5.1 Runur

Sérhver tala í rununni kallast liður. Táknið $n$ kallast vísibreyta rununnar. Við notum ritháttinn

til að tákna þessa runu. Svipaður ritháttur er notaður fyrir mengi, en ólíkt mengi er runa röðuð upptalning. Þar sem til er tiltekin tala $a_n$ fyrir hverja jákvæða heiltölu $n,$ má einnig skilgreina runu sem fall með mengi jákvæðra heiltalna sem skilgreiningarmengi.

Þetta er runa þar sem fyrstu þrír liðirnir eru $a_1=2,$ $a_2=4,$ og $a_3=8.$ Líklega sést að liðir rununnar fylgja þessu mynstri:

Ef gert er ráð fyrir að mynstrið haldi áfram má rita $n\text{-ta}$ lið rununnar á lokaða forminu $a_n=2^n.$ Með þessum rithætti má rita rununa sem

Einnig má lýsa rununni með öðrum hætti. Þar sem hver liður er tvöfaldur liðurinn á undan má skilgreina rununa með rakningarvenslum og setja $n\text{-ta}$ liðinn $a_n$ fram út frá liðnum á undan, $a_{n-1}.$ Nánar tiltekið má skilgreina rununa sem $\left\{a_n\right\}$ þar sem $a_1=2$ og fyrir öll $n\ge 2,$ þá er hver liður $a_n$ skilgreindur með rakningarvenslunum $a_n=2a_{n-1}.$

Athugið að vísirinn þarf ekki að hefjast á $n=1$ heldur getur hann byrjað í öðrum heiltölum. Runa sem gefin er á lokaða forminu $a_n=f(n)$ gæti til dæmis hafist á $n=0,$ og þá væri runan

Á sama hátt má gefa liðinn $a_0$ beint fyrir runu sem skilgreind er með rakningarvenslum og skilgreina liðina $a_n$ fyrir $n\ge 1$ út frá $a_{n-1}.$ Þar sem runa $\left\{a_n\right\}$ hefur nákvæmlega eitt gildi fyrir hverja jákvæða heiltölu $n,$ má lýsa henni sem falli með mengi jákvæðra heiltalna sem skilgreiningarmengi. Því er eðlilegt að fjalla um graf runu. Graf rununnar $\left\{a_n\right\}$ samanstendur af öllum punktum $(n,a_n)$ fyrir allar jákvæðar heiltölur $n.$ Mynd 5.2 sýnir graf $\left\{2^n\right\}.$

Tvær gerðir runa koma oft fyrir og hafa sérstök heiti: jafnmunarunur og kvótarunur. Í jafnmunarunu er mismunur sérhverra tveggja samliggjandi liða sá sami. Skoðum til dæmis rununa

Sjá má að mismunur sérhverra tveggja samliggjandi liða er $4.$ Ef gert er ráð fyrir að mynstrið haldi áfram er þetta jafnmunaruna. Lýsa má henni með rakningarvenslunum

Almennt er jafnmunaruna sérhver runa af gerðinni $a_n=cn+b.$

Í kvótarunu er hlutfall sérhverra tveggja samliggjandi liða hið sama. Skoðum til dæmis rununa

Sjá má að hlutfall sérhvers liðar og liðarins á undan er $-\frac{1}{3}.$ Ef gert er ráð fyrir að mynstrið haldi áfram er þetta kvótaruna. Skilgreina má hana með rakningarvenslunum

Runan $\left\{2^n\right\}$ sem fjallað var um fyrr er kvótaruna, þar sem hlutfall sérhvers liðar og liðarins á undan er $2.$ Almennt er kvótaruna sérhver runa af gerðinni $a_n=c{r}^n.$

Grundvallarspurning um óendanlegar runur er hvernig liðirnir hegða sér þegar $n$ stækkar. Þar sem runa er fall sem skilgreint er á jákvæðu heiltölunum er eðlilegt að fjalla um markgildi liðanna þegar $n\to \infty .$ Skoðum til dæmis eftirfarandi fjórar runur og mismunandi hegðun þeirra þegar $n\to \infty$ (sjá mynd 5.3):

