10.2 Afleiðingar takmörkuðu afstæðiskenningarinnar

Lykilhugtök kaflans

• lengdarstytting
• massagalli
• tímalenging
• eiginlengd
• bindiorka
• afstæðilegur skriðþungi
• jafngildi massa og orku

Afstæðisleg áhrif á tíma, vegalengd og skriðþunga

Athugun á mælingu liðins tíma og samtíma leiðir til mikilvægra afstæðislegra áhrifa. Tímalenging er það fyrirbæri að tíminn líður hægar fyrir athuganda sem hreyfist miðað við annan athuganda.

Til dæmis skulum við gera ráð fyrir að geimfari mæli tímann sem það tekur ljós að ferðast frá ljósgjafa, fara þvert yfir skip hennar, endurkastast af spegli og snúa aftur. (Sjá mynd 10.5.) Hvernig ber liðni tíminn sem geimfarinn mælir saman við liðna tímann sem manneskja á jörðinni mælir fyrir sama atburð? Þessi spurning, önnur hugsunartilraun, leiðir til djúpstæðrar niðurstöðu. Liðinn tími fyrir ferli fer eftir því hver mælir hann. Í þessu tilviki er tíminn sem geimfarinn mælir styttri en tíminn sem jarðbundinn athugandi mælir. Tíminn líður ólíkt hjá athugendunum tveimur vegna þess að vegalengdin sem ljósið ferðast í viðmiðunarkerfi geimfarans er styttri en í viðmiðunarkerfi jarðar. Ljós ferðast með sama hraða í báðum kerfum og því tekur það lengri tíma að ferðast lengri vegalengdina í viðmiðunarkerfi jarðar.

Sambandið milli Δt og Δt o er gefið með

þar sem γ er afstæðisstuðullinn, gefinn með

og v og c eru hraði athugandans á hreyfingu og ljóshraðinn, í þessari röð.

Takið eftir að þegar hraðinn v er lítill miðað við ljóshraðann c verður v/c lítið og γ verður nálægt 1. Þá eru tímamælingar þær sömu í báðum viðmiðunarkerfum. Afstæðileg áhrif, það er þau sem tengjast takmörkuðu afstæðiskenningunni, verða venjulega marktæk þegar hraði verður sambærilegur við ljóshraða. Þetta sést í tímalengingu.

Þú gætir hafa séð vísindaskáldskapsmyndir þar sem geimfarar snúa aftur til jarðar eftir langt ferðalag og komast að því að plánetan og allir á henni hafa elst miklu meira en þeir. Þessi tegund atburðarásar byggir á hugsunartilraun, þekkt sem tvíburaþverstæðan (e. twin paradox), sem ímyndar sér tvíbura, þar sem annar fer í ferðalag út í geim á meðan hinn er heima. Þegar geimfarinn snýr aftur kemst hún að því að tvíburi hennar hefur elst miklu meira en hún. Þetta gerist vegna þess að ferðalangurinn hefur verið í tveimur viðmiðunarkerfum, einu sem fór frá jörðinni og einu sem sneri aftur.

Tímalenging hefur verið staðfest með því að bera saman tímann sem skráður er af atómklukku sem send er á braut um jörðu við tímann sem skráður er af klukku sem var eftir á jörðinni. GPS gervitungl þarf einnig að stilla til að bæta upp fyrir tímalengingu til að gefa nákvæma staðsetningu.

Hefur þú einhvern tímann keyrt á vegi, eins og þeim sem sýndur er á mynd 10.6, sem virðist halda áfram endalaust? Ef þú horfir fram á veginn gætirðu sagt að þú eigir um¹⁰ km eftir. Annar ferðalangur gæti sagt að vegurinn framundan líti út fyrir að vera um¹⁵ km langur. Ef þið mælduð veginn mynduð þið hins vegar vera sammála. Við hversdagslegan hraða væri vegalengdin sem þið mælið sú sama. Þú munt hins vegar lesa í þessum kafla að þetta er ekki satt við afstæðislegan hraða. Nálægt ljóshraða eru mældar vegalengdir ekki þær sömu þegar þær eru mældar af mismunandi athugendum sem hreyfast miðað við hvern annan.

