55 Runur og raðir

5.6 Kvóta- og rótarpróf

Námsmarkmið

5.6.1 Nota kvótaprófið til að ákvarða alsamleitni raðar.
5.6.2 Nota rótarprófið til að ákvarða alsamleitni raðar.
5.6.3 Lýsa aðferð við að kanna samleitni gefinnar raðar.

Í þessum hluta sönnum við síðustu tvö samleitniprófin fyrir raðir: kvótaprófið og rótarprófið. Þessi próf eru sérlega hentug því ekki þarf að finna röð til samanburðar. Kvótaprófið verður sérstaklega gagnlegt í umfjölluninni um veldaraðir í næsta kafla.

Í þessum kafla höfum við séð að ekkert eitt samleitnipróf hentar öllum röðum. Í lok þessa hluta fjöllum við því um aðferð við að velja samleitnipróf fyrir gefna röð.

Kvótaprófið

Lítum á röðina $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} .$ Af fyrri umfjöllun og dæmum vitum við að $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ er ekki nægilegt skilyrði fyrir samleitni raðarinnar. Ekki nægir að $a_{n} \to 0,$ heldur þarf $a_{n} \to 0$ nógu hratt. Lítum til dæmis á röðina $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n$ og röðina $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{2} .$ Við vitum að $1 / n \to 0$ og $1 / n^{2} \to 0 .$ Aðeins röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{2}$ er þó samleitin. Röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n$ er ósamleitin því liðir rununnar ${1 / n}$ nálgast núll ekki nógu hratt þegar $n \to \infty .$ Hér kynnum við kvótaprófið, sem mælir hversu hratt liðir raðar nálgast núll.

Sönnun

Látum $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ vera röð með liðum sem eru ekki núll.

Við byrjum á sönnun i-liðar. Í þessu tilviki gildir $ρ = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | < 1 .$ Þar sem $0 \leq ρ < 1,$ er til tala $R$ þannig að $0 \leq ρ < R < 1 .$ Látum $ε = R - ρ > 0 .$ Samkvæmt skilgreiningu á markgildi runu er til heiltala $N$ þannig að

| | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | - ρ | < ε fyrir öll n \geq N .

Því gildir

| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | < ρ + ε = R fyrir öll n \geq N

og þar með

\begin{array}{l} | a_{N + 1} | < R | a_{N} | \\ | a_{N + 2} | < R | a_{N + 1} | < R^{2} | a_{N} | \\ | a_{N + 3} | < R | a_{N + 2} | < R^{2} | a_{N + 1} | < R^{3} | a_{N} | \\ | a_{N + 4} | < R | a_{N + 3} | < R^{2} | a_{N + 2} | < R^{3} | a_{N + 1} | < R^{4} | a_{N} | \\ ⋮ . \end{array}

Þar sem $R < 1,$ er geómetríska röðin

R | a_{N} | + R^{2} | a_{N} | + R^{3} | a_{N} | + ⋯

samleitin. Samkvæmt ójöfnunum hér að framan getum við beitt samanburðarprófinu og ályktað að röðin

| a_{N + 1} | + | a_{N + 2} | + | a_{N + 3} | + | a_{N + 4} | + ⋯

sé samleitin. Þar sem

\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} | = \sum_{n = 1}^{N} | a_{n} | + \sum_{n = N + 1}^{\infty} | a_{n} |

þar sem $\sum_{n = 1}^{N} | a_{n} |$ er endanleg summa og $\sum_{n = N + 1}^{\infty} | a_{n} |$ er samleitin, ályktum við að $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ sé samleitin.

Sönnum nú ii-lið.

Gerum nú ráð fyrir að $ρ = (\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}) > 1$ .

Þá er til $N$ þannig að $(\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}) > 1$ fyrir öll $n \geq N$ .

Þá gildir $(a_{n -}) > (a_{n})$ .

Þar sem $(a_{n -}) > (a_{n})$ fyrir öll $n \geq N$ vitum við að $(a_{n}) \neq 0$ .

Af þessu leiðir að $(a_{n}) \neq 0$ .

Samkvæmt sundurleitniprófinu er röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ ósamleitin.

| a_{N + 1} | + | a_{N + 2} | + | a_{N + 3} | + ⋯

er ósamleitin og því er röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ ósamleitin.

Fyrir iii-lið sýnum við að prófið gefur engar upplýsingar ef $ρ = 1$ með því að skoða $p - röð$ $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{p} .$ Fyrir sérhverja rauntölu $p,$

ρ = lim_{n \to \infty} \frac{1 / {(n + 1)}^{p}}{1 / n^{p}} = lim_{n \to \infty} \frac{n^{p}}{{(n + 1)}^{p}} = 1 .

Við vitum hins vegar að ef $p \leq 1,$ er $p - röð$ $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{p}$ ósamleitin, en $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{p}$ er samleitin ef $p > 1 .$

□

Kvótaprófið er sérlega gagnlegt fyrir raðir þar sem liðirnir innihalda aðfeldi eða veldisliði, því kvóti liðanna einfaldar þá segðina. Prófið er hentugt þar sem ekki þarf að finna samanburðarröð. Ókosturinn er að það gefur stundum engar upplýsingar um samleitni.

Dæmi 5.23

Kvótaprófið notað

Notið kvótaprófið til að ákvarða hvort eftirfarandi raðir séu samleitnar eða ósamleitnar.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n} {(n!)}^{2}}{(2 n)!}$

Lausn

Af kvótaprófinu sjáum við að
$ρ = lim_{n \to \infty} \frac{2^{n + 1} / (n + 1)!}{2^{n} / n!} = lim_{n \to \infty} \frac{2^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{2^{n}} .$

Þar sem $(n + 1)! = (n + 1) \cdot n!,$

$ρ = lim_{n \to \infty} \frac{2}{n + 1} = 0 .$

Þar sem $ρ < 1,$ er röðin samleitin.
Við sjáum að
$\begin{matrix} ρ & = lim_{n \to \infty} \frac{{(n + 1)}^{n + 1} / (n + 1)!}{n^{n} / n!} \\ = lim_{n \to \infty} \frac{{(n + 1)}^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{n^{n}} \\ = lim_{n \to \infty} {(\frac{n + 1}{n})}^{n} = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e . \end{matrix}$

Þar sem $ρ > 1,$ er röðin ósamleitin.
Þar sem
$\begin{matrix} | \frac{{(−1)}^{n + 1} {((n + 1)!)}^{2} / (2 (n + 1))!}{{(−1)}^{n} {(n!)}^{2} / (2 n)!} | & = \frac{(n + 1)! (n + 1)!}{(2 n + 2)!} \cdot \frac{(2 n)!}{n! n!} \\ = \frac{(n + 1) (n + 1)}{(2 n + 2) (2 n + 1)} \end{matrix}$

sjáum við að
$ρ = lim_{n \to \infty} \frac{(n + 1) (n + 1)}{(2 n + 2) (2 n + 1)} = \frac{1}{4} .$

Þar sem $ρ < 1,$ er röðin samleitin.

