99 Mælingar í metrakerfinu

9.2 Flatarmál mælt

Einstaklingur málar vegg með málningarrúllu. — **Mynd 9.5.** Málari notar rúllu með framlengingarstöng til að mála vegg. (mynd: „Paint Rollers are effective“ eftir WILLPOWER STUDIOS/Flickr, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Eftir að hafa lokið þessum hluta átt þú að geta:

valið hæfileg gildi í verkefnum um flatarmál.
umreiknað milli flatarmálseininga.
leyst hagnýt verkefni um flatarmál.

Flatarmál er stærð yfirborðs. Yfirborðið getur verið landskiki, gólfmotta, veggur eða annar tvívíður flötur með stærðir sem mæla má í metrakerfiseiningu lengdar, metrum. Flatarmál yfirborðs skiptir máli í mörgum daglegum verkum. Þegar málning er keypt þarf til dæmis að vita hve margar ferningseiningar á að mála til að ákvarða málningarmagnið.

Ferningseiningar sýna að tvö mæligildi í sömu einingu hafa verið margfölduð saman. Flatarmál rétthyrnings fæst til dæmis með því að margfalda lengdareiningarnar með breiddareiningunum.

1 cm \times 1 cm = 1 {cm}^{2}

Til að reikna flatarmál rétt verða bæði mæligildin sem margfölduð eru að vera í sömu einingu. Ef flatarmál á að fást í fersentímetrum verða bæði lengd og breidd að vera í sentímetrum.

Hæfileg flatarmálsgildi

Þar sem flatarmál fæst með margföldun tveggja lengda vex munurinn milli ferningseininga með öðru veldi. Metri er 100 sinnum lengri en sentímetri, en fermetri $(m^{2})$ er $100 \times 100, eða 10,000$ sinnum stærri að flatarmáli en fersentímetri $({cm}^{2})$ . Tengsl algengra viðmiðunareininga flatarmáls eru sýnd í eftirfarandi töflu.

Einingar	Tengsl	Umreikningshlutfall
km 2 í m 2	k m $\times$ k m = k m 2 1 ⁢ k m = 1 , 0 0 0 ⁢ m 1 , 0 0 0 ⁢ m $\times$ 1 , 0 0 0 ⁢ m = 1 , 0 0 0 , 0 0 0 ⁢ m 2 km $\times$ km = km 2 1 ⁢ km = 1,000 ⁢ m 1,000 ⁢ m $\times$ 1,000 ⁢ m = 1,000,000 ⁢ m 2	1 ⁢ k m 2 = 1 , 0 0 0 , 0 0 0 ⁢ m 2 1 ⁢ km 2 = 1,000,000 ⁢ m 2
m 2 í cm 2	m $\times$ m = m 2 1 ⁢ m = 1 0 0 ⁢ c m 1 0 0 ⁢ c m $\times$ 1 0 0 ⁢ c m = 1 0 , 0 0 0 ⁢ c m 2 m $\times$ m = m 2 1 ⁢ m = 100 ⁢ cm 100 ⁢ cm $\times$ 100 ⁢ cm = 10,000 ⁢ cm 2	1 ⁢ m 2 = 1 0 , 0 0 0 ⁢ c m 2 1 ⁢ m 2 = 10,000 ⁢ cm 2
cm 2 í mm 2	c m $\times$ c m = c m 2 1 ⁢ c m = 1 0 ⁢ m m 1 0 ⁢ m m $\times$ 1 0 ⁢ m m = 1 0 0 ⁢ m m 2 cm $\times$ cm = cm 2 1 ⁢ cm = 10 ⁢ mm 10 ⁢ mm $\times$ 10 ⁢ mm = 100 ⁢ mm 2	1 ⁢ c m 2 = 1 0 0 ⁢ m m 2 1 ⁢ cm 2 = 100 ⁢ mm 2

Mikilvægur þáttur í skilningi á flatarmáli í metrakerfinu er að geta valið hæfileg gildi. Við mat á því hvort gildi sé raunhæft þarf að skoða bæði eininguna og tölugildið. Aðeins með því að meta hvort tveggja má sjá hvort uppgefið flatarmál hæfir aðstæðunum.

