99 Mælingar í metrakerfinu

9.1 Metrakerfið

Vog með oststykki á vogarskálinni. — **Mynd 9.2.** Vog sem mælir þyngd bæði í metrakerfinu og bandaríska einingakerfinu. (mynd: „Weighing the homemade cheddar“ eftir Ruth Hartnup/Flickr, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Eftir að hafa lokið þessum hluta átt þú að geta:

þekkt mælieiningar metrakerfisins og notkun þeirra.
raðað sex algengum forskeytum metrakerfisins.
umreiknað milli sambærilegra eininga.

Jafnvel þótt þú ferðist ekki út fyrir Bandaríkin nota margar sérvöruverslanir metrakerfið. Ef þú vilt til dæmis búa til ekta tamales-rétt gætirðu farið í næstu matvöruverslun sem sérhæfir sig í rómönskum vörum. Þar sérðu tvær tegundir af masa-maísmjöli á sama verði, en annar pokinn er merktur 1.200 g og hinn 1 kg. Hvor kaupin eru hagstæðari? Með þekkingu á metrakerfinu sérðu að 1.200 grömm jafngilda 1,2 kg og því er 1.200 g pokinn hagstæðari.

Mælieiningar metrakerfisins

Mælieiningar veita sameiginlega staðla svo niðurstöður séu samræmdar óháð því hvar eða hvenær hlutur eða efni er mælt. Vegalengd má mæla í fetum, metrum eða mílum. Þyngd má gefa upp í pundum eða grömmum. Rúmmál eða rúmtak má mæla í gallonum eða lítrum. Til að skilja metrakerfið er nauðsynlegt að skilja innbyrðis tengsl mælieininga þess:

Metrakerfiseining lengdar er metri (m). Hæð einstaklings mætti til dæmis skrá sem 1,8 metra (1,8 m). Metri er örlítið lengri en jardi (3 fet) en sentímetri er aðeins styttri en hálf tomma.
Metrakerfiseining flatarmáls er fermetri (m²). Flatarmál^{knattspyrnuvallar} í fullri stærð er 7.140 fermetrar (7.140^m²).
Grunneining rúmmáls í metrakerfinu er rúmmetri (m³). Lítrinn (L),^sem er metrakerfiseining rúmtaks, er þó notaður til að lýsa rúmmáli vökva. Gosdrykkir eru oft seldir í tveggja lítra (2 L) flöskum.
Grammið (g) er metrakerfiseining massa en er almennt notað til að gefa upp þyngd. Bréfaklemma vegur um það bil 1 gramm (1 g).
Metrakerfiseining hitastigs er gráða á Celsíus (°C). Hlýr sumardagur gæti verið 24 °C.

Bandaríska einingakerfið notar únsur og pund til að greina milli misstórra þyngdareininga. Í metrakerfinu er forskeyti hins vegar tengt grunneiningu, til dæmis kíló- í kílógrammi, til að sýna tengsl stærri og minni eininga.

Tækniráð

Mikilvægt er að geta umreiknað milli bandaríska einingakerfisins og metrakerfisins. Í þessum kafla verður þó lögð áhersla á umreikning innan metrakerfisins. Hvers vegna? Ef „200 centimeters in inches“ er slegið inn í leitarreit vafra birtist samsvarandi gildi samstundis (mynd 9.3). Í verkefnunum færðu tækifæri til að vinna með bæði einingakerfin.

Mynd 9.3. (mynd: skjámynd/Google)

Verum hreinskilin. Flest okkar nota tölvur eða snjallsíma til margra þeirra útreikninga og umreikninga sem við lærðum í stærðfræði. Þekking á metrakerfinu er þó verðmæt því það er allt í kringum okkur. Enn mikilvægara er að skilningur á tengslum mælieininganna gerir kleift að bera saman verð, velja rétt verkfæri á verkstæði og aðlagast í öðru landi. Við komumst ekki hjá metrakerfinu, hverjar sem aðstæðurnar eru.

Dæmi 9.1

Rétt grunneining valin

Hvaða grunneining er notuð til að gefa eftirfarandi upp?

vatnsmagn í sundlaug
lengd rafmagnsvírs
þyngd eins skammts af jarðhnetum

Lausn

Rúmmál vökva er yfirleitt gefið upp í lítrum (L).
Lengd er mæld í metrum (m).
Þyngd er almennt gefin upp í grömmum (g).