Rótarprófið

Aðferð rótarprófsins er hliðstæð aðferð kvótaprófsins. Lítum á röðina $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ þannig að $lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| a_{n} |} = ρ$ fyrir einhverja rauntölu $ρ .$ Þegar $N$ er nógu stórt gildir þá $| a_{N} | \approx ρ^{N} .$ Því getum við nálgað $\sum_{n = N}^{\infty} | a_{n} |$ með því að rita

| a_{N} | + | a_{N + 1} | + | a_{N + 2} | + ⋯ \approx ρ^{N} + ρ^{N + 1} + ρ^{N + 2} + ⋯ .

Segðin hægra megin er geómetrísk röð. Líkt og í kvótaprófinu er röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ alsamleitin ef $0 \leq ρ < 1$ og ósamleitin ef $ρ \geq 1 .$ Ef $ρ = 1,$ gefur prófið engar upplýsingar. Fyrir sérhverja p-röð $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{p},$ sjáum við til dæmis að

ρ = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| \frac{1}{n^{p}} |} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{p / n}} .

Til að reikna þetta markgildi notum við náttúrlega lografallið. Þá sjáum við að

ln ρ = ln (lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{p / n}}) = lim_{n \to \infty} ln {(\frac{1}{n})}^{p / n} = lim_{n \to \infty} \frac{p}{n} \cdot ln (\frac{1}{n}) = lim_{n \to \infty} \frac{p ln (1 / n)}{n} .

Með reglu l’Hôpital fæst $ln ρ = 0,$ og því $ρ = 1$ fyrir öll $p .$ Við vitum hins vegar að p-röðin er aðeins samleitin ef $p > 1$ og ósamleitin ef $p < 1 .$

Rótarprófið nýtist fyrir raðir þar sem veldisliðir koma fyrir í liðunum. Sérstaklega gildir fyrir röð þar sem liðirnir $a_{n}$ uppfylla $| a_{n} | = b_{n}^{n},$ að $\sqrt[n]{| a_{n} |} = b_{n}$ og þá þarf aðeins að reikna $lim_{n \to \infty} b_{n} .$

Dæmi 5.24

Rótarprófið notað

Notið rótarprófið til að ákvarða hvort eftirfarandi raðir séu samleitnar eða ósamleitnar.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(n^{2} + 3 n)}^{n}}{{(4 n^{2} + 5)}^{n}}$
$\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n^{n}}{{(ln (n))}^{n}}$

Lausn

Til að beita rótarprófinu reiknum við
$ρ = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{{(n^{2} + 3 n)}^{n} / {(4 n^{2} + 5)}^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + 3 n}{4 n^{2} + 5} = \frac{1}{4} .$

Þar sem $ρ < 1,$ er röðin alsamleitin.
Við höfum
$ρ = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^{n} / {(ln n)}^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{n}{ln n} = \infty samkvæmt reglu l’Hôpital .$

Þar sem $ρ = \infty,$ er röðin ósamleitin.

Val samleitniprófs

Nú höfum við langan lista yfir samleitnipróf. Ekki er þó hægt að nota öll prófin fyrir allar raðir. Þegar röð er gefin þarf að ákvarða hvaða próf hentar best. Hér er aðferð til að finna heppilegasta prófið.

Lausnarleið

Samleitnipróf valið fyrir röð

Lítum á röðina $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} .$ Í skrefunum hér á eftir lýsum við aðferð til að ákvarða hvort röðin sé samleitin.

Er $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ kunnugleg röð? Er hún til dæmis harmoníska röðin, sem er ósamleitin, eða víxlmerkta harmoníska röðin, sem er samleitin? Er hún $p - röð$ eða geómetrísk röð? Ef svo er skal kanna veldisvísinn $p$ eða hlutfallstöluna $r$ til að ákvarða hvort röðin sé samleitin.
Er hún víxlmerkjaröð? Höfum við áhuga á alsamleitni eða aðeins samleitni? Ef aðeins á að kanna hvort röðin sé samleitin skal beita prófinu fyrir víxlmerkjaraðir. Ef kanna á alsamleitni skal fara í skref $3,$ og skoða röð tölugildanna $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} | .$
Líkist röðin $p - röð$ eða geómetrískri röð? Ef svo er skal prófa samanburðarprófið eða samanburð með markgildi.
Innihalda liðir raðarinnar aðfeldi eða veldi? Ef liðirnir eru veldi þannig að $a_{n} = b_{n}^{n},$ skal prófa rótarprófið fyrst. Annars skal prófa kvótaprófið fyrst.
Notið sundurleitniprófið. Ef það gefur engar upplýsingar skal prófa heildisprófið.

Dæmi 5.25

Samleitnipróf notuð

Ákvarðið fyrir hverja eftirfarandi röð hvaða samleitnipróf hentar best og útskýrið hvers vegna. Ákvarðið síðan hvort röðin sé samleitin eða ósamleitin. Ef hún er víxlmerkjaröð skal ákvarða hvort hún sé alsamleitin, skilyrt samleitin eða ósamleitin.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} + 2 n}{n^{3} + 3 n^{2} + 1}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n + 1} (3 n + 1)}{n!}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{n}}{n^{3}}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3^{n}}{{(n + 1)}^{n}}$

Lausn

Skref 1. Röðin er hvorki $p - röð$ né geómetrísk röð. Skref 2. Röðin er ekki víxlmerkjaröð. Skref 3. Fyrir stór gildi

$n,$ nálgum við lið raðarinnar með segðinni
$\frac{n^{2} + 2 n}{n^{3} + 3 n^{2} + 1} \approx \frac{n^{2}}{n^{3}} = \frac{1}{n} .$

Því virðist eðlilegt að beita samanburðarprófinu eða samanburði með markgildi við röðina $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n .$ Með samanburði með markgildi sjáum við að
$lim_{n \to \infty} \frac{(n^{2} + 2 n) / (n^{3} + 3 n^{2} + 1)}{1 / n} = lim_{n \to \infty} \frac{n^{3} + 2 n^{2}}{n^{3} + 3 n^{2} + 1} = 1 .$

Þar sem röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n$ er ósamleitin er þessi röð einnig ósamleitin.
Skref 1. Röðin er ekki kunnugleg röð. Skref 2. Röðin er víxlmerkjaröð. Þar sem við höfum áhuga á alsamleitni skoðum við röðina

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3 n}{(n + 1)!} .$

Skref 3. Röðin líkist hvorki p-röð né geómetrískri röð. Skref 4. Þar sem hver liður inniheldur aðfeldi beitum við kvótaprófinu. Við sjáum að

$lim_{n \to \infty} \frac{(3 (n + 1)) / (n + 1)!}{(3 n + 1) / n!} = lim_{n \to \infty} \frac{3 n + 3}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{3 n + 1} = lim_{n \to \infty} \frac{3 n + 3}{(n + 1) (3 n + 1)} = 0 .$

Því er þessi röð samleitin og við ályktum að upphaflega röðin sé alsamleitin og þar með samleitin.
Skref 1. Röðin er ekki kunnugleg röð. Skref 2. Hún er ekki víxlmerkjaröð. Skref 3. Engin augljós röð er til samanburðar. Skref 4. Ekkert aðfeldi kemur fyrir. Veldi kemur fyrir, en aðstæður henta rótarprófinu ekki vel. Skref 5. Til að beita sundurleitniprófinu reiknum við

$lim_{n \to \infty} \frac{e^{n}}{n^{3}} = \infty .$

Samkvæmt sundurleitniprófinu er röðin því ósamleitin.
Skref 1. Röðin er ekki kunnugleg röð. Skref 2. Hún er ekki víxlmerkjaröð. Skref 3. Engin augljós röð er til samanburðar. Skref 4. Þar sem hver liður er veldi af

$n,$ getum við beitt rótarprófinu. Þar sem
$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{{(\frac{3}{n + 1})}^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{3}{n + 1} = 0,$

ályktum við af rótarprófinu að röðin sé samleitin.

