraðar:

PVa = PYMT \times \frac{[1 - \frac{1}{{(1 + r)}^{n}}]}{r}

8.19

Þegar gildin eru sett inn fæst:

\begin{array}{l} PVa & = & $ 45,000 \times \frac{[1 - \frac{1}{{(1 + 0.06)}^{10}}]}{0.06} \\ PVa & = & $ 45,000 \times \frac{(1 - \frac{1}{1.790848})}{0.06} \\ PVa & = & $ 45,000 \times \frac{0.4416053}{0.06} \\ PVa & = & $ 45,000 \times 7.360089 \\ PVa & \approx & $ 331,204 \end{array}

8.20

Að öðru óbreyttu væri eingreiðslu undir $331,204 hafnað en hærri eingreiðsla líklega samþykkt.

Ef samið er um að fyrsta greiðslan berist strax verður röðin fyrirframgreidd. Þá er fyrri niðurstaðan margfölduð með einu viðbótartímabili, (1 + 0.06):

\begin{array}{l} PVa = $ 45,000 \times 7.360089 \times 1.06 \\ PVa \approx $ 351,076 \end{array}

8.21

$351,076 yrði þá lágmarksfjárhæðin sem jafngildir boðnu greiðsluröðinni.

Sambandið milli raðanna má sannreyna með því að deila mismuninum á núvirði þeirra með núvirði venjulegu raðarinnar. Hlutfallið á að jafngilda vöxtunum. Fyrir fimm $25,000 greiðslur við 8% berum við saman $99,817.81 fyrir venjulega greiðsluröð og $107,803.24 fyrir fyrirframgreidda röð:

\frac{$ 107,803.24 - $ 99,817.81}{$ 99,817.81} = 0.08 = 8 %

8.22

Núvirði fyrirframgreiddu greiðsluraðarinnar er því 8% hærra en núvirði venjulegu raðarinnar.

Framtíðargildi jafnrar greiðsluraðar

Hingað til höfum við fært reglubundnar framtíðargreiðslur til núvirðis. Framtíðargildi jafnra innborgana má einnig reikna. Þegar sama fjárhæð er lögð inn með reglulegu millibili fæst framtíðargildi raðarinnar í einu skrefi með eftirfarandi formúlu:

FVa = PYMT \times \frac{{(1 + r)}^{N} - 1}{r}

8.23

þar sem FVa er framtíðargildi greiðsluraðarinnar, PYMT er hver innborgun, r eru vextir á tímabil og n er fjöldi tímabila.

Eins og við núvirðisútreikning byrjum við á venjulegri greiðsluröð og færum okkur síðan yfir í fyrirframgreidda röð.

Gerum ráð fyrir fimm ára fjárfestingarsamningi með 4% ársávöxtun. Fyrsta $3,000 innborgunin fer fram í lok fyrsta árs og sama fjárhæð er síðan lögð inn í lok hvers árs. Hvert verður framtíðargildið eftir fimm ár?

Tímasetning innborgana og uppsöfnun sjóðsins er sýnd í töflu 8.3:

Ár	0	1	2	3	4	5
Staða flutt áfram ($)	0.00	0.00	3,000.00	6,120.00	9,364.80	12,739.39
Áunnir vextir ($)		0.00	120.00	244.80	374.59	509.58
Höfuðstól bætt við ($)		3,000.00	3,000.00	3,000.00	3,000.00	3,000.00
Ný staða ($)		3,000.00	6,120.00	9,364.80	12,739.39	16,248.97

Þar sem fyrsta innborgunin fer fram í lok árs 1 ber hún aðeins vexti í fjögur ár. Fimmta innborgunin fer fram í lok árs 5 og ber enga vexti innan samningstímans. Taflan krefst fimm aðskildra útreikninga; fyrir 10, 25 eða 40 ára samning yrði það seinlegt. Þar sem allar innborganir eru jafnar má nota eins skrefs formúlu fyrir venjulega greiðsluröð.

Formúlan með innsettum gildum er:

\begin{array}{rcl} FVa & = & PYMT \times \frac{{(1 + r)}^{N} - 1}{r} \\ FVa & = & $ 3,000 \times \frac{{(1 + 0 . 04)}^{5} - 1}{0.04} \\ FVa & = & $ 3,000 \times \frac{1 . 216653 - 1}{0.04} \\ FVa & = & $ 3,000 \times 5.416325 \\ FVa & = & $ 16,248.98 \end{array}

8.24

Tímasetningin skýrir hvers vegna aðeins fjögur vaxtatímabil nýtast fyrir fyrstu innborgun og ekkert fyrir þá síðustu. Ef fyrsta innborgun færi fram strax yrði röðin fyrirframgreidd; þá bæri hver innborgun vexti einu tímabili lengur. Fyrirframgreidd greiðsluröð hefur því hærra núvirði og framtíðargildi en venjuleg röð, að öðru óbreyttu.