Eitt sem allir athugendur eru sammála um er afstæður hraði þeirra. Þegar einn athugandi ferðast í burtu frá öðrum, sjá þeir báðir hinn fjarlægjast á sama hraða, óháð því hvers viðmiðunarkerfi er valið. Munið að hraði er jafnt og vegalengd deilt með tíma: v = d/t. Ef athugendurnir upplifa mismun á liðnum tíma, hljóta þeir einnig að sjá mismun á vegalengdinni sem farin er. Þetta er vegna þess að hlutfallið d/t verður að vera það sama fyrir báða athugendur.

Stytting vegalengdar sem athugandi upplifir sem hreyfist miðað við punktana sem vegalengdin er mæld á milli kallast lengdarstytting. Eiginlengd, L₀, er vegalengdin milli tveggja punkta mæld í viðmiðunarkerfinu þar sem athugandinn og punktarnir eru kyrrstæðir. Athugandinn á hreyfingu miðað við punktana mælir L. Þessar tvær lengdir tengjast með jöfnunni

Þar sem γ er sama stæðan og notuð er í jöfnunni fyrir tímalengingu hér að ofan, verður jafnan

Til að sjá hvernig lengdarstytting blasir við athuganda á hreyfingu, farðu í þessa hermun. Hér getur þú einnig séð að samtími, tímaþensla og lengdarstytting eru innbyrðis tengd fyrirbæri.

Þessi hlekkur vísar á hermun sem sýnir afstæði samtímaatburða.

Í klassískri eðlisfræði er skriðþungi einfalt margfeldi massa og hraða. Þegar tekið er tillit til takmörkuðu afstæðiskenningarinnar hafa hlutir sem hafa massa hraðatakmörk. Hvaða áhrif heldur þú að massi og hraði hafi á skriðþunga hluta sem ferðast á afstæðilegum hraða, það er hraða nálægt ljóshraða?

Skriðþungi er eitt mikilvægasta hugtakið í eðlisfræði. Víðtækasta form annars lögmáls Newtons er sett fram með tilliti til skriðþunga. Skriðþungi varðveitist í klassískri aflfræði hvenær sem heildarkraftur ytri krafta á kerfi er núll. Þetta gerir varðveislu skriðþunga að grundvallartæki við greiningu á árekstrum. Við munum sjá að skriðþungi hefur sama mikilvægi í nútíma eðlisfræði. Afstæðilegur skriðþungi varðveitist og mikið af því sem við vitum um uppbyggingu öreinda kemur frá greiningu á árekstrum afstæðilegra agna sem framleiddar eru í hröðlum.

Ein af forsendum takmörkuðu afstæðiskenningarinnar segir að lögmál eðlisfræðinnar séu þau sömu í öllum tregðukerfum. Heldur lögmálið um varðveislu skriðþunga gildi sínu við mikinn hraða? Svarið er já, að því tilskildu að skriðþungi sé skilgreindur á eftirfarandi hátt.

Afstæðilegur skriðþungi, p, er klassískur skriðþungi margfaldaður með afstæðisstuðlinum γ.

þar sem m er hvíldarmassi hlutarins (það er massinn mældur í kyrrstöðu, án nokkurs γ þáttar), u er hraði hans miðað við athuganda, og γ er, eins og áður, afstæðisstuðullinn. Við notum massa hlutarins eins og hann mælist í kyrrstöðu vegna þess að við getum ekki ákvarðað massa hans á meðan hann er á hreyfingu.

Athugið að við notum u fyrir hraða hér til að greina hann frá afstæðishraða v milli athugenda. Hér er aðeins verið að skoða einn athuganda. Með p skilgreint á þennan hátt, varðveitist p_tot hvenær sem heildarkraftur ytri krafta er núll, rétt eins og í klassískri eðlisfræði. Aftur sjáum við að afstæðilega stærðin verður nánast sú sama og sú klassíska við lágan hraða. Það er að segja, afstæðilegur skriðþungi γmu verður að hinu klassíska mu við lágan hraða, vegna þess að γ er mjög nálægt 1 við lágan hraða.

