55 Runur og raðir

Lykilhugtök

alsamleitni: Ef röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ er samleitin, er röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sögð alsamleitin.

víxlmerkjaröð: Röð á forminu $\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} b_{n}$ eða $\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n} b_{n},$ þar sem $b_{n} \geq 0,$ kallast víxlmerkjaröð.

próf fyrir víxlmerkjaraðir: Fyrir víxlmerkjaröð á öðru hvoru forminu gildir að ef $b_{n + 1} \leq b_{n}$ fyrir allar heiltölur $n \geq 1$ og $b_{n} \to 0,$ þá er röðin samleitin.

jafnmunaruna: Runa þar sem mismunur sérhverra tveggja samliggjandi liða er sá sami kallast jafnmunaruna.

takmörkuð að ofan: Runa ${a_{n}}$ er takmörkuð að ofan ef til er fasti $M$ þannig að $a_{n} \leq M$ fyrir allar jákvæðar heiltölur $n$ .

takmörkuð að neðan: Runa ${a_{n}}$ er takmörkuð að neðan ef til er fasti $M$ þannig að $M \leq a_{n}$ fyrir allar jákvæðar heiltölur $n$ .

takmörkuð runa: Runa ${a_{n}}$ er takmörkuð ef til er fasti $M$ þannig að $| a_{n} | \leq M$ fyrir allar jákvæðar heiltölur $n$ .

samanburðarprófið: Ef $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ fyrir öll $n \geq N$ og $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ er samleitin, þá er $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ samleitin; ef $a_{n} \geq b_{n} \geq 0$ fyrir öll $n \geq N$ og $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ er ósamleitin, þá er $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ ósamleitin.

skilyrt samleitni: Ef röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ er samleitin en röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ er ósamleitin, er röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sögð skilyrt samleitin.

samleitin runa: Samleitin runa er runa ${a_{n}}$ þar sem til er rauntala $L$ þannig að $a_{n}$ er eins nálægt $L$ og óskað er þegar $n$ er nógu stórt.

sundurleitniprófið: Ef $lim_{n \to \infty} a_{n} \neq 0,$ þá er röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ ósamleitin.

kvótaruna: Runa ${a_{n}}$ þar sem hlutfallið $a_{n + 1} / a_{n}$ er sama fyrir allar jákvæðar heiltölur $n$ kallast kvótaruna.

geómetrísk röð: Geómetrísk röð er röð sem má rita á forminu
$\sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1} = a + a r + a r^{2} + a r^{3} + ⋯$
.

harmoníska röðin: Harmoníska röðin er á forminu
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯$
.

vísibreyta: Neðri vísirinn sem notaður er til að skilgreina liði runu kallast vísibreyta.

óendanleg röð: Óendanleg röð er segð á forminu
$a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$
.

heildisprófið: Fyrir röð $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ með jákvæða liði $a_{n},$ ef til er samfellt, fallandi fall $f$ þannig að $f (n) = a_{n}$ fyrir allar jákvæðar heiltölur $n,$ eru
$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} og \int_{1}^{\infty} f (x) d x$

annaðhvort bæði samleit eða bæði ósamleit.

samanburður með markgildi: Gerum ráð fyrir að $a_{n}, b_{n} \geq 0$ fyrir öll $n \geq 1 .$ ef $lim_{n \to \infty} a_{n} / b_{n} \to L \neq 0,$ þá eru $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ og $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ annaðhvort báðar samleitnar eða báðar ósamleitnar. Ef $lim_{n \to \infty} a_{n} / b_{n} \to 0$ og $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ er samleitin, þá er $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ samleitin. Ef $lim_{n \to \infty} a_{n} / b_{n} \to \infty,$ og $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ er ósamleitin, þá er $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ ósamleitin.

markgildi runu: Rauntalan $L$ sem runa stefnir á kallast markgildi rununnar.

hlutsumma: $k -ta$ hlutsumma óendanlegu raðarinnar $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ er endanlega summan
$S_{k} = \sum_{n = 1}^{k} a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{k}$
.

kvótaprófið: Fyrir röð $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sem hefur enga núllliði skal láta $ρ = lim_{n \to \infty} | a_{n + 1} / a_{n} |;$ ef $0 \leq ρ < 1,$ er röðin alsamleitin; ef $ρ > 1,$ er röðin ósamleitin; ef $ρ = 1,$ gefur prófið enga niðurstöðu.

rakningarvensl: Í rakningarvenslum er liður $a_{n}$ í runu skilgreindur út frá fyrri liðum rununnar.

skekkjumat: Fyrir röð $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ með jákvæða liði $a_{n}$ og samfellt, fallandi fall $f$ þannig að $f (n) = a_{n}$ fyrir allar jákvæðar heiltölur $n,$ gildir eftirfarandi mat um skekkjuna $R_{N} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} - \sum_{n = 1}^{N} a_{n}$ :
$\int_{N + 1}^{\infty} f (x) d x < R_{N} < \int_{N}^{\infty} f (x) d x$
.

rótarprófið: Fyrir röð $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n},$ skal láta $ρ = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| a_{n} |};$ ef $0 \leq ρ < 1,$ er röðin alsamleitin; ef $ρ > 1,$ er röðin ósamleitin; ef $ρ = 1,$ gefur prófið enga niðurstöðu.

kíkisröð: Kíkisröð er röð þar sem flestir liðir styttast út í hverri hlutsummu.