55 Runur og raðir

5.5 Víxlmerkjaraðir

Námsmarkmið

5.5.1 Nota prófið fyrir víxlmerkjaraðir til að kanna samleitni víxlmerkjaraðar.
5.5.2 Meta summu víxlmerkjaraðar.
5.5.3 Útskýra merkingu alsamleitni og skilyrtrar samleitni.

Hingað til höfum við í þessum kafla aðallega fjallað um raðir með jákvæðum liðum. Í þessum hluta kynnum við víxlmerkjaraðir, það er raðir þar sem formerki liðanna skiptast á. Í síðari kafla sýnum við að slíkar raðir koma oft fyrir þegar veldaraðir eru rannsakaðar. Eftir að víxlmerkjaraðir hafa verið skilgreindar kynnum við prófið fyrir víxlmerkjaraðir til að ákvarða hvort slík röð sé samleitin.

Prófið fyrir víxlmerkjaraðir

Röð þar sem liðirnir skiptast á að vera jákvæðir og neikvæðir nefnist víxlmerkjaröð. Til dæmis er röðin

\sum_{n = 1}^{\infty} {(- \frac{1}{2})}^{n} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} - ⋯

(5.11)

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ⋯

(5.12)

báðar víxlmerkjaraðir.

Röð (1), sem sýnd er í jöfnu 5.11, er geómetrísk röð. Þar sem $| r | = | − 1 / 2 | < 1,$ er röðin samleitin. Röð (2), sem sýnd er í jöfnu 5.12, nefnist víxlmerkta harmoníska röðin. Við munum sýna að harmoníska röðin er ósamleitin en víxlmerkta harmoníska röðin samleitin.

Til að sanna þetta skoðum við runu hlutsummanna ${S_{k}}$ (mynd 5.17).

Sönnun

Skoðum oddatöluliðina $S_{2 k + 1}$ fyrir $k \geq 0 .$ Þar sem $1 / (2 k + 1) < 1 / 2 k,$

S_{2 k + 1} = S_{2 k - 1} - \frac{1}{2 k} + \frac{1}{2 k + 1} < S_{2 k - 1} .

Því er ${S_{2 k + 1}}$ fallandi runa. Einnig gildir

S_{2 k + 1} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + ⋯ + (\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k}) + \frac{1}{2 k + 1} > 0 .

Því er ${S_{2 k + 1}}$ takmörkuð að neðan. Þar sem ${S_{2 k + 1}}$ er fallandi runa sem er takmörkuð að neðan er ${S_{2 k + 1}}$ samleitin samkvæmt setningunni um einhalla runur. Á sama hátt mynda slétttöluliðirnir ${S_{2 k}}$ vaxandi runu sem er takmörkuð að ofan, því

S_{2 k} = S_{2 k - 2} + \frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k} > S_{2 k - 2}

S_{2 k} = 1 + (- \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + ⋯ + (- \frac{1}{2 k - 2} + \frac{1}{2 k - 1}) - \frac{1}{2 k} < 1 .

Samkvæmt setningunni um einhalla runur er runan ${S_{2 k}}$ því einnig samleitin. Þar sem

S_{2 k + 1} = S_{2 k} + \frac{1}{2 k + 1},

vitum við að

lim_{k \to \infty} S_{2 k + 1} = lim_{k \to \infty} S_{2 k} + lim_{k \to \infty} \frac{1}{2 k + 1} .

Látum $S = lim_{k \to \infty} S_{2 k + 1}$ og notum þá staðreynd að $1 / (2 k + 1) \to 0,$ þá fæst $lim_{k \to \infty} S_{2 k} = S .$ Þar sem oddatöluliðirnir og slétttöluliðirnir í runu hlutsummanna stefna á sama markgildi $S,$ má sýna að runa hlutsummanna stefnir á $S,$ og því stefnir víxlmerkta harmoníska röðin á $S .$

Einnig má sýna að $S = ln 2,$ og því má rita

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ⋯ = ln (2) .

Graf af víxlmerktu harmonísku röðinni í fyrsta fjórðungi. Efsta línan 1 liggur að S1, næsta línan −1/2 að S2, síðan liggur lína +1/3 að S3, línan −1/4 að S4 og loks lína +1/5 að S5. Oddatöluliðirnir eru fallandi og takmarkaðir að neðan en slétttöluliðirnir vaxandi og takmarkaðir að ofan. Röðin virðist stefna á S, sem liggur milli S2 og S4 annars vegar og S5, S3 og S1 hins vegar. — **Mynd 5.17.** Fyrir víxlmerktu harmonísku röðina eru oddatöluliðirnir $S_{2 k + 1}$ í runu hlutsummanna fallandi og takmarkaðir að neðan. Slétttöluliðirnir $S_{2 k}$ eru vaxandi og takmarkaðir að ofan.

