21.1 Planck og skammtaeðli ljóss

Markmið kaflahluta

• Lýsa svarthlutgeislun.
• Skilgreina skammtaástand og tengsl þess við nútímaeðlisfræði.
• Reikna skammtaorku ljóss.
• Útskýra hvernig orka ljóseinda breytist eftir rafsegulrófinu.

Lykilhugtök

• Svarthlutur: hlutur sem gleypir og endurgeislar alla geislunarorku sem fellur á hann.
• Skammtað: bundið við stök, leyfileg gildi.
• Skammtur: stakt magn orku eða annarrar eðlisfræðilegrar stærðar.
• Útfjólubláa hamförin: misræmi milli sígildrar spár og mælinga á svarthlutgeislun við stuttar bylgjulengdir.

Svarthlutgeislun

Fyrsta sagan okkar um furðulega mikilvæga uppgötvun byrjar á stuttermabol. Þú veist líklega að þröngur svartur stuttermabolur er mun óþægilegri úti á heitum degi en hvítur bolur. Svartir bolir, eins og aðrir svartir hlutir, gleypa og endurgeisla mun meiri geislun frá sólinni. Slíkur bolur er ágæt nálgun við það sem kallast svarthlutur.

Fullkominn svarthlutur gleypir og endurgeislar alla geislunarorku sem fellur á hann. Ef hlutur getur endurkastað eða hleypt í gegnum sig geislunarorku er hann ekki fullkominn svarthlutur. Dæmigert líkan er lítið gat inn í ofn eða holrúm: ljósið sem fer inn endurkastast aftur og aftur inni í holrúminu og gleypist að lokum nær alveg.

Þegar svarthlutur hitnar byrjar hann að ljóma. Við lægri hita getur ljóminn verið rauðleitur, við hærri hita verður hann gulleitur eða hvítur og við enn hærri hita færist hluti orkunnar út fyrir sýnilega sviðið. Greining á svarthlutum leiddi til einnar af afdrifaríkustu uppgötvunum tuttugustu aldar.

Mynd 21.2 sýnir geislunarstyrk sem fall af bylgjulengd. Neðsti rauði ferillinn, merktur 3.000 K, sýnir að svarthlutur við það hitastig geislar orku yfir rafsegulrófið, en mestur styrkurinn er við um það bil 1.000 nm. Sú bylgjulengd er á innrauða sviðinu. Hluturinn virðist rauðglóandi fyrir auga okkar, en ef við sæjum allt rófið mætti segja að hann væri fyrst og fremst innrauðglóandi.

Nokkur mynstur á mynd 21.2 skipta sérstaklega máli:

• Þegar hitastig hækkar eykst heildarorkan sem geislast frá svarthlutnum. Það sést á flatarmálinu undir hverjum ferli.
• Allir ferlarnir hafa svipaða lögun. Geislun berst á mörgum bylgjulengdum, en styrkurinn nær hámarki við eina ákveðna bylgjulengd.
• Þegar hitastigið hækkar færist hámarksbylgjulengdin. Við 4.000 K er hluturinn gulgrænn og við 6.000 K verður hann hvítglóandi, því þá berst ljós frá mörgum sýnilegum litum samtímis.
• Eftir því sem hitastigið hækkar verður tíðnin þar sem styrkurinn er mestur hærri. Þar sem v = fλ og ljóshraðinn er fasti eru tíðni og bylgjulengd í öfugu hlutfalli hvor við aðra. Þess vegna færast ferlarnir til vinstri þegar hitastigið hækkar.

Í vísindum er mikilvægt að flokka athuganir, en það sem knýr framfarirnar er að útskýra hvers vegna mynstrin koma fram. Hvers vegna geislar svarthlutur ekki jafnt á öllum bylgjulengdum? Hvers vegna breytir hitastig hlutarins þeirri bylgjulengd sem ber mestan styrk? Hvers vegna minnkar hámarksbylgjulengdin þegar hitastigið hækkar? Spurningar af þessu tagi knúðu miklar rannsóknir um aldamótin 1900 og í því samhengi gerði Max Planck afar mikilvæga uppgötvun.

Útfjólubláa hamförin

Ríkjandi kenningin þegar Planck vann sína uppgötvun tengdi styrk og bylgjulengd með jöfnunni I = 2kT/λ². Jafnan var leidd af sígildri eðlisfræði og bylgjukenningu og sagði að styrkur orku minnkaði með öfugu ferningssambandi þegar bylgjulengdin ykist.

Mynd 21.3 sýnir vandann. Sígilda spáin passar ekki við mældu svarthlutaferlana. Hún gefur líka til kynna að hlutur við hvaða hitastig sem er ætti að gefa frá sér óendanlega mikla orku á stystu bylgjulengdunum. Þegar kenning og mælingar rekast svona harkalega á þarf að endurmeta líkönin. Þetta misræmi milli kenningar og veruleika fékk nafnið útfjólubláa hamförin.