Tafla 5.3 tekur saman samleitniprófin og hvenær má beita hverju þeirra. Athugið að samanburðarprófið, samanburður með markgildi og heildisprófið krefjast þess að röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ hafi óneikvæða liði. Ef $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ hefur neikvæða liði má þó beita þessum prófum á $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ til að kanna alsamleitni.

Röð eða próf	Niðurstöður	Athugasemdir
$Sundurleitniprófið. Fyrir sérhverja röð ∑ n = 1 ∞ a n, skal reikna lim n \to ∞ a n .$	$Ef lim n \to ∞ a n = 0, gefur prófið enga niðurstöðu.$	Þetta próf getur ekki sannað samleitni raðar.
$Ef lim n \to ∞ a n ≠ 0, er röðin ósamleitin.$
Geómetrískar raðir ∑ n = 1 ∞ a r n − 1	Ef \| r \| < 1 , stefnir röðin á a / ( 1 − r ) .	Sérhverri geómetrískri röð má endurvísa þannig að hún sé rituð á forminu a + a r + a r 2 + ⋯ , þar sem a er upphafsliðurinn og r er hlutfallstalan.
Ef \| r \| ≥ 1 , er röðin ósamleitin.
p-röð ∑ n = 1 ∞ 1/n p	Ef p > 1 , er röðin samleitin.	Fyrir p = 1 , fæst harmoníska röðin ∑ n = 1 ∞ 1 / n .
Ef p ≤ 1 , er röðin ósamleitin.
Samanburðarprófið. Fyrir ∑ n = 1 ∞ a n með óneikvæðum liðum skal bera saman við þekkta röð ∑ n = 1 ∞ b n .	Ef a n ≤ b n fyrir öll n ≥ N og ∑ n = 1 ∞ b n er samleitin þá er ∑ n = 1 ∞ a n samleitin.	Yfirleitt notað fyrir röð sem líkist geómetrískri röð eða p-röð. Stundum getur verið erfitt að finna hentuga röð.
Ef a n ≥ b n fyrir öll n ≥ N og ∑ n = 1 ∞ b n er ósamleitin þá er ∑ n = 1 ∞ a n ósamleitin.
$Samanburður með markgildi. Fyrir ∑ n = 1 ∞ a n með jákvæðum liðum skal bera saman við röð ∑ n = 1 ∞ b n með því að reikna L = lim n \to ∞ a n/b n .$	Ef L er rauntala og L ≠ 0 , þá eru ∑ n = 1 ∞ a n og ∑ n = 1 ∞ b n annaðhvort báðar samleitnar eða báðar ósamleitnar.	Yfirleitt notað fyrir röð sem líkist geómetrískri röð eða p-röð. Oft auðveldara í notkun en samanburðarprófið.
Ef L = 0 og ∑ n = 1 ∞ b n er samleitin þá er ∑ n = 1 ∞ a n samleitin.
Ef L = ∞ og ∑ n = 1 ∞ b n er ósamleitin þá er ∑ n = 1 ∞ a n ósamleitin.
Heildisprófið. Ef til er jákvætt, samfellt og fallandi fall f þannig að a n = f ( n ) fyrir öll n ≥ N , skal reikna ∫ N ∞ f ( x ) d x .	∫ N ∞ f ( x ) d x og ∑ n = 1 ∞ a n eru annaðhvort bæði samleit eða bæði ósamleit.	Takmarkast við raðir þar sem auðvelt er að heilda samsvarandi fall f.
Víxlmerkjaraðir ∑ n = 1 ∞ ( −1 ) n + 1 b n eða ∑ n = 1 ∞ ( −1 ) n b n	$Ef b n + 1 ≤ b n fyrir öll n ≥ 1 og b n \to 0, þá er röðin samleitin.$	Á aðeins við um víxlmerkjaraðir.
$Kvótaprófið. Fyrir sérhverja röð ∑ n = 1 ∞ a n með liðum sem eru ekki núll skal láta ρ = lim n \to ∞ \| a n + 1/a n \| .$	Ef 0 ≤ ρ < 1 , er röðin alsamleitin.	Oft notað fyrir raðir sem innihalda aðfeldi eða veldisliði.
Ef ρ > 1 eða ρ = ∞ , er röðin ósamleitin.
Ef ρ = 1 , gefur prófið enga niðurstöðu.
$Rótarprófið. Fyrir sérhverja röð ∑ n = 1 ∞ a n, skal láta ρ = lim n \to ∞ \| a n \| n .$	Ef 0 ≤ ρ < 1 , er röðin alsamleitin.	Oft notað fyrir raðir þar sem \| a n \| = b n n .
Ef ρ > 1 eða ρ = ∞ , er röðin ósamleitin.
Ef ρ = 1 , gefur prófið enga niðurstöðu.

Nemendaverkefni

Raðir sem stefna á $π$ og $1 / π$

Til eru tugir raða sem stefna á $π$ eða algebrulega segð sem inniheldur $π .$ Hér skoðum við nokkur dæmi og berum saman samleitnihraða þeirra. Með samleitnihraða er átt við þann fjölda liða sem þarf til að hlutsumma sé í tiltekinni fjarlægð frá rétta gildinu. Framsetningu $π$ sem raðar í fyrstu tveimur dæmunum má skýra með Maclaurin-röðum, sem fjallað er um í næsta kafla. Þriðja dæmið byggir á efni sem er utan ramma þessarar bókar.

Röðina
$π = 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n + 1}}{2 n - 1} = 4 - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - ⋯$

uppgötvuðu Gregory og Leibniz seint á 1600-árunum. Þessi niðurstaða leiðir af Maclaurin-röðinni fyrir f(x)=tan−1x. Fjallað verður um þessa röð í næsta kafla. Sannið að röðin sé samleitin. Reiknið hlutsummurnar
2. $S_{n}$ fyrir $n = 10, 20, 50, 100 .$
3. $R_{n} .$
4. $N$ sem tryggir $| R_{N} | < 0.01 ?$ Reiknið $S_{N} .$
Röðin
$\begin{matrix} π & = 6 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2 n)!}{2^{4 n + 1} {(n!)}^{2} (2 n + 1)} \\ = 6 (\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 5} \cdot {(\frac{1}{2})}^{5} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7} {(\frac{1}{2})}^{7} + ⋯) \end{matrix}$

hefur verið eignuð Newton seint á 1600-árunum. Sönnun niðurstöðunnar notar Maclaurin-röðina fyrir f(x)=sin−1x.
Sannið að röðin sé samleitin. Reiknið hlutsummurnar
2. $S_{n}$ fyrir $n = 5, 10, 20 .$
3. $S_{n}$ saman við $π$ fyrir $n = 5, 10, 20$ og ræðið fjölda réttra aukastafa.
Röðina
$\frac{1}{π} = \frac{\sqrt{8}}{9801} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n)! (1103 + 26390 n)}{{(n!)}^{4} 396^{4 n}}$