□

Almennt er sérhver víxlmerkjaröð á formi (3) (jöfnu 5.13) eða (4) (jöfnu 5.14) samleitin svo framarlega sem $b_{1} \geq b_{2} \geq b_{3} \geq ⋯$ og $b_{n} \to 0$ (mynd 5.18). Sönnunin er hliðstæð sönnuninni fyrir víxlmerktu harmonísku röðina.

Mynd af víxlmerkjaröð í fyrsta fjórðungi. Efsta línan b1 liggur út að S1, næsta línan −b2 aftur að S2, síðan liggur b3 út að S3, −b4 aftur að S4 og síðasta línan út að S5. Röðin virðist stefna á S, sem liggur milli S2 og S4 annars vegar og S5, S3 og S1 hins vegar. Oddatöluliðirnir eru fallandi og takmarkaðir að neðan en slétttöluliðirnir vaxandi og takmarkaðir að ofan. — **Mynd 5.18.** Fyrir víxlmerkjaröðina $b_{1} - b_{2} + b_{3} - ⋯$ , þar sem $b_{1} > b_{2} > b_{3} > ⋯,$ eru oddatöluliðirnir $S_{2 k + 1}$ í runu hlutsummanna fallandi og takmarkaðir að neðan. Slétttöluliðirnir $S_{2 k}$ eru vaxandi og takmarkaðir að ofan.

Athugið að setningin gildir almennt svo framarlega sem til sé heiltala $N$ þannig að $0 < b_{n + 1} \leq b_{n}$ fyrir öll $n \geq N .$

Dæmi 5.19

Samleitni víxlmerkjaraða

Ákvarðið hvort hver eftirfarandi víxlmerkjaröð sé samleitin eða ósamleitin.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} / n^{2}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} n / (n + 1)$

Lausn

Þar sem
$\frac{1}{{(n + 1)}^{2}} < \frac{1}{n^{2}} og \frac{1}{n^{2}} \to 0,$
er röðin samleitin.
Þar sem $n / (n + 1) ↛ 0$ þegar $n \to \infty,$ er ekki hægt að beita prófinu fyrir víxlmerkjaraðir. Þess í stað beitum við sundurleitniprófinu á n-ta liðinn. Þar sem
$lim_{n \to \infty} \frac{{(−1)}^{n + 1} n}{n + 1} \neq 0,$
er röðin ósamleitin.

Skekkja í víxlmerkjaröðum

Erfitt er að reikna summu flestra víxlmerkjaraða nákvæmlega og því er hún yfirleitt nálguð með hlutsummu. Þá viljum við vita hversu mikil skekkjan í nálguninni er. Lítum á víxlmerkjaröðina

\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} b_{n}

sem uppfyllir skilyrði prófsins fyrir víxlmerkjaraðir. Látum $S$ tákna summu raðarinnar og ${S_{k}}$ vera samsvarandi runu hlutsummanna. Af mynd 5.18 sjáum við að fyrir sérhverja heiltölu $N \geq 1,$ uppfyllir skekkjan $R_{N}$

| R_{N} | = | S - S_{N} | \leq | S_{N + 1} - S_{N} | = b_{n + 1} .

Með öðrum orðum: Ef skilyrði prófsins fyrir víxlmerkjaraðir eru uppfyllt er tölugildi skekkjunnar, þegar óendanlega röðin er nálguð með $N -ta$ hlutsummunni $S_{N}$ , í mesta lagi stærð næsta liðar $b_{N + 1} .$

Dæmi 5.20

Skekkja víxlmerkjaraðar metin

Lítum á víxlmerkjaröðina

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n + 1}}{n^{2}} .

