99.8 Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna

9.8.2 Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna, hluti 2

9.8.2 • Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna, hluti 2

Verkefni

Hér er ein leið til að skilja hvernig jöfnuformúla annars stigs jafna varð til. Skoðaðu útleiðsluna þar til þú getur útskýrt hvað gerðist í hverju skrefi. Skrifaðu niður útskýringu fyrir hvert skref.

Upphafleg jafna

a x^{2} + b x + c = 0

Skref 1

4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c = 0

Skref 2

4 a^{2} x^{2} + 4 a b x = - 4 a c

Skref 3

{(2 a x)}^{2} + 2 b (2 a x) = - 4 a c

Skref 4

M^{2} + 2 b M = - 4 a c

Skref 5

M^{2} + 2 b M + b^{2} = - 4 a c + b^{2}

Skref 6

{(M + b)}^{2} = b^{2} - 4 a c

Skref 7

{(M + b)}^{2} = b^{2} - 4 a c

M + b = \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}

Skref 8

M = - b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}

Skref 9

2 a x = - b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}

Skref 10

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Berðu saman svarið þitt:

Upphafleg jafna

a x^{2} + b x + c = 0

Skref 1 - Margfaldaðu báðar hliðar með 4a svo stuðull x²-liðarins verði ferningstala.

4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c = 0

Skref 2 - Einangraðu fastaliðinn hægra megin.

4 a^{2} x^{2} + 4 a b x = - 4 a c

Skref 3 - Ritaðu ferningsliðinn sem (2ax)² og línulega liðinn sem 2b(2ax).

{(2 a x)}^{2} + 2 b (2 a x) = - 4 a c

Skref 4 - Notaðu M sem staðgengil fyrir 2ax.

M^{2} + 2 b M = - 4 a c

Skref 5 - Bættu b² við báðar hliðar til að fylla í ferninginn.

M^{2} + 2 b M + b^{2} = - 4 a c + b^{2}

Skref 6 - Þáttaðu vinstri hliðina sem ferning tvíliðar og víxlaðu röð liðanna hægra megin.

{(M + b)}^{2} = b^{2} - 4 a c

Skref 7 - Taktu ferningsrót af báðum hliðum.

{(M + b)}^{2} = b^{2} - 4 a c

M + b = \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}

Skref 8 - Dragðu b frá báðum hliðum til að einangra M.

M = - b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}

Skref 9 - Skiptu M aftur út fyrir 2ax.

2 a x = - b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}

Skref 10 - Deildu báðum hliðum með 2a til að einangra x.

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Meira til að hugsa um

Hér er önnur leið til að leiða út jöfnuformúlu annars stigs jafna með því að fylla í ferninginn.

Fyrst er báðum hliðum jöfnunnar ax² + bx + c = 0 deilt með a. Þá fæst x² + (b/a)x + c/a = 0.
Síðan er fyllt í ferninginn fyrir jöfnuna x² + (b/a)x + c/a = 0.

Í verkefnum 1-10 skaltu útskýra stuttlega hvað gerist í hverju skrefi með því að svara spurningunni.

Upphafleg jafna

x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0

Skref 1 - Hvaða fastalið á að draga frá báðum hliðum?

Berðu saman svarið þitt:

- \frac{c}{a}

Nú lítur jafnan svona út:

x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}

Skref 2 - Hvaða lið þurfum við að bæta við báðar hliðar til að fylla í ferninginn?

Berðu saman svarið þitt:

{(\frac{b}{2 a})}^{2}

Til að fylla í ferninginn bætum við þessum lið við báðar hliðar. Nú lítur jafnan svona út:

x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}

Taktu eftir að nefnararnir vinstra megin eru ekki eins í öðrum og þriðja liðnum. Til að fá sameiginlega nefnarann 2a í miðliðnum margföldum við hann með stuðlinum 2/2.

x^{2} + \frac{2}{2} (\frac{b}{a}) x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}

Ef þáttunum í miðliðnum er raðað öðruvísi fæst:

x^{2} + 2 (\frac{b}{2 a}) x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}

Skref 3 - Nú getum við fyllt í ferninginn. Hvaða tvíliður er hafinn í annað veldi vinstra megin?