uppgötvaði Ramanujan snemma á 1900-árunum. William Gosper yngri notaði röðina til að reikna π með meira en 17 milljóna tölustafa nákvæmni á miðjum1980-árunum. Það var þá heimsmet. Síðan hafa þessi röð og aðrar raðir Ramanujans orðið stærðfræðingum tilefni til að finna margar aðrar raðaframsetningar fyrir π og 1/π.
Sannið að röðin sé samleitin. Reiknið fyrsta lið raðarinnar. Berið töluna saman við gildi
2. $π$ úr reiknivél. Að hve mörgum aukastöfum eru tölurnar jafnar? Hvað gerist ef fyrstu tveir liðir raðarinnar eru lagðir saman? Kynnið ykkur ævi Srinivasa Ramanujans
3. $(1887 – 1920)$ og skrifið stutta samantekt. Ævisaga Ramanujans er ein sú áhugaverðasta í sögu stærðfræðinnar. Hann var að mestu sjálfmenntaður og án formlegrar stærðfræðimenntunar en lagði engu að síður margt frumlegt af mörkum á ýmsum sviðum æðri stærðfræði.

Æfingar í undirkafla 5.6

Notið kvótaprófið til að ákvarða hvort $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sé samleitin, þar sem liðurinn $a_{n}$ er gefinn í eftirfarandi verkefnum. Takið fram ef kvótaprófið gefur enga niðurstöðu.

317.

$a_{n} = 1 / n!$

318.

$a_{n} = 10^{n} / n!$

319.

$a_{n} = n^{2} / 2^{n}$

320.

$a_{n} = n^{10} / 2^{n}$

321.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(n!)}^{3}}{(3 n)!}$

322.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{3 n} {(n!)}^{3}}{(3 n)!}$

323.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 n)!}{n^{2 n}}$

324.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 n)!}{{(2 n)}^{n}}$

325.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{{(n / e)}^{n}}$

326.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 n)!}{{(n / e)}^{2 n}}$

327.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(2^{n} n!)}^{2}}{{(2 n)}^{2 n}}$

Notið rótarprófið til að ákvarða hvort $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sé samleitin, þar sem liðurinn $a_{n}$ er skilgreindur hér á eftir.

328.

$a_{k} = {(\frac{k - 1}{2 k + 3})}^{k}$

329.

$a_{k} = {(\frac{2 k^{2} - 1}{k^{2} + 3})}^{k}$

330.

$a_{n} = \frac{{(ln n)}^{2 n}}{n^{n}}$

331.

$a_{n} = n / 2^{n}$

332.

$a_{n} = n / e^{n}$

333.

$a_{k} = \frac{k^{e}}{e^{k}}$

334.

$a_{k} = \frac{π^{k}}{k^{π}}$

335.

$a_{n} = {(\frac{1}{e} + \frac{1}{n})}^{n}$

336.

$a_{k} = \frac{1}{{(1 + ln k)}^{k}}$

Í þessu verkefni skal láta n hefjast á 2.

337.

$a_{n} = \frac{{(ln (1 + ln n))}^{n}}{{(ln n)}^{n}}$

Í eftirfarandi verkefnum skal eftir því sem við á nota kvótaprófið eða rótarprófið til að ákvarða hvort röðin $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ , með gefna liði $a_{k}$ , sé samleitin; ef prófið gefur enga niðurstöðu skal taka það fram.

338.

$a_{k} = \frac{k!}{1 \cdot 3 \cdot 5 ⋯ (2 k - 1)}$

339.

$a_{k} = \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 ⋯ 2 k}{(2 k)!}$

340.

$a_{k} = \frac{1 \cdot 4 \cdot 7 ⋯ (3 k - 2)}{3^{k} k!}$

341.

$a_{n} = {(1 - \frac{1}{n})}^{n^{2}}$

342.

$a_{k} = {(\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + ⋯ + \frac{1}{2 k})}^{k}$ (Vísbending: Berið $a_{k}^{1 / k}$ saman við $\int_{k}^{2 k} \frac{d t}{t} .)$

343.

$a_{k} = {(\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + ⋯ + \frac{1}{3 k})}^{k}$

344.

$a_{n} = {(n^{1 / n} - 1)}^{n}$

Notið kvótaprófið til að ákvarða hvort $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sé samleitin eða takið fram að kvótaprófið gefi enga niðurstöðu.

345.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3^{n^{2}}}{2^{n^{3}}}$

346.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n^{2}}}{n^{n} n!}$

Notið rótarprófið og samanburð með markgildi til að ákvarða hvort $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sé samleitin.

347.

$a_{n} = 1 / x_{n}^{n}$ þar sem $x_{n + 1} = \frac{1}{2} x_{n} + \frac{1}{x_{n}},$ $x_{1} = 1$ (Vísbending: Finnið markgildi ${x_{n}} .)$

Notið hentugt próf í eftirfarandi verkefnum til að ákvarða hvort röðin sé samleitin.

348.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(n + 1)}{n^{3} + n^{2} + n + 1}$

349.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n + 1} (n + 1)}{n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1}$

350.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(n + 1)}^{2}}{n^{3} + {(1.1)}^{n}}$

351.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(n - 1)}^{n}}{{(n + 1)}^{n}}$

352.

$a_{n} = {(1 + \frac{1}{n^{2}})}^{n}$ (Vísbending: ${(1 + \frac{1}{n^{2}})}^{n^{2}} \approx e .)$

353.

$a_{k} = 1 / 2^{{sin}^{2} k}$

354.

$a_{k} = 2^{− sin (1 / k)}$

355.

$a_{n} = 1 / (\begin{matrix} n + 2 \\ n \end{matrix})$ þar sem $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$

356.

$a_{k} = 1 / (\begin{array}{l} 2 k \\ k \end{array})$

357.

$a_{k} = 2^{k} / (\begin{array}{l} 3 k \\ k \end{array})$

358.

$a_{k} = {(\frac{k}{k + ln k})}^{k}$ (Vísbending: $a_{k} = {(1 + \frac{ln k}{k})}^{− (k / ln k) ln k} \approx e^{− ln k} .)$

359.

$a_{k} = {(\frac{k}{k + ln k})}^{2 k}$ (Vísbending: $a_{k} = {(1 + \frac{ln k}{k})}^{− (k / ln k) ln k^{2}} .)$

Eftirfarandi raðir eru samleitnar samkvæmt kvótaprófinu. Notið hlutun við summun, $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} (b_{k + 1} - b_{k}) = [a_{n + 1} b_{n + 1} - a_{1} b_{1}] - \sum_{k = 1}^{n} b_{k + 1} (a_{k + 1} - a_{k}),$ til að finna summu gefinnar raðar.

360.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{2^{k}}$ (Vísbending: Látum $a_{k} = k$ og $b_{k} = 2^{1 - k} .)$

361.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{c^{k}},$ þar sem $c > 1$ (Vísbending: Látum $a_{k} = k$ og $b_{k} = c^{1 - k} / (c - 1) .)$

362.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}$

363.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(n + 1)}^{2}}{2^{n}}$

k-ti liður hverrar eftirfarandi raðar hefur þáttinn $x^{k} .$ Finnið þau gildi $x$ sem kvótaprófið sýnir að leiði til samleitni raðarinnar.