Metrakerfið hefur fleiri grunneiningar, en umfjöllun þessa kafla takmarkast við einingar fyrir lengd, flatarmál, rúmmál, þyngd og hitastig.

Forskeyti metrakerfisins

Í bandaríska einingakerfinu jafngilda 12 tommur einu feti og 3 fet einum jarda. Metrakerfið er hins vegar byggt þannig upp að einingarnar stækka eða minnka um veldi af 10. Sentímetri er til dæmis $10^{- 2}$ , eða 100 sinnum minni en metri, en kílómetri er 10³, eða 1.000 sinnum stærri en metri.

Metrakerfið sameinar grunneiningar og forskeyti sem hæfa stærð þess hlutar eða efnis sem mælt er. Algengustu forskeytin eru sýnd í töflu 9.1. Enska minnisreglan „King Henry Died From Drinking Chocolate Milk“ hjálpar til við að muna röð þeirra frá stærsta til minnsta.

Forskeyti	kíló-	hektó-	deka-	grunneining	desí-	sentí-	millí-
Skammstöfun	k k	h h	d a da		d d	$c c$	m m
Stærð	1 0 3 10 3	1 0 2 10 2	1 0 1 10 1	1 0 0 ⁢ o r ⁢ 1 10 0 ⁢ or ⁢ 1	1 0 − 1 10 − 1	1 0 − 2 10 − 2	1 0 − 3 10 − 3

Dæmi 9.2

Einingum raðað eftir stærð

Raðaðu mælieiningunum frá minnstu einingu til þeirrar stærstu.

sentímetri, millímetri, desímetri

Lausn

Af forskeytum metrakerfisins sést að röðin frá minnstu til stærstu einingar er millí-, sentí-, desí-. Einingarnar raðast því millímetri, sentímetri, desímetri.

Dæmi 9.3

Hæfilegt lengdargildi valið

Hvert er hæfilegt gildi fyrir lengd þumalfingurs: 5 metrar, 5 sentímetrar eða 5 millímetrar?

Lausn

Þar sem metri er örlítið lengri en jardi eru 5 metrar ekki hæfileg lengd þumalfingurs. Millímetri er tíu sinnum minni en sentímetri, sem er um það bil hálf tomma, $\frac{1}{2}$ og því eru 5 millímetrar heldur ekki hæfilegt mat á lengd þumalfingurs. Rétta svarið er 5 sentímetrar.

Umreikningur mælieininga metrakerfisins

Hugsum okkur að þú pantir kennslubók á netinu og í sendingarupplýsingum komi fram að bókin vegi 1 kg. Bókstafurinn „k“ er tengdur grunneiningunni grammi (g) og sýnir að einingin er $10^{3}$ , eða 1.000 sinnum stærri en gramm. Eitt kílógramm jafngildir 1.000 grömmum.

Oddur yfirstrikunarpenna er um það bil 1 cm á breidd. Bókstafurinn „c“ framan við grunneininguna metra (m) sýnir að einingin er $10^{- 2} eða \frac{1}{100}$ úr metra. Einn metri jafngildir 100 sentímetrum.

Umreikningsstuðull er notaður til að breyta minni metrakerfiseiningum í stærri og öfugt. Hann er tala sem með margföldun eða deilingu breytir einni metrakerfiseiningu í aðra með sömu grunneiningu. Í metrakerfinu tengjast umreikningsstuðlarnir beint veldum af 10. Algengustu stuðlarnir eru sýndir á mynd 9.4.

Þrjár myndir sýna umreikningsstuðla metrakerfiseininga. — **Mynd 9.4.** Algengir umreikningsstuðlar metrakerfisins fyrir (a) metra, (b) lítra og (c) grömm

Dæmi 9.4

Vegalengdareiningum breytt með margföldun

Slökkvistöðin er 13,45 km frá bókasafninu. Hve margir metrar eru milli slökkvistöðvarinnar og bókasafnsins?

Lausn

Þegar stærri einingu er breytt í minni einingu er margfaldað. Umreikningsstuðullinn úr kílómetrum í grunneininguna metra er 1.000.

13.45 \times 1,000 = 13,450

Slökkvistöðin er því 13.450 metra frá bókasafninu.

Dæmi 9.5

Rúmtakseiningum breytt með deilingu

Hve margir lítrar eru 3.565 millílítrar?

Lausn

Þegar minni einingu er breytt í stærri einingu er deilt. Umreikningsstuðullinn úr millílítrum í grunneininguna lítra er 1.000.