Af þessum dæmum sjáum við að liðir runu geta hegðað sér á ýmsa vegu þegar $n\to \infty .$ Í tveimur runanna nálgast liðirnir endanlega tölu þegar $n\to \infty .$ Í hinum tveimur gera þeir það ekki. Ef liðir runu nálgast endanlega tölu $L$ þegar $n\to \infty ,$ segjum við að runan sé samleitin og að rauntalan $L$ sé markgildi rununnar. Hér getum við gefið óformlega skilgreiningu.

Af mynd 5.3 sést að liðir rununnar $\left\{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right\}$ komast eins nálægt $1$ og óskað er þegar $n$ verður mjög stórt. Við ályktum að $\left\{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right\}$ sé samleitin runa með markgildið $1.$ Aftur á móti sést af mynd 5.3 að liðir rununnar $1+3n$ nálgast ekki endanlega tölu þegar $n$ stækkar. Við segjum að $\{1+3n\}$ sé ósamleitin runa.

Í óformlegu skilgreiningunni á markgildi runu notuðum við orðasamböndin „eins nálægt og óskað er“ og „nægilega stórt“. Þótt þau hjálpi til við að skýra merkingu samleitinnar runu eru þau nokkuð ónákvæm. Til að vera nákvæmari setjum við nú fram formlega skilgreiningu á markgildi runu og sýnum hugmyndirnar með grafi á mynd 5.4.

Athugið að samleitin eða ósamleitin hegðun runu $\left\{a_n\right\}$ ræðst eingöngu af því hvað gerist með liðina $a_n$ þegar $n\to \infty .$ Ef endanlegum fjölda liða $b_1,b_2\text{,…},b_N$ er því skotið inn á undan $a_1$ og ný runa mynduð

þá er nýja runan samleitin ef $\left\{a_n\right\}$ er samleitin og ósamleitin ef $\left\{a_n\right\}$ er ósamleitin. Ef runan $\left\{a_n\right\}$ stefnir á $L,$ stefnir nýja runan einnig á $L.$

Samkvæmt skilgreiningunni hér að framan kallast runa ósamleitin ef hún er ekki samleitin. Runurnar $\{1+3n\}$ og $\left\{{\left(\mathrm{-1}\right)}^n\right\}$ á mynd 5.4 eru til dæmis ósamleitnar. Ólíkar runur geta þó verið ósamleitnar á ólíkan hátt. Runan $\left\{{\left(\mathrm{-1}\right)}^n\right\}$ er ósamleitin vegna þess að liðirnir víxlast á milli $1$ og $\mathrm{-1},$ en nálgast ekki eitt gildi þegar $n\to \infty .$ Runan $\{1+3n\}$ er hins vegar ósamleitin vegna þess að liðirnir $1+3n\to \infty$ þegar $n\to \infty .$ Við segjum að runan $\{1+3n\}$ stefni á óendanlegt og ritum $\underset{n\to \infty }{\text{lim}}(1+3n)=\infty .$ Mikilvægt er að átta sig á að þessi ritháttur felur ekki í sér að markgildi rununnar $\{1+3n\}$ sé til. Runan er í raun ósamleitin. Með því að rita að markgildið sé óendanlegt er aðeins verið að gefa nánari upplýsingar um hvers vegna runan er ósamleitin. Runa getur einnig stefnt á mínus óendanlegt. Runan $\{\text{−}5n+2\}$ stefnir til dæmis á mínus óendanlegt vegna þess að $\mathrm{-5}n+2\to \text{−}\infty$ þegar $n\to \infty .$ Við ritum það sem $\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\mathrm{-5}n+2\right)=\to \text{−}\infty .$