Dæmi 9.10

Hæfileg flatarmálseining valin

Hvaða mælieining hentar best fyrir flatarmál pappírsblaðs: ${km}^{2}$ , ${cm}^{2}$ , eða ${mm}^{2}$ ?

Lausn

Í bandaríska einingakerfinu eru lengd og breidd pappírs venjulega mæld í tommum. Í metrakerfinu eru sentímetrar notaðir fyrir stærðir sem annars væru gefnar upp í tommum. Fersentímetrar henta því best fyrir flatarmál pappírsblaðs. Ferkílómetri er of stór eining en fermillímetri of lítil.

Dæmi 9.11

Hæfilegt flatarmálsgildi valið

Þú vilt mála veggi svefnherbergisins. Hvert er hæfilegt flatarmál veggjanna: 100 cm²,¹⁰⁰ m²^eða 100^km²?

Lausn

Flatarmálið 100 cm² samsvarar fletinum $10 cm \times 10 cm,$ sem er allt of lítill fyrir veggi svefnherbergis. Flatarmálið 100 km² samsvarar fletinum $10 km \times 10 km,$ sem er allt of stór. Hæfilegt gildi fyrir flatarmál veggjanna er því 100 m².

Dæmi 9.12

Hæfileg flatarmálsgildi útskýrð

Garðyrkjumaður er ráðinn til að leggja nýtt torf á ruðningsvöll skóla. Eftir að hafa mælt lengd og breidd vallarins reiknar hann flatarmálið 5.350^km². Er niðurstaðan raunhæf? Rökstyddu svarið.

Lausn

Nei. Kílómetrar eru notaðir fyrir lengri vegalengdir, til dæmis akstursvegalengd milli staða. Ruðningsvöllur er innan við einn kílómetri á lengd og^því væri m² hæfilegri^eining. Tölugildið 5.350 má fá með málunum 53,5 sinnum 100, sem eru raunhæf lengd og breidd vallar. Hæfilegra flatarmál vallarins er því 5.350^m².

Umreikningur flatarmálseininga

Flatarmálseiningum má breyta á svipaðan hátt og lengdareiningum. Umreikningsstuðullinn, talan sem margfaldað eða deilt er með til að breyta einni flatarmálseiningu í aðra, er þó ekki sá sami og fyrir lengdareiningar. Umreikningsstuðull flatarmáls er annað veldi af umreikningsstuðli lengdar. Algengustu stuðlarnir eru sýndir á mynd 9.7.

Mynd sýnir fjórar einingar: fermillímetra, fersentímetra, fermetra og ferkílómetra. — **Mynd 9.7.** Algengir umreikningsstuðlar flatarmálseininga metrakerfisins

Dæmi 9.13

Flatarmálseiningum breytt með deilingu

Landskiki er 237.500.000 m² að flatarmáli. Hvert^er flatarmálið í ferkílómetrum?

Lausn

Deildu þegar minni flatarmálseiningu er breytt í stærri. Til að breyta^m² í^km² er flatarmálsgildinu deilt með 1.000.000.

\frac{237,500,000}{1,000,000} = 237.5

Landskikinn er 237,5 km² að^flatarmáli.

Dæmi 9.14

Flatarmálseiningum breytt með margföldun

Landskiki er 0,004046 km² að flatarmáli.^Hvert er flatarmálið í fermetrum?

Lausn

Margfaldaðu þegar stærri flatarmálseiningu er breytt í minni. Til að breyta^km² í^m² er flatarmálsgildið margfaldað með 1.000.000.

0.004046 \times 1,000, 000 = 4,046

Landskikinn er 4.046 m² að^flatarmáli.

Dæmi 9.15

Flatarmál fundið með því að breyta lengdareiningum fyrst

Tölvukubbur er 10 mm á 15 mm. Hvert er flatarmál kubbsins í fersentímetrum?

Lausn

Skref 1: Breyttu málum tölvukubbsins í sentímetra.

\begin{matrix} 10 mm & = & 1 cm \\ 15 mm & = & 1.5 cm \end{matrix}

Skref 2: Notaðu flatarmálsformúluna til að finna flatarmál kubbsins.