Notið skekkjumatið til að ákvarða efra mark fyrir skekkjuna $R_{10}$ þegar summa raðarinnar er nálguð með hlutsummunni $S_{10} .$

Lausn

Af setningunni hér að framan fæst

$| R_{10} | \leq b_{11} = \frac{1}{11^{2}} \approx 0.008265 .$

Alsamleitni og skilyrt samleitni

Lítum á röðina $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ og tengdu röðina $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} | .$ Hér fjöllum við um möguleg tengsl milli samleitni þessara tveggja raða. Lítum til dæmis á víxlmerktu harmonísku röðina $\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} / n .$ Röðin sem myndast af tölugildum þessara liða er harmoníska röðin, því $\sum_{n = 1}^{\infty} | {(−1)}^{n + 1} / n | = \sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n .$ Þar sem víxlmerkta harmoníska röðin er samleitin en harmoníska röðin ósamleitin segjum við að víxlmerkta harmoníska röðin sé skilyrt samleitin.

Til samanburðar skulum við líta á röðina $\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} / n^{2} .$ Röðin sem myndast af tölugildum liða þessarar raðar er $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{2} .$ Þar sem báðar raðirnar eru samleitnar segjum við að röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} / n^{2}$ sé alsamleitin.

Eins og víxlmerkta harmoníska röðin sýnir getur röð $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ verið samleitin þótt $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ sé ósamleitin. Í næstu setningu sýnum við hins vegar að ef $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ er samleitin þá er $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ samleitin.

Sönnun

Gerum ráð fyrir að $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ sé samleitin. Við sýnum niðurstöðuna með því að nota að $a_{n} = | a_{n} |$ eða $a_{n} = − | a_{n} |$ og því $| a_{n} | + a_{n} = 2 | a_{n} |$ eða $| a_{n} | + a_{n} = 0 .$ Því gildir $0 \leq | a_{n} | + a_{n} \leq 2 | a_{n} | .$ Þar sem $2 \sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ er samleitin leiðir af samanburðarprófinu að röðin

\sum_{n = 1}^{\infty} (| a_{n} | + a_{n})

er samleitin. Með reiknireglum samleitinna raða ályktum við að

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} (| a_{n} | + a_{n}) − \sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |

sé samleitin.

□

Dæmi 5.21

Alsamleitni og skilyrt samleitni borin saman

Ákvarðið fyrir hverja eftirfarandi röð hvort hún sé alsamleitin, skilyrt samleitin eða ósamleitin.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} / (3 n + 1)$
$\sum_{n = 1}^{\infty} cos (n) / n^{2}$

Lausn

Með samanburði með markgildi við harmonísku röðina sjáum við að
$\sum_{n = 1}^{\infty} | \frac{{(−1)}^{n + 1}}{3 n + 1} | = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{3 n + 1}$

er ósamleitin.
$lim_{n \to \infty} \frac{1 / (3 n + 1)}{1 / n} = \frac{1}{3}$

Samkvæmt setningu 5.13 getur röðin því ekki verið alsamleitin. Af prófinu fyrir víxlmerkjaraðir sjáum við hins vegar að röðin er samleitin.
$\frac{1}{3 (n + 1) + 1} < \frac{1}{3 n + 1} og \frac{1}{3 n + 1} \to 0,$

við ályktum að $\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} / (3 n + 1)$ sé skilyrt samleitin.
Þar sem $| cos n | \leq 1,$ berum við, til að ákvarða hvort röðin sé alsamleitin,
$\sum_{n = 1}^{\infty} | \frac{cos n}{n^{2}} |$

saman við röðina $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{2} .$ Þar sem $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{2}$ er samleitin leiðir af samanburðarprófinu að $\sum_{n = 1}^{\infty} | cos n / n^{2} |$ er samleitin og því er $\sum_{n = 1}^{\infty} cos n / n^{2}$ alsamleitin.

Til að sjá muninn á alsamleitni og skilyrtri samleitni skulum við skoða hvað gerist þegar við umröðum liðum víxlmerktu harmonísku raðarinnar $\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} / n .$ Við sýnum að hægt er að umraða liðunum þannig að nýja röðin verði ósamleitin. Ef liðum endanlegrar summu er umraðað breytist summan vitanlega ekki. Þegar um óendanlega summu er að ræða getur hins vegar ýmislegt gerst.

Byrjum á að leggja saman nógu marga jákvæða liði til að summan verði stærri en einhver rauntala $M > 0 .$ Látum til dæmis $M = 10,$ og finnum heiltölu $k$ þannig að

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + ⋯ + \frac{1}{2 k - 1} > 10 .