Þar sem runa er fall með mengi jákvæðra heiltalna sem skilgreiningarmengi getum við notað eiginleika markgilda falla til að ákvarða hvort runa sé samleitin. Skoðum til dæmis runu $\left\{a_n\right\}$ og tengt fall $f$ sem skilgreint er á öllum jákvæðum rauntölum þannig að $f(n)=a_n$ fyrir allar heiltölur $n\ge 1.$ Þar sem skilgreiningarmengi rununnar er hlutmengi skilgreiningarmengis $f,$ er runan samleitin og hefur sama markgildi ef $\underset{x\to \infty }{\text{lim}}f(x)$ er til. Skoðum til dæmis rununa $\left\{\frac{1}{n}\right\}$ og tengda fallið $f\left(x\right)=\frac{1}{x}.$ Þar sem fallið $f$, sem skilgreint er fyrir allar rauntölur $x>0$, uppfyllir $f\left(x\right)=\frac{1}{x}\to 0$ þegar $x\to \infty ,$ verður runan $\left\{\frac{1}{n}\right\}$ að uppfylla $\frac{1}{n}\to 0$ þegar $n\to \infty .$

Við getum notað þessa setningu til að reikna $\underset{n\to \infty }{\text{lim}}{r}^n$ fyrir $0\le r\le 1.$ Skoðum til dæmis rununa $\left\{{\left(1\text{/}2\right)}^n\right\}$ og tengda veldisfallið $f(x)={\left(1\text{/}2\right)}^x.$ Þar sem $\underset{x\to \infty }{\text{lim}}{\left(1\text{/}2\right)}^x=0,$ ályktum við að runan $\left\{{\left(1\text{/}2\right)}^n\right\}$ sé samleitin með markgildið $0.$ Á sama hátt gildir fyrir sérhverja rauntölu $r$ þannig að $0\le r<1,$ að $\underset{x\to \infty }{\text{lim}}{r}^x=0,$ og því er runan $\left\{r^n\right\}$ samleitin. Ef $r=1,$ þá er hins vegar $\underset{x\to \infty }{\text{lim}}{r}^x=1,$ og því er markgildi rununnar $\left\{1^n\right\}$ jafnt $1.$ Ef $r>1,$ þá er $\underset{x\to \infty }{\text{lim}}{r}^x=\infty ,$ og því getum við ekki beitt þessari setningu. Í því tilviki vex fallið $r^x$ þó án takmarka þegar $n\to \infty ,$ og liðirnir $r^n$ í rununni verða einnig ótakmarkað stórir þegar $n\to \infty ,$ við ályktum að runan $\left\{r^n\right\}$ stefni á óendanlegt ef $r>1.$

Við drögum saman þessar niðurstöður um kvótarununa $\left\{r^n\right\}\text{:}$

Síðar í þessum hluta skoðum við tilvikið þegar $r<0.$

Nú skoðum við aðeins flóknari runur. Skoðum til dæmis rununa $\{{(2\text{/}3)}^n+{(1\text{/}4)}^n\}.$ Liðir þessarar runu eru flóknari en í öðrum runum sem við höfum fjallað um, en sem betur fer ræðst markgildi hennar af markgildum runanna tveggja $\left\{{(2\text{/}3)}^n\right\}$ og $\left\{{(1\text{/}4)}^n\right\}.$ Af eftirfarandi algebrureglum um markgildi og þeirri staðreynd að bæði $\left\{{(2\text{/}3)}^n\right\}$ og ${\{1\text{/}4)}^n\}$ stefna á $0,$ má álykta að runan $\{{(2\text{/}3)}^n+{(1\text{/}4)}^n\}$ stefni á $0+0=0.$ Á sama hátt og reikna má markgildi algebrulegrar samsetningar falla $f$ og $g$ út frá markgildum $f$ og $g$ (sjá Inngang að markgildum) má reikna markgildi runu þar sem liðirnir eru algebrulegar samsetningar $a_n$ og $b_n$ með því að reikna markgildi $\left\{a_n\right\}$ og $\left\{b_n\right\}.$