Vegna útfjólubláu hamfararinnar spurði Planck hvort annar þáttur hefði áhrif á samband styrks og bylgjulengdar. Sá þáttur þyrfti að minnka líkurnar á því að ljós með mjög stutta bylgjulengd væri gefið frá sér. Þá myndi ferillinn ekki vaxa endalaust eins og í sígildu kenningunni, heldur falla aftur niður eins og ferlarnir fyrir 5.000 K, 4.000 K og 3.000 K á mynd 21.3. Planck sá einnig að þessi þáttur hlyti að ráðast af hitastigi.

Skömmtuð orka

Ákvörðun þessa líkindaþáttar varð bylting í eðlisfræði. Hún var ekki aðeins lykill að skilningi á ljósi, heldur einnig á orku og efni. Uppgötvunin varð grunnur Nóbelsverðlauna Plancks í eðlisfræði árið 1918 og markaði umskipti frá sígildum skilningi til nútímaeðlisfræði.

Planck setti fram nýja kenningu til að skýra líkindaþáttinn. Kenningin, sem varð upphaf skammtafræðinnar, gerði ráð fyrir að orkan sem svarthlutur geislar frá sér geti aðeins verið í ákveðnum tölulegum skammtaástandum. Hún er lýst með jöfnunni E = nhf, þar sem n er heil, óneikvæð tala (0, 1, 2, 3, ...), h er Plancksfasti, h = 6,626 × 10⁻³⁴ J·s, og f er tíðnin.

Með þessari jöfnu verður líkindaþáttur Plancks skýrari. Hver tíðni ljóss samsvarar ákveðnu skömmtuðu orkumagni. Ljós með lága tíðni og langa bylgjulengd ber minni orku, en ljós með háa tíðni og stutta bylgjulengd ber meiri orku. Fyrir tiltekið hitastig og tiltekna heildarorku er því eðlilegt að meira sé geislað af lágtíðniljósi en hátíðniljósi.

Hugsa má um þetta eins og að hella mynt í gegnum trekt. Minni mynt fer auðveldara í gegnum trektina en stærri mynt. Á sama hátt er ólíklegra að háorkuljóseindir, sem samsvara hárri tíðni, komi fram í hlut við tiltekið hitastig. Ferill svarthlutgeislunar verður því til úr jafnvægi sígildu spárinnar og skammtalíkindanna.

Skammtaástand eru ekki eingöngu bundin við ljós. Atóm, sameindir og grunnhleðsla rafeinda og róteinda eru dæmi um stærðir sem birtast í stökum gildum. Á streng er aðeins hægt að fá ákveðnar sveiflutíðnir sem samsvara heilum harmonískum. Þegar gengið er upp stiga tekur stöðuorkan stök gildi frá þrepi til þreps. Á sama hátt er ekki hægt að hafa brot úr atómi, hluta af rafeindarhleðslu eða 14,33 sent í bandarískri mynt.

Að finna skammtaástand í fyrirbæri sem hafði lengi verið talið samfellt var því mjög óvænt. Þegar Planck notaði skömmtun til að lýsa réttri lögun svarthlutarófsins var það fyrsta vísbendingin um að orka væri líka skömmtuð á smáum kvarða. Skammtalíkan Plancks var ekki almennt samþykkt fyrr en Einstein beitti því síðar til að skýra ljósröfun.

Unnið dæmi 21.1: Hversu margar ljóseindir á sekúndu sendir venjuleg ljósapera frá sér?

Hugsum okkur gamla 100 W glóþráðarperu þar sem 10 prósent orkunnar fer í sýnilegt ljós. Meðalbylgjulengd ljóssins er 580 nm. Hversu margar sýnilegar ljóseindir sendir peran frá sér á sekúndu?

Fyrst er orka hverrar ljóseindar fundin. Þar sem f = c/λ má skrifa E = nhf = nhc/λ. Orkan á hverja ljóseind er þá E/n = (6,63 × 10⁻³⁴ J·s)(3,00 × 10⁸ m/s)/(580 × 10⁻⁹ m) = 3,43 × 10⁻¹⁹ J/ljóseind.

Ef 10 prósent af 100 W fara í sýnilegt ljós er sýnilega aflið 10,0 J/s. Fjöldi ljóseinda á sekúndu er því 10,0 J/s / (3,43 × 10⁻¹⁹ J/ljóseind) = 2,92 × 10¹⁹ ljóseindir/s.

Unnið dæmi 21.2: Orka ljóseinda á mismunandi sviðum rafsegulrófsins

Berum saman orkuna sem þarf til að geisla einni innrauðri ljóseind og einni ljóseind sýnilegs ljóss. Samkvæmt mynd 21.2 er dæmigerð bylgjulengd innrauðs ljóss 2.000 nm, eða 2,000 × 10⁻⁶ m. Tíðnin er f = c/λ = (3,00 × 10⁸ m/s)/(2,000 × 10⁻⁶ m) = 1,50 × 10¹⁴ Hz.