(Þetta er hægt vegna þess að röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / (2 n - 1)$ stefnir á óendanlegt.) Drögum síðan frá $1 / 2 .$ Leggjum svo fleiri jákvæða liði við þar til summan verður að minnsta kosti 100. Það er, finnum aðra heiltölu $j > k$ þannig að

1 + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 k + 1} + ⋯ + \frac{1}{2 j + 1} > 100 .

Drögum síðan frá $1 / 4 .$ Með því að halda áfram á þennan hátt höfum við umraðað liðum víxlmerktu harmonísku raðarinnar þannig að runa hlutsummanna í umraðaðri röðinni sé ótakmörkuð og þar með ósamleitin.

Einnig má umraða liðum víxlmerktu harmonísku raðarinnar þannig að nýja röðin stefni á annað gildi. Í dæmi 5.22 sýnum við hvernig liðum er umraðað svo að nýja röðin stefni á $3 ln (2) / 2 .$ Víxlmerktu harmonísku röðinni má raunar umraða þannig að röðin stefni á sérhverja rauntölu $r;$ en sönnun þess er utan ramma þessarar bókar.

Almennt má umraða sérhverri röð $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sem er skilyrt samleitin þannig að nýja röðin verði ósamleitin eða stefni á aðra rauntölu. Alsamleitin röð hefur ekki þennan eiginleika. Fyrir sérhverja alsamleitna röð $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ hefur $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sama gildi óháð umröðun liðanna. Þessi niðurstaða nefnist umröðunarsetning Riemanns, en hún er utan efnis þessarar bókar.

Dæmi 5.22

Umröðun raða

Notið þá staðreynd að

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - ⋯ = ln 2

til að umraða liðum víxlmerktu harmonísku raðarinnar þannig að summa umraðaðrar raðar verði $3 ln (2) / 2 .$

Lausn

Látum

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + ⋯ .

Þar sem $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = ln (2),$ fæst af reiknireglum samleitinna raða að

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2} a_{n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + ⋯ = \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \frac{ln 2}{2} .

Skilgreinum nú röðina $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ þannig að fyrir öll $n \geq 1,$ $b_{2 n - 1} = 0$ og $b_{2 n} = a_{n} / 2 .$ Þá fæst

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} = 0 + \frac{1}{2} + 0 - \frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{6} + 0 - \frac{1}{8} + ⋯ = \frac{ln 2}{2} .

Með reiknireglum um samleitnar raðir fæst þá, þar sem $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ og $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ eru samleitnar, að röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + b_{n})$ er samleitin og

\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + b_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} + \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} = ln 2 + \frac{ln 2}{2} = \frac{3 ln 2}{2} .

Leggjum nú saman samsvarandi liði, $a_{n}$ og $b_{n},$ þá sjáum við að

\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + b_{n}) & = (1 + 0) + (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + (\frac{1}{3} + 0) + (- \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + 0) + (- \frac{1}{6} + \frac{1}{6}) \\ + (\frac{1}{7} + 0) + (- \frac{1}{8} - \frac{1}{8}) + ⋯ \\ = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + ⋯ . \end{matrix}

Röðin hægra megin við jafnaðarmerkið er umröðun víxlmerktu harmonísku raðarinnar. Þar sem $\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + b_{n}) = 3 ln (2) / 2,$ ályktum við að

1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + ⋯ = \frac{3 ln (2)}{2} .

Við höfum því fundið umröðun víxlmerktu harmonísku raðarinnar sem hefur tilskilda eiginleikann.

Æfingar í undirkafla 5.5

Tilgreinið hvort hver eftirfarandi röð sé alsamleitin, skilyrt samleitin eða alls ekki samleitin.

250.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} \frac{n}{n + 3}$

251.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} \frac{\sqrt{n} + 1}{\sqrt{n} + 3}$

252.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n + 3}}$

253.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} \frac{\sqrt{n + 3}}{n}$

254.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} \frac{1}{n!}$

255.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} \frac{3^{n}}{n!}$

256.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} {(\frac{n - 1}{n})}^{n}$

257.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} {(\frac{n + 1}{n})}^{n}$

258.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} {sin}^{2} n$

259.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} {cos}^{2} n$

260.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} {sin}^{2} (1 / n)$

261.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} {cos}^{2} (1 / n)$

262.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} ln (1 / n)$

263.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} ln (1 + \frac{1}{n})$

264.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} \frac{n^{2}}{1 + n^{4}}$

265.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} \frac{n^{e}}{1 + n^{π}}$

266.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} 2^{1 / n}$

267.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} n^{1 / n}$

268.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n} (1 - n^{1 / n})$ (Vísbending: $n^{1 / n} \approx 1 + ln (n) / n$ fyrir stór gildi $n .)$

269.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} n (1 - cos (\frac{1}{n}))$ (Vísbending: $cos (1 / n) \approx 1 - 1 / n^{2}$ fyrir stór gildi $n .)$

270.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})$ (Vísbending: Gerið teljarann ræðan.)