Látum $ϵ>0.$ Þar sem $\underset{n\to \infty }{\text{lim}}{a}_n=A,$ þá er til jákvæð heiltala $N_1$ þannig að $|a_n-A|<\frac{\epsilon }{2}$ fyrir öll $n\ge N_1.$ Þar sem $\underset{n\to \infty }{\text{lim}}{b}_n=B,$ þá er til jákvæð heiltala $N_2$ þannig að $|b_n-B|<\epsilon \text{/}2$ fyrir öll $n\ge N_2.$ Látum $N$ vera stærri talnanna $N_1$ og $N_2.$ Þá gildir fyrir öll $n\ge N,$

$|(a_n+b_n)\text{−}(A+B)|\le |a_n-A|+|b_n-B|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$

Algebrureglurnar um markgildi gera okkur kleift að reikna markgildi margra runa. Skoðum til dæmis rununa $\left\{\frac{1}{n^2}\right\}.$ Eins og áður var sýnt er $\underset{n\to \infty }{\text{lim}}1\text{/}n=0.$ Á sama hátt gildir eftirfarandi fyrir sérhverja jákvæða heiltölu $k,$ nefnilega að

Munum að ef $f$ er samfellt fall í gildinu $L,$ þá er $f\left(x\right)\to f(L)$ þegar $x\to L.$ Þessi hugmynd á einnig við um runur. Gerum ráð fyrir samleitinni runu $a_n\to L,$ og gerum jafnframt ráð fyrir að fall $f$ sé samfellt í $L.$ Þá er $f\left(a_n\right)\to f\left(L\right).$ Þessi eiginleiki gerir okkur oft kleift að finna markgildi flókinna runa. Skoðum til dæmis rununa $\sqrt{5-\frac{3}{n^2}}.$ Af dæmi 5.3 a vitum við að runan $5-\frac{3}{n^2}\to 5.$ Þar sem $\sqrt{x}$ er samfellt fall í $x=5,$

Látum $ϵ>0.$ Þar sem $f$ er samfellt í $L,$ þá er til $\delta >0$ þannig að $\left|f\left(x\right)-f\left(L\right)\right|<\epsilon$ ef $\left|x-L\right|<\delta .$ Þar sem runan $\left\{a_n\right\}$ stefnir á $L,$ þá er til $N$ þannig að $\left|a_n-L\right|<\delta$ fyrir öll $n\ge N.$ Fyrir öll $n\ge N,$ þá er $\left|a_n-L\right|<\delta ,$ sem hefur í för með sér að $\left|f(a_n)\text{−}f(L)\right|<\epsilon .$ Við ályktum að runan $\left\{f\left(a_n\right)\right\}$ stefni á $f\left(L\right).$

Önnur setning um markgildi runa er útvíkkun á klemmureglunni fyrir markgildi, sem fjallað var um í Inngangi að markgildum.

Látum $\epsilon >0.$ Þar sem runan $\left\{a_n\right\}$ stefnir á $L,$ er til heiltala $N_1$ þannig að $\left|a_n-L\right|<\epsilon$ fyrir öll $n\ge N_1.$ Þar sem $\left\{c_n\right\}$ stefnir á $L,$ er á sama hátt til heiltala $N_2$ þannig að $\left|c_n-L\right|<\epsilon$ fyrir öll $n\ge N_2.$ Samkvæmt forsendu er til heiltala $N$ þannig að $a_n\le b_n\le c_n$ fyrir öll $n\ge N.$ Látum $M$ vera stærsta talnanna $N_1,N_2,$ og $N.$ Við þurfum að sýna að $|b_n-L|<\epsilon$ fyrir öll $n\ge M.$ Fyrir öll $n\ge M,$

Því er $\text{−}\epsilon <b_n-L<\epsilon ,$ og við ályktum að $\left|b_n-L\right|<\epsilon$ fyrir öll $n\ge M,$ og þar með að runan $\left\{b_n\right\}$ stefni á $L.$