364.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k^{2}}$

365.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{k^{2}}$

366.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{3^{k}}$

367.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!}$

368.

Er til tala $p$ þannig að $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n^{p}}$ sé samleitin?

369.

Látum $0 < r < 1 .$ Fyrir hvaða rauntölur $p$ er $\sum_{n = 1}^{\infty} n^{p} r^{n}$ samleitin?

370.

Gerum ráð fyrir að $lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = p .$ Fyrir hvaða gildi $p$ hlýtur $\sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n} a_{n}$ að vera samleitin?

371.

Gerum ráð fyrir að $lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = p .$ Fyrir hvaða gildi $r > 0$ er tryggt að $\sum_{n = 1}^{\infty} r^{n} a_{n}$ sé samleitin?

372.

Gerum ráð fyrir að $| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \leq {(n + 1)}^{p}$ fyrir öll $n = 1, 2,…$ , þar sem $p$ er föst rauntala. Fyrir hvaða gildi $p$ er tryggt að $\sum_{n = 1}^{\infty} n! a_{n}$ sé samleitin?

373.

Fyrir hvaða gildi $r > 0,$ ef þau eru einhver, er $\sum_{n = 1}^{\infty} r^{\sqrt{n}}$ samleitin? (Vísbending: $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \sum_{k = 1}^{\infty} \sum_{n = k^{2}}^{{(k + 1)}^{2} - 1} a_{n} .)$

374.

Gerum ráð fyrir að $| \frac{a_{n + 2}}{a_{n}} | \leq r < 1$ fyrir öll $n .$ Er hægt að álykta að $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sé samleitin?

375.

Látum $a_{n} = 2^{− [n / 2]}$ , þar sem $[x]$ er stærsta heiltalan sem er minni en eða jöfn $x .$ Ákvarðið hvort $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sé samleitin og rökstyðjið svarið.

Í eftirfarandi erfiðari verkefnum er alhæft kvótapróf notað til að ákvarða samleitni raða sem koma fyrir í tilteknum hagnýtingum þegar prófin í þessum kafla, þar á meðal kvótaprófið og rótarprófið, nægja ekki til að ákvarða samleitnina. Samkvæmt prófinu gildir að ef $lim_{n \to \infty} \frac{a_{2 n}}{a_{n}} < 1 / 2,$ þá er $\sum a_{n}$ samleitin, en ef $lim_{n \to \infty} \frac{a_{2 n + 1}}{a_{n}} > 1 / 2,$ þá er $\sum a_{n}$ ósamleitin.

376.

Látum $a_{n} = \frac{1}{4} \frac{3}{6} \frac{5}{8} ⋯ \frac{2 n - 1}{2 n + 2} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2 n - 1)}{2^{n} (n + 1)!} .$ Útskýrið hvers vegna kvótaprófið getur ekki ákvarðað samleitni raðarinnar $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} .$ Notið að $1 - 1 / (4 k)$ vex með $k$ til að meta $lim_{n \to \infty} \frac{a_{2 n}}{a_{n}} .$

377.

Látum $a_{n} = \frac{1}{1 + x} \frac{2}{2 + x} ⋯ \frac{n}{n + x} \frac{1}{n} = \frac{(n - 1)!}{(1 + x) (2 + x) ⋯ (n + x)} .$ Sýnið að $a_{2 n} / a_{n} \leq e^{− x / 2} / 2 .$ Fyrir hvaða $x > 0$ leiðir alhæfða kvótaprófið til samleitni raðarinnar $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} ?$ (Vísbending: Ritið $2 a_{2 n} / a_{n}$ sem margfeldi $n$ þátta sem hver er minni en $1 / (1 + x / (2 n)) .)$

378.

Látum $a_{n} = \frac{n^{ln n}}{{(ln n)}^{n}} .$ Sýnið að $\frac{a_{2 n}}{a_{n}} \to 0$ þegar $n \to \infty .$

55 Runur og raðir

5.6 Kvóta- og rótarpróf

Námsmarkmið

5.6.1 Nota kvótaprófið til að ákvarða alsamleitni raðar.
5.6.2 Nota rótarprófið til að ákvarða alsamleitni raðar.
5.6.3 Lýsa aðferð við að kanna samleitni gefinnar raðar.

Í þessum kafla höfum við séð að ekkert eitt samleitnipróf hentar öllum röðum. Í lok þessa hluta fjöllum við því um aðferð við að velja samleitnipróf fyrir gefna röð.

Kvótaprófið

Sönnun

Látum $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ vera röð með liðum sem eru ekki núll.

| | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | - ρ | < ε fyrir öll n \geq N .

Því gildir

| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | < ρ + ε = R fyrir öll n \geq N

og þar með

\begin{array}{l} | a_{N + 1} | < R | a_{N} | \\ | a_{N + 2} | < R | a_{N + 1} | < R^{2} | a_{N} | \\ | a_{N + 3} | < R | a_{N + 2} | < R^{2} | a_{N + 1} | < R^{3} | a_{N} | \\ | a_{N + 4} | < R | a_{N + 3} | < R^{2} | a_{N + 2} | < R^{3} | a_{N + 1} | < R^{4} | a_{N} | \\ ⋮ . \end{array}

Þar sem $R < 1,$ er geómetríska röðin

R | a_{N} | + R^{2} | a_{N} | + R^{3} | a_{N} | + ⋯

samleitin. Samkvæmt ójöfnunum hér að framan getum við beitt samanburðarprófinu og ályktað að röðin

| a_{N + 1} | + | a_{N + 2} | + | a_{N + 3} | + | a_{N + 4} | + ⋯

sé samleitin. Þar sem

\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} | = \sum_{n = 1}^{N} | a_{n} | + \sum_{n = N + 1}^{\infty} | a_{n} |

þar sem $\sum_{n = 1}^{N} | a_{n} |$ er endanleg summa og $\sum_{n = N + 1}^{\infty} | a_{n} |$ er samleitin, ályktum við að $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ sé samleitin.

Sönnum nú ii-lið.

Gerum nú ráð fyrir að $ρ = (\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}) > 1$ .

Þá er til $N$ þannig að $(\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}) > 1$ fyrir öll $n \geq N$ .

Þá gildir $(a_{n -}) > (a_{n})$ .

Þar sem $(a_{n -}) > (a_{n})$ fyrir öll $n \geq N$ vitum við að $(a_{n}) \neq 0$ .

Af þessu leiðir að $(a_{n}) \neq 0$ .

Samkvæmt sundurleitniprófinu er röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ ósamleitin.

| a_{N + 1} | + | a_{N + 2} | + | a_{N + 3} | + ⋯

er ósamleitin og því er röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ ósamleitin.

Fyrir iii-lið sýnum við að prófið gefur engar upplýsingar ef $ρ = 1$ með því að skoða $p - röð$ $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{p} .$ Fyrir sérhverja rauntölu $p,$

ρ = lim_{n \to \infty} \frac{1 / {(n + 1)}^{p}}{1 / n^{p}} = lim_{n \to \infty} \frac{n^{p}}{{(n + 1)}^{p}} = 1 .