271.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} (\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}})$ (Vísbending: Finnið samnefnara og gerið síðan teljarann ræðan.)

272.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} (ln (n + 1) - ln n)$

273.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} n ({tan}^{−1} (n + 1) - {tan}^{−1} n)$ (Vísbending: Notið meðalgildissetninguna.)

274.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} ({(n + 1)}^{2} - n^{2})$

275.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$

276.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{cos (n π)}{n}$

277.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{cos (n π)}{n^{1 / n}}$

278.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} sin (\frac{n π}{2})$

279.

$\sum_{n = 1}^{\infty} sin (n π / 2) sin (1 / n)$

Í hverju eftirfarandi verkefni skal nota matið $| R_{N} | \leq b_{N + 1}$ til að finna gildi $N$ sem tryggir að summa fyrstu $N$ liða víxlmerkjaraðarinnar $\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} b_{n}$ víki frá summu óendanlegu raðarinnar um í mesta lagi tilgreinda skekkju. Reiknið hlutsummuna $S_{N}$ fyrir þetta gildi $N .$

280.

[T] $b_{n} = 1 / n,$ skekkja $< 10^{−5}$

281.

[T] $b_{n} = 1 / ln (n),$ $n \geq 2,$ skekkja $< 10^{−1}$

282.

[T] $b_{n} = 1 / \sqrt{n},$ skekkja $< 10^{−3}$

283.

[T] $b_{n} = 1 / 2^{n},$ skekkja $< 10^{−6}$

284.

[T] $b_{n} = ln (1 + \frac{1}{n}),$ skekkja $< 10^{−3}$

285.

[T] $b_{n} = 1 / n^{2},$ skekkja $< 10^{−6}$

Í eftirfarandi verkefnum skal tilgreina hvort fullyrðingin sé sönn eða ósönn. Ef hún er ósönn skal gefa dæmi þar sem hún gildir ekki.

286.

Ef $b_{n} \geq 0$ er fallandi og $lim_{n \to \infty} b_{n} = 0,$ þá er $\sum_{n = 1}^{\infty} (b_{2 n - 1} - b_{2 n})$ alsamleitin.

287.

Ef $b_{n} \geq 0$ er fallandi þá er $\sum_{n = 1}^{\infty} (b_{2 n - 1} - b_{2 n})$ alsamleitin.

288.

Ef $b_{n} \geq 0$ og $lim_{n \to \infty} b_{n} = 0$ þá er $\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{2} (b_{3 n - 2} + b_{3 n - 1}) − b_{3 n})$ samleitin.

289.

Ef $b_{n} \geq 0$ er fallandi og $\sum_{n = 1}^{\infty} (b_{3 n - 2} + b_{3 n - 1} - b_{3 n})$ er samleitin þá er $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{3 n - 2}$ samleitin.

290.

Ef $b_{n} \geq 0$ er fallandi og $\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n - 1} b_{n}$ er skilyrt samleitin en ekki alsamleitin þá stefnir $b_{n}$ ekki á núll.

291.

Látum $a_{n}^{+} = a_{n}$ ef $a_{n} \geq 0$ og $a_{n}^{-} = − a_{n}$ ef $a_{n} < 0 .$ (Einnig gildir $a_{n}^{+} = 0 ef a_{n} < 0$ og $a_{n}^{-} = 0 ef a_{n} \geq 0 .)$ Ef $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ er skilyrt samleitin en ekki alsamleitin þá eru hvorki $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{+}$ né $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{-}$ samleitnar.

292.

Gerum ráð fyrir að $a_{n}$ sé runa jákvæðra rauntalna og að $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sé samleitin.

Gerum ráð fyrir að $b_{n}$ sé valfrjáls runa ása og mínusása. Þarf $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ þá endilega að vera samleitin?

293.

Gerum ráð fyrir að $a_{n}$ sé runa þannig að $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ sé samleitin fyrir sérhverja mögulega runu $b_{n}$ núlla og ása. Er $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ þá alsamleitin?