Með E = nhf fæst orkan á eina innrauða ljóseind: E/n = hf = (6,63 × 10⁻³⁴ J·s)(1,50 × 10¹⁴ Hz) = 9,95 × 10⁻²⁰ J/ljóseind.

Fyrir sýnilegt ljós má velja dæmigerða bylgjulengd 500 nm, eða 5,00 × 10⁻⁷ m. Þá er f = c/λ = (3,00 × 10⁸ m/s)/(5,00 × 10⁻⁷ m) = 6,00 × 10¹⁴ Hz og E/n = hf = (6,63 × 10⁻³⁴ J·s)(6,00 × 10¹⁴ Hz) = 3,98 × 10⁻¹⁹ J/ljóseind.

Dæmið staðfestir að þegar bylgjulengd ljóss minnkar eykst skammtaorkan. Þess vegna er blár logi hættulegri en rauður logi: hver stuttbylgjuljóseind í bláu ljósi ber meiri orku en langbylgjuljóseind í rauðu ljósi. Þetta skýrir líka hvers vegna ferlarnir fyrir 3.000 K, 4.000 K og 6.000 K færast til þegar hitastigið hækkar.

Athugaðu skilning

1. AM-útvarpsstöð sendir út á tíðninni 1.530 kHz. Hver er orka ljóseindar frá stöðinni í júlum?

   1. 10,1 × 10⁻²⁶ J
   2. 1,01 × 10⁻²⁸ J
   3. 1,01 × 10⁻²⁹ J
   4. 1,01 × 10⁻²⁷ J

2. Ljóseind hefur orkuna 1,0 eV, eða einn rafeindavolt. Hvers konar rafsegulgeislun er þetta?

   1. Sýnilegt ljós
   2. Örbylgjugeislun
   3. Innrauð geislun
   4. Útfjólublá geislun

3. Hvort líkja endurkastandi eða gleypandi yfirborð betur eftir fullkomnum svarthlut?

   1. Endurkastandi yfirborð
   2. Gleypandi yfirborð

4. Svartur stuttermabolur er gott líkan af svarthlut, en hann er ekki fullkominn. Hvað kemur í veg fyrir að hann teljist fullkominn svarthlutur?

   1. Bolurinn endurkastar einhverju ljósi.
   2. Bolurinn gleypir allt innfallandi ljós.
   3. Bolurinn endurgeislar allt innfallandi ljós.
   4. Bolurinn endurkastar engu ljósi.

5. Hvaða stærðfræðilega samband tengir orku ljóseindar við tíðni hennar?

   1. E = h(ω)
   2. E = h/ω
   3. E = h/f
   4. E = hf

6. Hvers vegna tökum við venjulega ekki eftir skömmtun ljóseinda í daglegri reynslu?

   1. Vegna þess að hver ljóseind er mjög stór.
   2. Vegna þess að massi hverrar ljóseindar er svo lítill.
   3. Vegna þess að orkan frá ljóseindum er mjög mikil.
   4. Vegna þess að orkan frá hverri ljóseind er mjög lítil.

7. Tveir logar sjást á eldavél, annar rauður og hinn blár. Hvor loginn er heitari?

   1. Rauði loginn er heitari vegna þess að rautt ljós hefur lægri tíðni.
   2. Rauði loginn er heitari vegna þess að rautt ljós hefur hærri tíðni.
   3. Blái loginn er heitari vegna þess að blátt ljós hefur lægri tíðni.
   4. Blái loginn er heitari vegna þess að blátt ljós hefur hærri tíðni.

8. Sjáöldur þín víkka þegar styrkur sýnilegs ljóss minnkar. Eykst eða minnkar hættan af útfjólublárri geislun fyrir augun ef þú notar sólgleraugu sem loka ekki á útfjólublátt ljós? Útskýrðu.

   1. Hættan eykst, því fleiri orkumiklar útfjólubláar ljóseindir geta farið inn í augað.
   2. Hættan eykst, því færri orkumiklar útfjólubláar ljóseindir geta farið inn í augað.
   3. Hættan minnkar, því fleiri orkumiklar útfjólubláar ljóseindir geta farið inn í augað.
   4. Hættan minnkar, því færri orkumiklar útfjólubláar ljóseindir geta farið inn í augað.

9. Hitastig svarthlutargeislagjafa er hækkað. Hvað gerist þá við þá bylgjulengd ljóss sem ber mestan styrk?

   1. Bylgjulengd sterkustu geislunarinnar breytist af handahófi.
   2. Bylgjulengd sterkustu geislunarinnar eykst.
   3. Bylgjulengd sterkustu geislunarinnar helst óbreytt.
   4. Bylgjulengd sterkustu geislunarinnar minnkar.