Við vitum hins vegar að ef $p \leq 1,$ er $p - röð$ $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{p}$ ósamleitin, en $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{p}$ er samleitin ef $p > 1 .$

□

Dæmi 5.23

Kvótaprófið notað

Notið kvótaprófið til að ákvarða hvort eftirfarandi raðir séu samleitnar eða ósamleitnar.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n} {(n!)}^{2}}{(2 n)!}$

Lausn

Af kvótaprófinu sjáum við að
$ρ = lim_{n \to \infty} \frac{2^{n + 1} / (n + 1)!}{2^{n} / n!} = lim_{n \to \infty} \frac{2^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{2^{n}} .$

Þar sem $(n + 1)! = (n + 1) \cdot n!,$

$ρ = lim_{n \to \infty} \frac{2}{n + 1} = 0 .$

Þar sem $ρ < 1,$ er röðin samleitin.
Við sjáum að
$\begin{matrix} ρ & = lim_{n \to \infty} \frac{{(n + 1)}^{n + 1} / (n + 1)!}{n^{n} / n!} \\ = lim_{n \to \infty} \frac{{(n + 1)}^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{n^{n}} \\ = lim_{n \to \infty} {(\frac{n + 1}{n})}^{n} = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e . \end{matrix}$

Þar sem $ρ > 1,$ er röðin ósamleitin.
Þar sem
$\begin{matrix} | \frac{{(−1)}^{n + 1} {((n + 1)!)}^{2} / (2 (n + 1))!}{{(−1)}^{n} {(n!)}^{2} / (2 n)!} | & = \frac{(n + 1)! (n + 1)!}{(2 n + 2)!} \cdot \frac{(2 n)!}{n! n!} \\ = \frac{(n + 1) (n + 1)}{(2 n + 2) (2 n + 1)} \end{matrix}$

sjáum við að
$ρ = lim_{n \to \infty} \frac{(n + 1) (n + 1)}{(2 n + 2) (2 n + 1)} = \frac{1}{4} .$

Þar sem $ρ < 1,$ er röðin samleitin.

Rótarprófið

| a_{N} | + | a_{N + 1} | + | a_{N + 2} | + ⋯ \approx ρ^{N} + ρ^{N + 1} + ρ^{N + 2} + ⋯ .

ρ = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| \frac{1}{n^{p}} |} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{p / n}} .

Til að reikna þetta markgildi notum við náttúrlega lografallið. Þá sjáum við að

ln ρ = ln (lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{p / n}}) = lim_{n \to \infty} ln {(\frac{1}{n})}^{p / n} = lim_{n \to \infty} \frac{p}{n} \cdot ln (\frac{1}{n}) = lim_{n \to \infty} \frac{p ln (1 / n)}{n} .

Með reglu l’Hôpital fæst $ln ρ = 0,$ og því $ρ = 1$ fyrir öll $p .$ Við vitum hins vegar að p-röðin er aðeins samleitin ef $p > 1$ og ósamleitin ef $p < 1 .$

Dæmi 5.24

Rótarprófið notað

Notið rótarprófið til að ákvarða hvort eftirfarandi raðir séu samleitnar eða ósamleitnar.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(n^{2} + 3 n)}^{n}}{{(4 n^{2} + 5)}^{n}}$
$\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n^{n}}{{(ln (n))}^{n}}$

Lausn

Til að beita rótarprófinu reiknum við
$ρ = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{{(n^{2} + 3 n)}^{n} / {(4 n^{2} + 5)}^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + 3 n}{4 n^{2} + 5} = \frac{1}{4} .$

Þar sem $ρ < 1,$ er röðin alsamleitin.
Við höfum
$ρ = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^{n} / {(ln n)}^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{n}{ln n} = \infty samkvæmt reglu l’Hôpital .$

Þar sem $ρ = \infty,$ er röðin ósamleitin.

Val samleitniprófs

Lausnarleið

Samleitnipróf valið fyrir röð

Lítum á röðina $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} .$ Í skrefunum hér á eftir lýsum við aðferð til að ákvarða hvort röðin sé samleitin.

Er $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ kunnugleg röð? Er hún til dæmis harmoníska röðin, sem er ósamleitin, eða víxlmerkta harmoníska röðin, sem er samleitin? Er hún $p - röð$ eða geómetrísk röð? Ef svo er skal kanna veldisvísinn $p$ eða hlutfallstöluna $r$ til að ákvarða hvort röðin sé samleitin.
Er hún víxlmerkjaröð? Höfum við áhuga á alsamleitni eða aðeins samleitni? Ef aðeins á að kanna hvort röðin sé samleitin skal beita prófinu fyrir víxlmerkjaraðir. Ef kanna á alsamleitni skal fara í skref $3,$ og skoða röð tölugildanna $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} | .$
Líkist röðin $p - röð$ eða geómetrískri röð? Ef svo er skal prófa samanburðarprófið eða samanburð með markgildi.
Innihalda liðir raðarinnar aðfeldi eða veldi? Ef liðirnir eru veldi þannig að $a_{n} = b_{n}^{n},$ skal prófa rótarprófið fyrst. Annars skal prófa kvótaprófið fyrst.
Notið sundurleitniprófið. Ef það gefur engar upplýsingar skal prófa heildisprófið.

Dæmi 5.25

Samleitnipróf notuð

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} + 2 n}{n^{3} + 3 n^{2} + 1}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n + 1} (3 n + 1)}{n!}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{n}}{n^{3}}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3^{n}}{{(n + 1)}^{n}}$

Lausn

Skref 1. Röðin er hvorki $p - röð$ né geómetrísk röð. Skref 2. Röðin er ekki víxlmerkjaröð. Skref 3. Fyrir stór gildi

$n,$ nálgum við lið raðarinnar með segðinni
$\frac{n^{2} + 2 n}{n^{3} + 3 n^{2} + 1} \approx \frac{n^{2}}{n^{3}} = \frac{1}{n} .$

Því virðist eðlilegt að beita samanburðarprófinu eða samanburði með markgildi við röðina $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n .$ Með samanburði með markgildi sjáum við að
$lim_{n \to \infty} \frac{(n^{2} + 2 n) / (n^{3} + 3 n^{2} + 1)}{1 / n} = lim_{n \to \infty} \frac{n^{3} + 2 n^{2}}{n^{3} + 3 n^{2} + 1} = 1 .$

Þar sem röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n$ er ósamleitin er þessi röð einnig ósamleitin.
Skref 1. Röðin er ekki kunnugleg röð. Skref 2. Röðin er víxlmerkjaröð. Þar sem við höfum áhuga á alsamleitni skoðum við röðina

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3 n}{(n + 1)!} .$

Skref 3. Röðin líkist hvorki p-röð né geómetrískri röð. Skref 4. Þar sem hver liður inniheldur aðfeldi beitum við kvótaprófinu. Við sjáum að

$lim_{n \to \infty} \frac{(3 (n + 1)) / (n + 1)!}{(3 n + 1) / n!} = lim_{n \to \infty} \frac{3 n + 3}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{3 n + 1} = lim_{n \to \infty} \frac{3 n + 3}{(n + 1) (3 n + 1)} = 0 .$

Því er þessi röð samleitin og við ályktum að upphaflega röðin sé alsamleitin og þar með samleitin.
Skref 1. Röðin er ekki kunnugleg röð. Skref 2. Hún er ekki víxlmerkjaröð. Skref 3. Engin augljós röð er til samanburðar. Skref 4. Ekkert aðfeldi kemur fyrir. Veldi kemur fyrir, en aðstæður henta rótarprófinu ekki vel. Skref 5. Til að beita sundurleitniprófinu reiknum við

$lim_{n \to \infty} \frac{e^{n}}{n^{3}} = \infty .$

Samkvæmt sundurleitniprófinu er röðin því ósamleitin.
Skref 1. Röðin er ekki kunnugleg röð. Skref 2. Hún er ekki víxlmerkjaröð. Skref 3. Engin augljós röð er til samanburðar. Skref 4. Þar sem hver liður er veldi af

$n,$ getum við beitt rótarprófinu. Þar sem
$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{{(\frac{3}{n + 1})}^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{3}{n + 1} = 0,$

ályktum við af rótarprófinu að röðin sé samleitin.