Afstæðilegur skriðþungi hefur sömu innsæistilfinningu og klassískur skriðþungi. Hann er mestur fyrir stóra massa sem hreyfast á miklum hraða. Vegna þáttarins γ hegðar afstæðilegur skriðþungi sér hins vegar öðruvísi en klassískur skriðþungi með því að nálgast óendanleika þegar u nálgast c. (Sjá mynd 10.7.) Þetta er önnur vísbending um að hlutur með massa geti ekki náð ljóshraða. Ef hann gerði það, myndi skriðþungi hans verða óendanlegur, sem er óraunhæft gildi.

Afstæðilegur skriðþungi er skilgreindur á þann hátt að varðveisla skriðþunga gildir í öllum tregðukerfum. Hvenær sem heildarkraftur ytri krafta á kerfi er núll, varðveitist afstæðilegur skriðþungi, rétt eins og gildir um klassískan skriðþunga. Þetta hefur verið staðfest í fjölmörgum tilraunum.

Jafngildi massa og orku

Við skulum draga saman útreikninga á afstæðilegum áhrifum á hluti sem hreyfast á hraða nálægt ljóshraða. Í hverju tilviki þurfum við að reikna út afstæðisstuðulinn, sem er gefinn með

þar sem v og c eru eins og skilgreint var fyrr. Við notum u sem hraða agnar eða hlutar í einu viðmiðunarkerfi, og v fyrir hraða eins viðmiðunarkerfis miðað við annað.

Tímaþensla

Liðinn tími á hlut á hreyfingu, Δt 0, eins og hann sést af kyrrstæðum athuganda er gefinn með Δt = γΔt 0, þar sem Δt 0 er tíminn sem mældur er á hlutnum á hreyfingu þegar hann er tekinn sem viðmiðunarkerfi.

Lengdarstytting

Lengd mæld af einstaklingi í kyrrstöðu miðað við hlut á hreyfingu, L, er gefin með

þar sem L₀ er lengdin mæld á hlutnum á hreyfingu.

Afstæðilegur skriðþungi

Skriðþungi, p, hlutar með massa, m, sem ferðast á afstæðilegum hraða er gefinn með p = γmu, þar sem u er hraði hlutar á hreyfingu eins og hann sést af kyrrstæðum athuganda.

Afstæðileg orka

Upprunaleg uppspretta allrar orku sem við notum er umbreyting massa í orku. Mest af þessari orku verður til við kjarnahvörf í sólinni og berst til jarðar í formi rafsegulgeislunar, þar sem henni er síðan breytt í öll þau form sem við þekkjum. Eftirstandandi orka frá kjarnahvörfum er framleidd í kjarnorkuverum og í iðrum jarðar. Í hverju þessara tilvika er uppspretta orkunnar umbreyting á litlu magni massa í mikið magn orku. Þessar uppsprettur eru sýndar á mynd 10.8.

Fyrsta forsenda afstæðiskenningarinnar segir að lögmál eðlisfræðinnar séu þau sömu í öllum tregðukerfum. Einstein sýndi fram á að lögmálið um varðveislu orku gildir afstæðilega, ef við skilgreinum orku þannig að hún innihaldi afstæðisstuðul. Niðurstaða greiningar hans er sú að ögn eða hlutur með massa m sem hreyfist á hraða u hefur afstæðilega orku sem gefin er með

Þetta er segðin fyrir heildarorku hlutar með massa m á hvaða hraða u sem er og inniheldur bæði hreyfiorku og stöðuorku. Líttu aftur á jöfnuna fyrir γ og þú munt sjá að hún er jöfn 1 þegar u er 0; það er að segja þegar hlutur er í kyrrstöðu. Þá er hvíldarorkan, E₀, einfaldlega

Þetta er hið rétta form á frægri jöfnu Einsteins.