Eftirfarandi raðir uppfylla ekki forsendur prófsins fyrir víxlmerkjaraðir eins og þær eru settar fram.

Tilgreinið í hverju tilviki hvaða forsenda er ekki uppfyllt. Tilgreinið hvort röðin sé alsamleitin.

294.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} \frac{{sin}^{2} n}{n}$

295.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} \frac{{cos}^{2} n}{n}$

296.

$1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} - \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + ⋯$

297.

$1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} - \frac{1}{9} + ⋯$

298.

Sýnið að víxlmerkjaröðin $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ⋯$ sé

ekki samleitin. Hvaða forsenda prófsins fyrir víxlmerkjaraðir er ekki uppfyllt?

299.

Gerum ráð fyrir að $\sum a_{n}$ sé alsamleitin. Sýnið að röðin sem mynduð er af jákvæðu liðunum $a_{n}$ sé einnig samleitin.

300.

Sýnið að víxlmerkjaröðin $\frac{2}{3} - \frac{3}{5} + \frac{4}{7} - \frac{5}{9} + ⋯$ sé ekki samleitin. Hvaða forsenda prófsins fyrir víxlmerkjaraðir er ekki uppfyllt?

301.

Formúlan $cos θ = 1 - \frac{θ^{2}}{2!} + \frac{θ^{4}}{4!} - \frac{θ^{6}}{6!} + ⋯$ verður leidd út í næsta kafla. Notið skekkjumatið $| R_{N} | \leq b_{N + 1}$ til að finna efra mark fyrir skekkjuna þegar $cos θ$ er nálgað með fimmtu hlutsummunni $1 - θ^{2} / 2! + θ^{4} / 4! − θ^{6} / 6! + θ^{8} / 8!$ fyrir $θ = 1,$ $θ = π / 6,$ og $θ = π .$

302.

Formúlan $sin θ = θ - \frac{θ^{3}}{3!} + \frac{θ^{5}}{5!} - \frac{θ^{7}}{7!} + ⋯$ verður leidd út í næsta kafla. Notið skekkjumatið $| R_{N} | \leq b_{N + 1}$ til að finna efra mark fyrir skekkjuna þegar $sin θ$ er nálgað með fimmtu hlutsummunni $θ - θ^{3} / 3! + θ^{5} / 5! − θ^{7} / 7! + θ^{9} / 9!$ fyrir $θ = 1,$ $θ = π / 6,$ og $θ = π .$

303.

Hversu marga liði í $cos θ = 1 - \frac{θ^{2}}{2!} + \frac{θ^{4}}{4!} - \frac{θ^{6}}{6!} + ⋯$ þarf til að nálga $cos 1$ með skekkju sem er í mesta lagi $0.00001 ?$

304.

Hversu marga liði í $sin θ = θ - \frac{θ^{3}}{3!} + \frac{θ^{5}}{5!} - \frac{θ^{7}}{7!} + ⋯$ þarf til að nálga $sin 1$ með skekkju sem er í mesta lagi $0.00001 ?$

305.

Stundum stefnir víxlmerkjaröðin $\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n - 1} b_{n}$ hraðar á tiltekið brot af alsamleitnu röðinni $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ . Út frá því að $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6},$ finnið $12 = 1 - \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}} + ⋯ .$ Hvor raðanna $6 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ og $S \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n - 1}}{n^{2}}$ gefur betra mat á $π^{2}$ þegar $1000$ liðir eru notaðir?

Eftirfarandi víxlmerkjaraðir stefna á gefin margfeldi af $π .$ Finnið gildið $N$ sem skekkjumatið gefur þannig að $N -ta$ hlutsumma raðarinnar nálgi vinstri hliðina með skekkju innan tilgreindra marka. Finnið minnsta $N$ sem uppfyllir skekkjumörkin og gefið umbeðið nálgunargildi í hverju tilviki. Nálgað að $15$ aukastöfum er $π = 3.141592653589793 … .$

306.

[T] $\frac{π}{4} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n}}{2 n + 1},$ skekkja $< 0.0001$

307.

[T] $\frac{π}{\sqrt{12}} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(−3)}^{− k}}{2 k + 1},$ skekkja $< 0.0001$

308.