1 \times 1.5 = 1.5

Tölvukubburinn er $1.5$ ${cm}^{2}$ að flatarmáli.

Hagnýt flatarmálsverkefni leyst

Þótt flatarmálsverkefni kunni að virðast aðeins felast í margföldun tveggja talna þurfa þau oft flóknari útreikninga. Við mælingu yfirborðs gæti til dæmis þurft að draga frá þá hluta þess sem skipta útreikninginn ekki máli.

Dæmi 9.16

Flatarmál samsettra flata fundið

Ein hlið atvinnuhúsnæðis er 12 metra löng og 9 metra há. Á hliðinni er 4 metra breið og 3 metra há rúlluhurð. Þú vilt klæða hlið hússins, en ekki hurðina, með álklæðningu. Hve marga fermetra af álklæðningu þarf?

Lausn

Skref 1: Finndu flatarmál húshliðarinnar.

12 m \times 9 m = 106 m^{2}

Skref 2: Finndu flatarmál hurðarinnar.

4 m \times 3 m = 12 m^{2}

Skref 3: Dragðu flatarmál hurðarinnar frá flatarmáli húshliðarinnar.

106 m^{2} - 12 m^{2} = 92 m^{2}

Þú þarft því að kaupa $92 m^{2}$ af álklæðningu.

Við útreikning flatarmáls verða bæði lengdarmálin að vera gefin upp í sömu einingu. Stundum þarf að breyta öðru mæligildinu áður en flatarmálsformúlan er notuð.

Dæmi 9.17

Flatarmál fundið þegar lengdarmál eru í ólíkum einingum

Þjóðgarður er rétthyrndur að lögun. Hann er 2,2 kílómetrar á lengd og 1.250 metrar á breidd. Hvert er flatarmál garðsins í ferkílómetrum?

Lausn

Skref 1: Notaðu umreikningsbrot til að breyta uppgefnu metramáli í kílómetra.

1,250 m \times \frac{1 km}{1,000 m} = 1.25 km

Skref 2: Margfaldaðu til að finna flatarmálið.

2.2 km \times 1.25 km = 2.75 {km}^{2}

Þjóðgarðurinn er 2,75 km² að^flatarmáli.

Við flatarmálsútreikninga gæti þurft mörg skref, svo sem að breyta einingum og draga frá fleti sem skipta ekki máli.

Dæmi 9.18

Flatarmál fundið í mörgum skrefum

Eldhúsgólf er 15 m² að flatarmáli.^Gólf búrsins er 100 cm á 200 cm. Þú vilt flísaleggja eldhúsið og búrið með sömu flísum. Hve marga fermetra af flísum þarftu að kaupa?

Lausn

Skref 1: Finndu flatarmál búrgólfsins í fersentímetrum.

100 cm \times 200 cm = 20,000 {cm}^{2}

Skref 2: Deildu flatarmálinu í^cm² með umreikningsstuðlinum til að fá flatarmálið í^m², þar sem flatarmál eldhúsgólfsins er gefið upp í^m².

\frac{20,000}{10,000} = 2

Búrgólfið er 2 m² að^flatarmáli.

Skref 3: Leggðu saman flatarmál búr- og eldhúsgólfsins.

15 m^{2} + 2 m^{2} = 17 m^{2}

Þú þarft því að kaupa 17^m² af flísum.

Athugaðu skilning þinn

Veldu hæfilegasta flatarmálsgildið í hverri eftirfarandi æfingu.

svefnherbergisveggur: 12 km²,¹² m²,¹² cm²^eða 12 mm²

borgargarður: 1.200 km²,^1.200 m²,^1.200 cm²^eða 1.200 mm²

eldhúsborð: 2,5 km²,^2,5 m²,^2,5 cm²^eða 2,5 mm²

Breyttu uppgefnu flatarmáli í einingarnar sem sýndar eru í hverri eftirfarandi æfingu.

20.000 cm²⁼ __________^m²

5,7 m²⁼ __________^cm²

217 cm²⁼ __________^mm²

15.