Þessi jafna er mjög gagnleg fyrir kjarnaeðlisfræðinga vegna þess að hana má nota til að reikna út orkuna sem losnar við kjarnahvörf. Þetta er gert einfaldlega með því að draga massa myndefna slíks hvarfs frá massa hvarfefnanna. Mismunurinn er m-ið í E₀ = m c². Hér er einfalt dæmi:

Jáeind er tegund andefnis sem er nákvæmlega eins og rafeind, nema að hún hefur jákvæða hleðslu. Þegar jáeind og rafeind rekast saman, eyðist massi þeirra algjörlega og breytist í orku í formi gammageisla. Þar sem báðar agnirnar hafa hvíldarmassann 9,11 × 10⁻³¹ kg, margföldum við mc² liðinn með 2. Svo orka gammageislanna er

• E₀ = 2(9,11 × 10⁻³¹ kg)(3,00 × 10⁸ m/s)²

• = 1,64 × 10⁻¹³ kg·m²/s²

• = 1,64 × 10⁻¹³ J

þar sem við höfum segðina fyrir júl (J) í SI-grunneiningunum kg, m og s. Almennt hafa kjarnar stöðugra samsæta minni massa en öreindirnar sem mynda þá. Orkuígildi þessa mismunar kallast bindiorka kjarnans. Þessi orka losnar þegar samsætan myndast úr öreindum sínum, vegna þess að myndefnið er stöðugra en hvarfefnin. Þegar mismunurinn er tjáður sem massi kallast hann massagalli. Til dæmis er helíumkjarni gerður úr tveimur nifteindum og tveimur róteindum og hefur massann 4,0003 atómmassaeiningar (u). Summa massa tveggja róteinda og tveggja nifteinda er 4,0330 u. Massagallinn er því 0,0327 u. Umreiknaður í kg er massagallinn 5,0442 × 10⁻³⁰ kg. Með því að margfalda þennan massa með c² fæst bindiorkan 4,540 × 10⁻¹² J. Þetta hljómar ekki mikið því þetta er aðeins eitt atóm. Ef búið væri til eitt gramm af helíum úr nifteindum og róteindum myndu losna 683.000.000.000 J. Til samanburðar losar brennsla á einu grammi af kolum um 24 J.

RHIC-hraðallinn

Mynd 10.9 sýnir Brookhaven National Laboratory í Upton, NY. Hringlaga mannvirkið hýsir eindahraðal sem kallast RHIC, sem stendur fyrir Relativistic Heavy Ion Collider (afstæðilegur þungjónahraðall). Þungjónirnar í nafninu eru gullkjarnar sem hafa verið sviptir rafeindum sínum. Jónastraumum er hraðað í nokkrum þrepum áður en þeir fara inn í stóra hringinn sem sést á myndinni. Hér er þeim hraðað upp í lokahraða sinn, sem er um 99,7 prósent af ljóshraða. Slíkur mikill hraði er kallaður afstæðilegur. Öll afstæðilegu fyrirbærin sem við höfum rætt í þessum kafla eru mjög áberandi í þessu tilviki. Við þennan hraða er γ = 12,9, þannig að afstæðilegur tími lengist um stuðulinn u.þ.b. 13, og afstæðileg lengd styttist um sama stuðul.

Tveir jónageislar hringsóla um 2,4 mílna langa brautina í stóra hringnum í gagnstæðar áttir. Hægt er að láta brautirnar skerast og valda því að jónir rekist saman. Áreksturinn er mjög skammlífur en ótrúlega öflugur. Hitastigið og þrýstingurinn sem myndast er meiri en í heitustu sólum. Við 4 billjón gráður á Celsíus er þetta heitasta efni sem búið hefur verið til á rannsóknarstofu.

En hver er tilgangurinn með því að búa til svo öfgafullan atburð? Við þessar aðstæður splundrast nifteindirnar og róteindirnar, sem mynda gullkjarnana, í eindir sínar sem kallast kvarkar og límeindir. Markmiðið er að endurskapa þær aðstæður sem fræðimenn telja að hafi verið til staðar í upphafi alheimsins. Talið er að á þeim tíma hafi efni verið eins konar súpa af kvörkum og límeindum. Þegar hlutir kólnuðu eftir upphafshvellinn þéttust þessar eindir og mynduðu róteindir og nifteindir.

Sumar niðurstöðurnar hafa verið óvæntar og komið á óvart. Talið var að kvarka-límeinda súpan myndi líkjast gasi eða rafgasi (plasma). Í staðinn hegðar hún sér meira eins og vökvi. Hún hefur verið kölluð fullkominn vökvi vegna þess að hún hefur nánast enga seigju, sem þýðir að hún hefur enga mótstöðu gegn flæði.