Röð eða próf	Niðurstöður	Athugasemdir
$Sundurleitniprófið. Fyrir sérhverja röð ∑ n = 1 ∞ a n, skal reikna lim n \to ∞ a n .$	$Ef lim n \to ∞ a n = 0, gefur prófið enga niðurstöðu.$	Þetta próf getur ekki sannað samleitni raðar.
$Ef lim n \to ∞ a n ≠ 0, er röðin ósamleitin.$
Geómetrískar raðir ∑ n = 1 ∞ a r n − 1	Ef \| r \| < 1 , stefnir röðin á a / ( 1 − r ) .	Sérhverri geómetrískri röð má endurvísa þannig að hún sé rituð á forminu a + a r + a r 2 + ⋯ , þar sem a er upphafsliðurinn og r er hlutfallstalan.
Ef \| r \| ≥ 1 , er röðin ósamleitin.
p-röð ∑ n = 1 ∞ 1/n p	Ef p > 1 , er röðin samleitin.	Fyrir p = 1 , fæst harmoníska röðin ∑ n = 1 ∞ 1 / n .
Ef p ≤ 1 , er röðin ósamleitin.
Samanburðarprófið. Fyrir ∑ n = 1 ∞ a n með óneikvæðum liðum skal bera saman við þekkta röð ∑ n = 1 ∞ b n .	Ef a n ≤ b n fyrir öll n ≥ N og ∑ n = 1 ∞ b n er samleitin þá er ∑ n = 1 ∞ a n samleitin.	Yfirleitt notað fyrir röð sem líkist geómetrískri röð eða p-röð. Stundum getur verið erfitt að finna hentuga röð.
Ef a n ≥ b n fyrir öll n ≥ N og ∑ n = 1 ∞ b n er ósamleitin þá er ∑ n = 1 ∞ a n ósamleitin.
$Samanburður með markgildi. Fyrir ∑ n = 1 ∞ a n með jákvæðum liðum skal bera saman við röð ∑ n = 1 ∞ b n með því að reikna L = lim n \to ∞ a n/b n .$	Ef L er rauntala og L ≠ 0 , þá eru ∑ n = 1 ∞ a n og ∑ n = 1 ∞ b n annaðhvort báðar samleitnar eða báðar ósamleitnar.	Yfirleitt notað fyrir röð sem líkist geómetrískri röð eða p-röð. Oft auðveldara í notkun en samanburðarprófið.
Ef L = 0 og ∑ n = 1 ∞ b n er samleitin þá er ∑ n = 1 ∞ a n samleitin.
Ef L = ∞ og ∑ n = 1 ∞ b n er ósamleitin þá er ∑ n = 1 ∞ a n ósamleitin.
Heildisprófið. Ef til er jákvætt, samfellt og fallandi fall f þannig að a n = f ( n ) fyrir öll n ≥ N , skal reikna ∫ N ∞ f ( x ) d x .	∫ N ∞ f ( x ) d x og ∑ n = 1 ∞ a n eru annaðhvort bæði samleit eða bæði ósamleit.	Takmarkast við raðir þar sem auðvelt er að heilda samsvarandi fall f.
Víxlmerkjaraðir ∑ n = 1 ∞ ( −1 ) n + 1 b n eða ∑ n = 1 ∞ ( −1 ) n b n	$Ef b n + 1 ≤ b n fyrir öll n ≥ 1 og b n \to 0, þá er röðin samleitin.$	Á aðeins við um víxlmerkjaraðir.
$Kvótaprófið. Fyrir sérhverja röð ∑ n = 1 ∞ a n með liðum sem eru ekki núll skal láta ρ = lim n \to ∞ \| a n + 1/a n \| .$	Ef 0 ≤ ρ < 1 , er röðin alsamleitin.	Oft notað fyrir raðir sem innihalda aðfeldi eða veldisliði.
Ef ρ > 1 eða ρ = ∞ , er röðin ósamleitin.
Ef ρ = 1 , gefur prófið enga niðurstöðu.
$Rótarprófið. Fyrir sérhverja röð ∑ n = 1 ∞ a n, skal láta ρ = lim n \to ∞ \| a n \| n .$	Ef 0 ≤ ρ < 1 , er röðin alsamleitin.	Oft notað fyrir raðir þar sem \| a n \| = b n n .
Ef ρ > 1 eða ρ = ∞ , er röðin ósamleitin.
Ef ρ = 1 , gefur prófið enga niðurstöðu.

Nemendaverkefni

Raðir sem stefna á $π$ og $1 / π$

Röðina
$π = 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n + 1}}{2 n - 1} = 4 - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - ⋯$

uppgötvuðu Gregory og Leibniz seint á 1600-árunum. Þessi niðurstaða leiðir af Maclaurin-röðinni fyrir f(x)=tan−1x. Fjallað verður um þessa röð í næsta kafla. Sannið að röðin sé samleitin. Reiknið hlutsummurnar
2. $S_{n}$ fyrir $n = 10, 20, 50, 100 .$
3. $R_{n} .$
4. $N$ sem tryggir $| R_{N} | < 0.01 ?$ Reiknið $S_{N} .$
Röðin
$\begin{matrix} π & = 6 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2 n)!}{2^{4 n + 1} {(n!)}^{2} (2 n + 1)} \\ = 6 (\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 5} \cdot {(\frac{1}{2})}^{5} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7} {(\frac{1}{2})}^{7} + ⋯) \end{matrix}$

hefur verið eignuð Newton seint á 1600-árunum. Sönnun niðurstöðunnar notar Maclaurin-röðina fyrir f(x)=sin−1x.
Sannið að röðin sé samleitin. Reiknið hlutsummurnar
2. $S_{n}$ fyrir $n = 5, 10, 20 .$
3. $S_{n}$ saman við $π$ fyrir $n = 5, 10, 20$ og ræðið fjölda réttra aukastafa.
Röðina
$\frac{1}{π} = \frac{\sqrt{8}}{9801} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n)! (1103 + 26390 n)}{{(n!)}^{4} 396^{4 n}}$

uppgötvaði Ramanujan snemma á 1900-árunum. William Gosper yngri notaði röðina til að reikna π með meira en 17 milljóna tölustafa nákvæmni á miðjum1980-árunum. Það var þá heimsmet. Síðan hafa þessi röð og aðrar raðir Ramanujans orðið stærðfræðingum tilefni til að finna margar aðrar raðaframsetningar fyrir π og 1/π.
Sannið að röðin sé samleitin. Reiknið fyrsta lið raðarinnar. Berið töluna saman við gildi
2. $π$ úr reiknivél. Að hve mörgum aukastöfum eru tölurnar jafnar? Hvað gerist ef fyrstu tveir liðir raðarinnar eru lagðir saman? Kynnið ykkur ævi Srinivasa Ramanujans
3. $(1887 – 1920)$ og skrifið stutta samantekt. Ævisaga Ramanujans er ein sú áhugaverðasta í sögu stærðfræðinnar. Hann var að mestu sjálfmenntaður og án formlegrar stærðfræðimenntunar en lagði engu að síður margt frumlegt af mörkum á ýmsum sviðum æðri stærðfræði.