Veggur er 4 m á 2 m. Dyr á veggnum eru 0,5 m á 1,6 m. Hvert er flatarmál veggjarins að frádregnum dyrunum í fermetrum?

Æfingar úr hluta 9.2

Veldu hæfilegasta flatarmálsgildið í hverri eftirfarandi æfingu.

eldhúsgólf: 16 km²,¹⁶ m²,¹⁶ cm²^eða 16 mm²

þjóðgarður: 1.000 km²,^1.000 m²,^1.000 cm²^eða 1.000 mm²

borð í kennslustofu:⁵ km², 5^m², 5^cm² eða 5^mm²

gluggi: 9.000^km², 9.000 m²,^9.000 cm²^eða 9.000 mm²

pappírsservíetta: 10.000 km²,^10.000 m²,^10.000 cm²^eða 10.000 mm²

bílastæði: 45.000 km²,^45.000 m²,^45.000 cm²^eða 45.000 mm²

Breyttu uppgefnu flatarmáli í einingarnar sem sýndar eru í hverri eftirfarandi æfingu.

700,000 cm2 =__________ m2

700,000\,{\text{c}}{{\text{m}}^2} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\,\,{{\text{m}}^2}

24 m2 = __________ cm2

24{\text{ }}{{\text{m}}^2} = {\text{ }}\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_{\text{ c}}{{\text{m}}^2}

985 cm2 = __________ mm2

985{\text{ c}}{{\text{m}}^2} = {\text{ }}\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\,{\text{ m}}{{\text{m}}^2}

10.

4 km2 = __________ m2

4{\text{ k}}{{\text{m}}^2} = {\text{ }}\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\,{\text{ }}{{\text{m}}^2}

11.

0.00005 km2 = _________ cm2

0.00005{\text{ k}}{{\text{m}}^2} = {\text{ }}\_\_\_\_\_\_\_\_\_\,{\text{ c}}{{\text{m}}^2}

12.

68,500,000 mm2 = _______ m2

68,500,000{\text{ m}}{{\text{m}}^2} = {\text{ }}\_\_\_\_\_\_\_\,{\text{ }}{{\text{m}}^2}

13.

0.005 m2 = __________ mm2

0.005{\text{ }}{{\text{m}}^2} = \,\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\,{\text{ m}}{{\text{m}}^2}

14.

7,800 cm2 = _________ m2

7,800{\text{ c}}{{\text{m}}^2} = \,\_\_\_\_\_\_\_\_\_\,{\text{ }}{{\text{m}}^2}

15.

34.5 m2 =_______ cm2

34.5{\text{ }}{{\text{m}}^2} = \_\_\_\_\_\_\_\,{\text{c}}{{\text{m}}^2}

16.

0.05 km2 =__________ m2

0.05{\text{ k}}{{\text{m}}^2} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\,\,{{\text{m}}^2}

17.

0.073 m2 =_________ mm2

0.073{\text{ }}{{\text{m}}^2} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\,\,{\text{m}}{{\text{m}}^2}

18.

27,750 mm2 =_______ m2

27,750{\text{ m}}{{\text{m}}^2} = \_\_\_\_\_\_\_\,\,{{\text{m}}^2}

Finndu flatarmálið í hverri eftirfarandi æfingu.

19.

𝑙 =300

l = 300

cm, 𝑤 =4

w = 4

m
𝐴 =________ m2

A = \_\_\_\_\_\_\_\_\,{{\text{m}}^2}

20.

𝑙 =3,500

l = 3,500

mm, 𝑤 =0.5

w = 0.5

m
𝐴 =________ cm2

A = \_\_\_\_\_\_\_\_\,{\text{c}}{{\text{m}}^2}

21.

𝑙 =5.5

l = 5.5

km, 𝑤 =2,750

w = 2,750

m
𝐴 =________ km2

A = \_\_\_\_\_\_\_\_\,{\text{k}}{{\text{m}}^2}

22.

𝑙 =2,400

l = 2,400

cm, 𝑤 =3.2

w = 3.2

m
𝐴 =________ m2

A = \_\_\_\_\_\_\_\_\,{{\text{m}}^2}

23.