Með hugmyndinni úr dæmi 5.5 b ályktum við að $r^n\to 0$ fyrir sérhverja rauntölu $r$ þannig að $\mathrm{-1}<r<0.$ Ef $r<\text{−}1,$ er runan $\left\{r^n\right\}$ ósamleitin vegna þess að liðirnir sveiflast og tölugildi þeirra verður ótakmarkað stórt. Ef $r=\mathrm{-1},$ er runan $\left\{r^n\right\}=\left\{{\left(\mathrm{-1}\right)}^n\right\}$ ósamleitin, eins og áður var fjallað um. Hér er samantekt á eiginleikum kvótaruna.

Runan $\left\{1\text{/}n\right\}$ er til dæmis takmörkuð að ofan vegna þess að $1\text{/}n\le 1$ fyrir allar jákvæðar heiltölur $n.$ Hún er einnig takmörkuð að neðan vegna þess að $1\text{/}n\ge 0$ fyrir allar jákvæðar heiltölur n. Því er $\left\{1\text{/}n\right\}$ takmörkuð runa. Skoðum hins vegar rununa $\left\{2^n\right\}.$ Þar sem $2^n\ge 2$ fyrir öll $n\ge 1,$ er runan takmörkuð að neðan. Hún er hins vegar ekki takmörkuð að ofan. Því er $\left\{2^n\right\}$ ótakmörkuð runa.

Nú fjöllum við um samband takmörkunar og samleitni. Gerum ráð fyrir að runan $\left\{a_n\right\}$ sé ótakmörkuð. Þá er hún ekki takmörkuð að ofan, ekki takmörkuð að neðan eða hvorugt. Í öllum tilvikum eru til liðir $a_n$ sem verða ótakmarkað stórir að tölugildi þegar $n$ stækkar. Því getur runan $\left\{a_n\right\}$ ekki verið samleitin. Takmörkun er því nauðsynlegt skilyrði fyrir samleitni runu.

Athugið að takmörkun runu er ekki nægilegt skilyrði fyrir samleitni hennar. Runan $\left\{{\left(\mathrm{-1}\right)}^n\right\}$ er til dæmis takmörkuð en ósamleitin, því hún sveiflast á milli $1$ og $\mathrm{-1}$ og nálgast aldrei endanlega tölu. Nú fjöllum við um nægilegt, en ekki nauðsynlegt, skilyrði fyrir samleitni takmarkaðrar runu.

Skoðum takmarkaða runu $\left\{a_n\right\}.$ Gerum ráð fyrir að runann $\left\{a_n\right\}$ sé vaxandi, það er að $a_1\le a_2\le a_3\text{…}.$ Þar sem runan er vaxandi sveiflast liðirnir ekki. Tveir möguleikar koma því til greina: runan getur stefnt á óendanlegt eða verið samleitin. Þar sem runan er takmörkuð er hún þó takmörkuð að ofan og getur ekki stefnt á óendanlegt. Við ályktum að $\left\{a_n\right\}$ sé samleitin. Skoðum til dæmis rununa

Þótt runan sé ekki vaxandi fyrir öll gildi $n,$ sést að $\mathrm{-1}\text{/}2<\text{−}1\text{/}3<\text{−}1\text{/}4<\text{⋯}.$ Frá og með áttunda liðnum, $a_8=\mathrm{-1}\text{/}2,$ er runan því vaxandi. Þá segjum við að runan sé vaxandi frá og með einhverjum lið. Þar sem hún er takmörkuð að ofan er hún samleitin. Einnig gildir að ef runa er fallandi, eða fallandi frá og með einhverjum lið, og takmörkuð að neðan þá er hún samleitin.

Sönnun þessarar setningar er utan efnis þessarar bókar. Þess í stað sýnum við með grafi hvers vegna setningin er rökrétt (mynd 5.7).

Finnið fyrstu sex liði hverrar eftirfarandi runu og byrjið á $n=1.$