3,565 \div 1,000 = 3.565

Því eru 3.565 millílítrar 3,565 lítrar.

Dæmi 9.6

Metrakerfiseiningum massa breytt til að leysa dæmi

Caroline og Aiyana vinna saman að efnafræðitilraun og þurfa að reikna með mæligildum sem fengust í tilrauninni. Vegna misskilnings skráði Caroline mælingar í sentígrömmum en Aiyana í millígrömmum. Breyttu mælingu Caroline, 125 sentígrömmum, í millígrömm.

Lausn

Þegar stærri einingu er breytt í minni einingu er margfaldað. Umreikningsstuðullinn úr sentígrömmum í millígrömm er 10.

125 \times 10 = 1,250

Því eru 125 sentígrömm 1.250 millígrömm.

Dæmi 9.7

Metrakerfiseiningum rúmmáls breytt til að leysa dæmi

Flaska inniheldur 500 mL af safa. Ef safinn er seldur í kössum með 24 flöskum, hve marga lítra af safa inniheldur hver kassi?

Lausn

Skref 1: Margfaldaðu safamagnið í hverri flösku með fjölda flaskna.

500 mL \times 24 = 12,000 mL

Skref 2: Deildu með 1.000 til að breyta millílítrum í lítra.

\frac{12,000 mL}{1,000} = 12 L

Hver kassi inniheldur því 12 lítra af safa.

Fólk í stærðfræði

Valerie Antoine

Á áttunda áratug 20. aldar var fólki sagt að það yrði að læra metrakerfið því Bandaríkin myndu brátt taka upp metrakerfismælingar. Börn og ungmenni horfðu líklega á fræðsluteiknimyndir um metrakerfið á laugardagsmorgnum.

Árið 1975 undirritaði Gerald Ford forseti lög um innleiðingu metrakerfisins og skipaði sautján manna nefnd til að samræma frjálsa upptöku þess í Bandaríkjunum. Valerie Antoine, verkfræðingur sem helgaði starfsævi sína þessari breytingu, var í nefndinni. Ronald Reagan forseti lagði nefndina niður árið 1982 og stöðvaði þar með innleiðinguna um sinn, en Antoine hélt starfinu áfram frá heimili sínu sem framkvæmdastjóri U.S. Metric Association. Ákvörðun Reagans fylgdi öflugum þrýstingi bandarískra fyrirtækja. Verksmiðjur þeirra notuðu vélar sem voru hannaðar fyrir bandarískar einingar og starfsfólk var þjálfað í notkun þeirra. Einnig var mikill þrýstingur frá almenningi sem vildi ekki leggja í tímafrekt og kostnaðarsamt ferli við að breyta öllum innviðum landsins. Árið 1992 skyldaði Bandaríkjaþing allar alríkisstofnanir til að taka upp metrakerfið. Antoine gaf því aldrei upp vonina um að kerfið myndi breiðast frá stjórnvöldum til bandarískra skóla, heimila og daglegs lífs.

Dæmi 9.8

Grömmum breytt til að leysa dæmi

Næringarmerking á krukku af pastasósu segir að einn skammtur innihaldi 410 mg af natríni. Þú hefur hellt tveimur skömmtum yfir uppáhaldspastað þitt þegar þú manst ráð læknisins um að neyta minna en 1 g af natríni í hverri máltíð. Hefurðu fylgt ráðleggingunni?

Lausn

Skref 1: Margfaldaðu fjölda skammta með natrínmagninu í hverjum skammti.

410 mg \times 2 = 820 mg

Skref 2: Deildu með 1.000 til að breyta millígrömmum í grömm.

\frac{820 mg}{1,000} = 0.82 g

Þú hefur fylgt ráðleggingu læknisins því 0,82 g er minna en 1 gramm.

Dæmi 9.9

Ólíkar einingar bornar saman

Nemandi mældi vandlega 0,52 cg af kopar fyrir vísindatilraun, en samnemandi á tilraunastofunni sagði að alls þyrfti 6 mg af kopar. Hve mörgum sentígrömmum af kopar til viðbótar þarf nemandinn að bæta við?

Lausn

Skref 1: Breyttu mælingunum í sameiginlega einingu. Þar sem spurt er um fjölda sentígramma er 6 mg breytt í sentígrömm, sem eru 0,6 cg.

Skref 2: Finndu mismuninn með frádrættinum $0.6 - 0.52$ , sem gefur 0,08 cg. Nemandinn þarf því að bæta við 0,08 cg af kopar.