𝑙 =7

l = 7

cm, 𝑤 =400

w = 400

mm
𝐴 =________ cm2

A = \_\_\_\_\_\_\_\_\,{\text{c}}{{\text{m}}^2}

24.

𝑙 =2,300

l = 2,300

m, 𝑤 =4

w = 4

km
𝐴 =________ km2

A = \_\_\_\_\_\_\_\_\,{\text{k}}{{\text{m}}^2}

25.

𝑙 =4.2

l = 4.2

cm, 𝑤 =320

w = 320

mm
𝐴 =________ cm2

A = \_\_\_\_\_\_\_\_\,{\text{c}}{{\text{m}}^2}

26.

𝑙 =5,350

l = 5,350

mm, 𝑤 =0.5

w = 0.5

m
𝐴 =________ cm2

A = \_\_\_\_\_\_\_\_\,{\text{c}}{{\text{m}}^2}

27.

𝑙 =1.8

l = 1.8

km, 𝑤 =2,300

w = 2,300

m
𝐴 =________ km2

A = \_\_\_\_\_\_\_\_\,{\text{k}}{{\text{m}}^2}

28.

Minnisbók er 200 mm á 300 mm. Límmiði á kápu hennar er 2 cm á 2 cm. Hve margir fersentímetrar af kápunni eru enn sýnilegir?

29.

Svefnherbergisveggur er 4 m á 2,5 m. Gluggi á veggnum er 1 m á 2 m. Hve mikið veggfóður þarf til að þekja vegginn?

30.

Veggur er 5 m á 2,5 m. Á honum hangir mynd sem er 600 mm á 300 mm. Hve margir fermetrar af^veggnum eru ekki huldir myndinni?

31.

Hvert er flatarmál myndarinnar sem sýnd er?

L-laga mynd. Hliðarnar eru 7 sentímetrar, 4 sentímetrar, 1 sentímetri, 3 sentímetrar, 6 sentímetrar og 1 sentímetri.

32.

Bútasaumari bjó til mynstur úr litlum, miðlungsstórum og stórum ferningi. Hvert er flatarmál skyggðu hluta mynstursins?

Þrír sammiðja ferningar. Hliðar stóra ferningsins eru 16 sentímetrar. Hliðar miðlungsferningsins eru 14 sentímetrar. Hliðar litla ferningsins eru 4 sentímetrar. Litli ferningurinn er skyggður og svæðið milli miðlungsferningsins og stóra ferningsins er skyggt.

33.

Garðyrkjumaður teiknar göngustíg í bakgarði eins og sýnt er. Hve marga fermetra af hellusteinum þarf til að leggja stíginn?

L-laga mynd. Hliðarnar eru 2 metrar, 4 metrar, 9 metrar, 1,5 metri, 7 metrar og 2,5 metrar.

34.

Málari lauk við andlitsmynd. Hæð hennar er 36 cm og breiddin helmingur hæðarinnar. Hvert er flatarmál myndarinnar í fermetrum?

35.

Herbergi er 137,5 m² að^flatarmáli og 11 m langt. Hver er breidd þess?

36.

Veggur er 4,5 m langur og 3 m hár. Ein málningardós nægir á 10^m². Hve margar dósir þarf ef mála á vegginn tvær umferðir?

37.

Knattspyrnuvöllur er 110 metra langur og 75 metra breiður. Ef gervigras kostar 30 dollara á fermetra, hvað kostar að þekja völlinn með gervigrasi?

38.

Gluggi er 150 sentímetra breiður og 90 sentímetra hár. Ef gardínuefni þarf sem samsvarar þreföldu flatarmáli gluggans, hve marga fermetra af efni þarf?

39.

Rétthyrndur blómagarður er 5,5 metra breiður og 8,4 metra langur. Umhverfis hann er lagður eins metra breiður stígur. Hvert er flatarmál stígsins?

40.

Borðstofa er 8 metra breið og 6 metra löng. Parket kostar 12,50 dollara á fermetra. Hvað kostar að leggja parket á borðstofuna?