Æfingar í undirkafla 5.6

317.

$a_{n} = 1 / n!$

318.

$a_{n} = 10^{n} / n!$

319.

$a_{n} = n^{2} / 2^{n}$

320.

$a_{n} = n^{10} / 2^{n}$

321.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(n!)}^{3}}{(3 n)!}$

322.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{3 n} {(n!)}^{3}}{(3 n)!}$

323.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 n)!}{n^{2 n}}$

324.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 n)!}{{(2 n)}^{n}}$

325.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{{(n / e)}^{n}}$

326.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 n)!}{{(n / e)}^{2 n}}$

327.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(2^{n} n!)}^{2}}{{(2 n)}^{2 n}}$

Notið rótarprófið til að ákvarða hvort $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sé samleitin, þar sem liðurinn $a_{n}$ er skilgreindur hér á eftir.

328.

$a_{k} = {(\frac{k - 1}{2 k + 3})}^{k}$

329.

$a_{k} = {(\frac{2 k^{2} - 1}{k^{2} + 3})}^{k}$

330.

$a_{n} = \frac{{(ln n)}^{2 n}}{n^{n}}$

331.

$a_{n} = n / 2^{n}$

332.

$a_{n} = n / e^{n}$

333.

$a_{k} = \frac{k^{e}}{e^{k}}$

334.

$a_{k} = \frac{π^{k}}{k^{π}}$

335.

$a_{n} = {(\frac{1}{e} + \frac{1}{n})}^{n}$

336.

$a_{k} = \frac{1}{{(1 + ln k)}^{k}}$

Í þessu verkefni skal láta n hefjast á 2.

337.

$a_{n} = \frac{{(ln (1 + ln n))}^{n}}{{(ln n)}^{n}}$

338.

$a_{k} = \frac{k!}{1 \cdot 3 \cdot 5 ⋯ (2 k - 1)}$

339.

$a_{k} = \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 ⋯ 2 k}{(2 k)!}$

340.

$a_{k} = \frac{1 \cdot 4 \cdot 7 ⋯ (3 k - 2)}{3^{k} k!}$

341.

$a_{n} = {(1 - \frac{1}{n})}^{n^{2}}$

342.

$a_{k} = {(\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + ⋯ + \frac{1}{2 k})}^{k}$ (Vísbending: Berið $a_{k}^{1 / k}$ saman við $\int_{k}^{2 k} \frac{d t}{t} .)$

343.

$a_{k} = {(\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + ⋯ + \frac{1}{3 k})}^{k}$

344.

$a_{n} = {(n^{1 / n} - 1)}^{n}$

Notið kvótaprófið til að ákvarða hvort $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sé samleitin eða takið fram að kvótaprófið gefi enga niðurstöðu.

345.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3^{n^{2}}}{2^{n^{3}}}$

346.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n^{2}}}{n^{n} n!}$

Notið rótarprófið og samanburð með markgildi til að ákvarða hvort $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sé samleitin.

347.

$a_{n} = 1 / x_{n}^{n}$ þar sem $x_{n + 1} = \frac{1}{2} x_{n} + \frac{1}{x_{n}},$ $x_{1} = 1$ (Vísbending: Finnið markgildi ${x_{n}} .)$

Notið hentugt próf í eftirfarandi verkefnum til að ákvarða hvort röðin sé samleitin.

348.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(n + 1)}{n^{3} + n^{2} + n + 1}$

349.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n + 1} (n + 1)}{n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1}$

350.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(n + 1)}^{2}}{n^{3} + {(1.1)}^{n}}$

351.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(n - 1)}^{n}}{{(n + 1)}^{n}}$

352.

$a_{n} = {(1 + \frac{1}{n^{2}})}^{n}$ (Vísbending: ${(1 + \frac{1}{n^{2}})}^{n^{2}} \approx e .)$

353.

$a_{k} = 1 / 2^{{sin}^{2} k}$

354.

$a_{k} = 2^{− sin (1 / k)}$

355.

$a_{n} = 1 / (\begin{matrix} n + 2 \\ n \end{matrix})$ þar sem $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$

356.

$a_{k} = 1 / (\begin{array}{l} 2 k \\ k \end{array})$

357.

$a_{k} = 2^{k} / (\begin{array}{l} 3 k \\ k \end{array})$

358.

$a_{k} = {(\frac{k}{k + ln k})}^{k}$ (Vísbending: $a_{k} = {(1 + \frac{ln k}{k})}^{− (k / ln k) ln k} \approx e^{− ln k} .)$

359.

$a_{k} = {(\frac{k}{k + ln k})}^{2 k}$ (Vísbending: $a_{k} = {(1 + \frac{ln k}{k})}^{− (k / ln k) ln k^{2}} .)$

360.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{2^{k}}$ (Vísbending: Látum $a_{k} = k$ og $b_{k} = 2^{1 - k} .)$

361.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{c^{k}},$ þar sem $c > 1$ (Vísbending: Látum $a_{k} = k$ og $b_{k} = c^{1 - k} / (c - 1) .)$

362.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}$

363.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(n + 1)}^{2}}{2^{n}}$

k-ti liður hverrar eftirfarandi raðar hefur þáttinn $x^{k} .$ Finnið þau gildi $x$ sem kvótaprófið sýnir að leiði til samleitni raðarinnar.

364.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k^{2}}$

365.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{k^{2}}$

366.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{3^{k}}$

367.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!}$

368.

Er til tala $p$ þannig að $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n^{p}}$ sé samleitin?

369.

Látum $0 < r < 1 .$ Fyrir hvaða rauntölur $p$ er $\sum_{n = 1}^{\infty} n^{p} r^{n}$ samleitin?

370.

Gerum ráð fyrir að $lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = p .$ Fyrir hvaða gildi $p$ hlýtur $\sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n} a_{n}$ að vera samleitin?

371.

Gerum ráð fyrir að $lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = p .$ Fyrir hvaða gildi $r > 0$ er tryggt að $\sum_{n = 1}^{\infty} r^{n} a_{n}$ sé samleitin?

372.

373.

374.

Gerum ráð fyrir að $| \frac{a_{n + 2}}{a_{n}} | \leq r < 1$ fyrir öll $n .$ Er hægt að álykta að $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sé samleitin?

375.

Látum $a_{n} = 2^{− [n / 2]}$ , þar sem $[x]$ er stærsta heiltalan sem er minni en eða jöfn $x .$ Ákvarðið hvort $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sé samleitin og rökstyðjið svarið.

376.

377.

378.

Látum $a_{n} = \frac{n^{ln n}}{{(ln n)}^{n}} .$ Sýnið að $\frac{a_{2 n}}{a_{n}} \to 0$ þegar $n \to \infty .$