[T] Röðin $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{sin (x + π n)}{x + π n}$ gegnir mikilvægu hlutverki í merkjavinnslu. Sýnið að $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{sin (x + π n)}{x + π n}$ sé samleitin þegar $0 < x < π .$ (Vísbending: Notið samlagningarformúlu sínuss.)

309.

[T] Ef $\sum_{n = 1}^{N} {(−1)}^{n - 1} \frac{1}{n} \to ln 2,$ hvert er þá $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \frac{1}{11} - \frac{1}{8} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} + ⋯ ?$

310.

[T] Teiknið röðina $\sum_{n = 1}^{100} \frac{cos (2 π n x)}{n}$ fyrir $0 \leq x < 1 .$ Útskýrið hvers vegna $\sum_{n = 1}^{100} \frac{cos (2 π n x)}{n}$ er ósamleitin þegar $x = 0, 1 .$ Hvernig hegðar röðin sér fyrir önnur gildi $x ?$

311.

[T] Teiknið röðina $\sum_{n = 1}^{100} \frac{sin (2 π n x)}{n}$ fyrir $0 \leq x < 1$ og lýsið hegðun hennar.

312.

[T] Teiknið röðina $\sum_{n = 1}^{100} \frac{cos (2 π n x)}{n^{2}}$ fyrir $0 \leq x < 1$ og lýsið grafi hennar.

313.

[T] Víxlmerkta harmoníska röðin er samleitin vegna styttingar milli liða hennar. Summa hennar er þekkt því lýsa má styttingunni nákvæmlega. Slembin harmonísk röð er á forminu $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{S_{n}}{n},$ þar sem $s_{n}$ er slembin runa með liðum sem taka gildin $\pm 1$ og gildin $\pm 1$ koma fyrir með jöfnum líkum. Notið slembitalnagjafa til að búa til $1000$ $\pm 1 -gildi$ og teiknið hlutsummurnar $S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} \frac{s_{n}}{n}$ í slembnu harmonísku röðinni frá $N = 1$ upp í $1000 .$ Berið saman við graf fyrstu $1000$ hlutsumma harmonísku raðarinnar.

314.

[T] Flýta má samleitni mats á $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ með því að rita hlutsummurnar sem $\sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n^{2}} = \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n (n + 1)} + \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n^{2} (n + 1)}$ og hafa í huga að $\sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n (n + 1)} = 1 - \frac{1}{N + 1}$ stefnir á einn þegar $N \to \infty .$ Berið saman matið á $π^{2} / 6$ sem fæst með summunum $\sum_{n = 1}^{1000} \frac{1}{n^{2}}$ og matið sem fæst með $1 + \sum_{n = 1}^{1000} \frac{1}{n^{2} (n + 1)} .$

315.

[T] Euler-vörpunin umritar $S = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} b_{n}$ sem $S = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} 2^{− n - 1} \sum_{m = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ m \end{matrix}) b_{n - m} .$ Fyrir víxlmerktu harmonísku röðina tekur hún formið $ln (2) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n - 1}}{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}} .$ Reiknið hlutsummur $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}}$ þar til þær nálga $ln (2)$ með skekkju sem er minni en $0.0001 .$ Hversu marga liði þarf? Berið svarið saman við þann fjölda liða víxlmerktu harmonísku raðarinnar sem þarf til að meta $ln (2) .$

316.

[T] Í textanum kom fram að umraða megi skilyrt samleitinni röð þannig að hún stefni á hvaða tölu sem er. Hér er örlítið einfaldari en hliðstæð niðurstaða. Ef $a_{n} \geq 0$ er þannig að $a_{n} \to 0$ þegar $n \to \infty$ en $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ er ósamleitin, þá má fyrir sérhverja tölu $A$ finna runu $s_{n}$ sem tekur aðeins gildin $\pm 1$ þannig að $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} s_{n} \to A .$ Sýnið þetta fyrir $A > 0$ á eftirfarandi hátt.

Skilgreinið $s_{n}$ með rakningarvenslum þannig að $s_{n} = 1$ ef $S_{n - 1} = \sum_{k = 1}^{n - 1} a_{k} s_{k} < A$ og $s_{n} = −1$ annars.
Útskýrið hvers vegna að lokum gildir $S_{n} \geq A,$ og hvers vegna fyrir sérhvert $m$ sem er stærra en $n,$ $A - a_{m} \leq S_{m} \leq A + a_{m} .$
Útskýrið hvers vegna þetta leiðir til þess að $S_{n} \to A$ þegar $n \to \infty .$