Vissir þú?

Bandaríkin og metrakerfið

Vissir þú að metrakerfið er þegar útbreitt í daglegu lífi í Bandaríkjunum? Bandaríkjamenn kaupa enn mjólk í gallonum og mæla stærð húsa í ferfetum, en metrakerfið birtist víða. Ljósmyndarar kaupa 35 mm filmu og nota 50 mm linsur. Við höfuðverk gætirðu tekið 600 mg af íbúprófeni. Ef þú fylgir kolvetnasnauðu mataræði takmarkarðu líklega daglega kolvetnaneyslu við minna en 20 g. Vissir þú að meira að segja dollarinn byggist á tugakerfi? Í myndbandinu fjalla Neil deGrasse Tyson og grínistinn Chuck Nice á skemmtilegan hátt um metrakerfið.

Alþjóðlega einingakerfið (SI) er núgildandi alþjóðlegur staðall metrakerfisins og útbreiddasta einingakerfi heims. Í flestum enskumælandi löndum eru SI-einingarnar *meter*, *liter* og *metric ton* stafsettar *metre*, *litre* og *tonne*.

Athugaðu skilning þinn

Hvaða grunneining metrakerfisins er notuð til að mæla hæð hurðar?

Hvaða grunneining metrakerfisins er notuð til að mæla þyngd þína?

Hvort er stærra: 12 hektólítrar eða 12 sentílítrar?

Breyttu 1.520 cm í metra (m).

Breyttu 1,34 km í dekametra (dam).

Breyttu 12.700 cg í hektógrömm (hg).

Breyttu 750 km í millímetra (mm).

Hvort mæligildið er stærra: 0,04 dam eða 40 cm?

Æfingar úr hluta 9.1

Í eftirfarandi æfingum skaltu velja þá grunneiningu metrakerfisins sem lýsingin á við. Veldu úr

lítri

gramm

eða

metri

gosdrykkjarmagn í flösku

þyngd bókar sem á að senda í pósti

bensínmagn sem þarf til að fylla tank bíls

hæð tölvuborðs

þyngd hunds hjá dýralækni

mál nýjasta háskerpusjónvarpsins

vegalengd sem íþróttanemi hljóp á hlaupabretti á síðustu æfingu

vatnsmagn sem bæta þarf í klór til að skúra gólf

Skrifaðu forskeyti metrakerfisins í röð frá stærsta til minnsta.

Veldu minni eininguna í hverri eftirfarandi æfingu.

10.

dekagrömm eða desígrömm

11.

sentímetrar eða millímetrar

12.

lítrar eða kílólítrar

13.

desígrömm eða sentígrömm

14.

dekametrar eða hektómetrar

15.

millílítrar eða desílítrar

16.

Breyttu 158 hektómetrum í metra (m).

17.

Breyttu 12,3 cg í grömm (g).

18.

Breyttu 160 dam í kílómetra (km).

19.

Þú kaupir 10 kg af sælgæti og skiptir því í 25 poka. Hve mörg grömm af sælgæti fara í hvern poka?

20.

Hlaupabraut utanhúss er 400 m löng. Ef þú hleypur tíu hringi, hve marga kílómetra hefurðu þá hlaupið?

21.

Aspiríntafla er 650 mg. Ef þú tekur tvær töflur tvisvar á einum degi, hve mörg grömm af aspiríni hefurðu tekið?

22.

Safakassi inniheldur 450 mL af safa. Ef sex safakassar eru í pakkningu, hve marga lítra af safa inniheldur pakkningin?

23.

Carlos drakk fjórar dósir af uppáhaldsorkudrykknum sínum. Ef hver dós inniheldur 111 mg af koffíni, hve mörg grömm af koffíni drakk hann?

24.

Celeste hljóp samtals 72.548 m á einni viku við æfingar fyrir fimm kílómetra skemmtihlaup. Hve marga kílómetra hljóp hún?

25.

Fyrstu viku mataræðisins neytti Dakota 413 g af kolvetnum. Eftir samtal við lækni neytti Dakota aðeins 210 g aðra vikuna. Hve mörgum millígrömmum minna af kolvetnum neytti Dakota síðari vikuna?

26.

Kaylea bætti á sig 2,3 kg af vöðvamassa á níu mánaða æfingatímabili. Cho bætti á sig 250 dekagrömmum af vöðvamassa á sama tíma. Hvort þeirra bætti við meiri vöðvamassa og hve mörgum grömmum munaði?