Höldum öllum forsendum óbreyttum en leggjum nú inn í upphafi hvers árs, í fyrsta sinn strax. Venjulegi jafngreiðsluþátturinn er þá margfaldaður með einu viðbótartímabili. Við framtíðargildi bera innborganir vexti fyrr; við núvirði þarf stærri sjóð þegar fyrsta úttekt fer fram strax. Í báðum tilvikum verður gildi fyrirframgreiddu raðarinnar hærra.

Dæmið er breytt í fyrirframgreidda greiðsluröð með því að margfalda með (1 + i); aðrar forsendur haldast óbreyttar:

\begin{array}{rcl} FVa & = & $ 3,000 \times \frac{{(1 + 0 . 04)}^{5} - 1}{0.04} \times 1.04 \\ FVa & = & $ 3,000 \times \frac{1 . 216653 - 1}{0.04} \times 1.04 \\ FVa & = & $ 3,000 \times 5.416325 \times 1.04 \\ FVa & \approx & $ 16,898.93 \end{array}

8.25

Skoðum annað dæmi. Þú leggur $15,000 inn árlega í 10 ár og færð 8% ársvexti. Ef hver innborgun fer fram í lok árs verður framtíðargildið:

\begin{array}{rcl} FVa & = & $ 15,000 \times \frac{{(1 + 0 . 08)}^{10} - 1}{0.08} \\ FVa & = & $ 15,000 \times \frac{2 . 158925 - 1}{0.08} \\ FVa & = & $ 15,000 \times 14 . 486563 \\ FVa & \approx & $ 217,298 \end{array}

8.26

Ef fyrsta innborgunin fer fram strax og hinar í upphafi hvers árs er niðurstaðan margfölduð með einu viðbótartímabili:

\begin{array}{rcl} FVa & = & $ 15,000 \times 14.486563 \times 1.08 \\ FVa & \approx & $ 234,682 \end{array}

8.27

Hugleiddu þetta

Byrja að fjárfesta 20 eða 30 ára?

8.28.

Í inngangi kaflans var spurt um $1,000 árlega innborgun til 60 ára aldurs við 5% vexti. Hver verður sparnaðurinn ef byrjað er við 20 ára aldur, og hver verður hann ef beðið er til 30 ára aldurs?

Lausn

Lausn:

Gerðir eru tveir framtíðargildisútreikningar. Fyrsta innborgunin fer fram strax, svo greiðsluröðin er fyrirframgreidd og niðurstaðan margfölduð með (1 + 0.05). Eini munurinn á útreikningunum er veldisvísirinn N, fjöldi tímabila.

Þrjátíu ár, ef byrjað er við 30 ára aldur:

\begin{array}{rcl} FVa & = & $ 1,000 \times \frac{{(1 + 0 . 05)}^{30} - 1}{0.05} \times 1.05 \\ FVa & = & $ 1,000 \times 66.438848 \times 1.05 \\ FVa & \approx & $ 69,761 \end{array}

8.28

Fjörutíu ár, ef byrjað er við 20 ára aldur:

\begin{array}{rcl} FVa & = & $ 1,000 \times \frac{{(1 + 0 . 05)}^{40} - 1}{0.05} \times 1.05 \\ FVa & = & $ 1,000 \times 120.799774 \times 1.05 \\ FVa & \approx & $ 126,840 \end{array}

8.29

Sá sem byrjar við 20 ára aldur safnar um 82% meira en sá sem bíður til 30 ára aldurs.

Jafnar greiðsluraðir við eftirlaunaáætlanagerð

Jafnar greiðsluraðir geta einnig nýst við eftirlaunaáætlanagerð. Einstaklingur sem fær $75,000 eingreiðslu gæti fjárfest hana í sjóði sem greiðir árlega viðbót við lífeyristekjur. Að sköttum slepptum gerum við ráð fyrir fimm árlegum greiðslum, 3% ársávöxtun og fyrstu greiðslu eftir eitt ár. Þetta er venjuleg jöfn greiðsluröð.

Þegar núvirði, vextir og fjöldi tímabila eru þekkt má leysa fyrir greiðslunni PYMT. Ef $75,000 sjóður á að endast í fimm ár og bera 3% vexti, hversu há getur árleg úttekt verið? Núvirðisformúlan er notuð með PVa = $75,000 og PYMT sem óþekktri stærð:

\begin{array}{rcl} PVa & = & PYMT \times \frac{[1 - \frac{1}{{(1 + r)}^{n}}]}{r} \\ $ 75,000 & = & PYMT \times \frac{[1 - \frac{1}{{(1 + 0 . 03)}^{5}}]}{0.03} \\ $ 75,000 & = & PYMT \times \frac{(1 - \frac{1}{1.159274})}{0.03} \\ $ 75,000 & = & PYMT \times 4.579705 \\ PYMT & = & $ 75,000 \div 4.579705 \\ PYMT & \approx & $ 16,376.60 \end{array}

8.30

Árleg úttekt getur verið $16,376.60, sú fyrsta eftir eitt ár. Vextir reiknast af upphafsstöðu hvers árs, greiðslan er tekin út í árslok og sjóðurinn tæmist við fimmtu greiðslu.