Berðu saman svarið þitt:

x + \frac{b}{2 a}

Nú lítur jafnan svona út:

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}

Skref 4 - Næst leggjum við saman brotin hægra megin í jöfnunni. Hver verður samnefnarinn?

Berðu saman svarið þitt: Samnefnarinn verður 4a².

4 a^{2}

Nú lítur jafnan svona út:

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{- 4 a c}{4 a^{2}} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}

Skref 5 - Þegar brotin hægra megin eru lögð saman, hver verður teljari nýja brotsins?

Berðu saman svarið þitt:

b^{2} - 4 a c

Nú lítur jafnan svona út:

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}

Skref 6 - Hvaða næsta skref þarf að taka til að einangra x vinstra megin?

Berðu saman svarið þitt: Taktu ferningsrót af báðum hliðum.

Mundu að setja plús-mínusmerkið fyrir framan rótarmerkið. Nú lítur jafnan svona út:

x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}

Skref 7 - Hvernig má einfalda ferningsrótina?

Berðu saman svarið þitt: Ferningsrót af broti er ferningsrót teljarans deilt með ferningsrót nefnarans.

\sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} = \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{\sqrt{4 a^{2}}}

Skref 8 - Hver er nefnari brotsins hægra megin eftir einföldun?

Berðu saman svarið þitt:

2 a

Nú lítur jafnan svona út:

x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Skref 9 - Hvert er næsta skref til að einangra x vinstra megin í jöfnunni?

Berðu saman svarið þitt: Dragðu b/(2a) frá báðum hliðum.

\frac{b}{2 a}

Nú lítur jafnan svona út:

x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Skref 10 - Hvað tekur þú eftir um nefnara beggja brotanna hægra megin?

Berðu saman svarið þitt: Þeir eru eins.

Leggðu brotin saman og þá fæst niðurstaðan, jöfnuformúla annars stigs jafna:

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Viðbótarefni

Almenn leið til að leiða út jöfnuformúlu annars stigs jafna

Fyrir almenna annars stigs jöfnu er a stuðull x²-liðarins og a má ekki vera 0. Útleiðslan hér að ofan sýnir að þegar fyllt er í ferninginn fæst sama formúlan fyrir x.

a \neq 0

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Reyndu

Notaðu almennu leiðina. Hvaða skref kemur á eftir þessari jöfnu?

x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}

Lausn: Markmiðið er að einangra x. Dragðu b/(2a) frá báðum hliðum. Þá fæst:

x = - \frac{b}{2 a} \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}

Síðan má einfalda rótarliðinn og sameina brotin þannig að jöfnuformúla annars stigs jafna fáist.

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

99.8 Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna

9.8.2 Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna, hluti 2

9.8.2 • Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna, hluti 2

Verkefni

Upphafleg jafna

a x^{2} + b x + c = 0

Skref 1

4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c = 0

Skref 2

4 a^{2} x^{2} + 4 a b x = - 4 a c

Skref 3

{(2 a x)}^{2} + 2 b (2 a x) = - 4 a c

Skref 4

M^{2} + 2 b M = - 4 a c

Skref 5

M^{2} + 2 b M + b^{2} = - 4 a c + b^{2}

Skref 6

{(M + b)}^{2} = b^{2} - 4 a c

Skref 7

{(M + b)}^{2} = b^{2} - 4 a c

M + b = \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}

Skref 8

M = - b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}

Skref 9

2 a x = - b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}

Skref 10

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Berðu saman svarið þitt:

Upphafleg jafna

a x^{2} + b x + c = 0

Skref 1 - Margfaldaðu báðar hliðar með 4a svo stuðull x²-liðarins verði ferningstala.

4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c = 0

Skref 2 - Einangraðu fastaliðinn hægra megin.

4 a^{2} x^{2} + 4 a b x = - 4 a c

Skref 3 - Ritaðu ferningsliðinn sem (2ax)² og línulega liðinn sem 2b(2ax).

{(2 a x)}^{2} + 2 b (2 a x) = - 4 a c

Skref 4 - Notaðu M sem staðgengil fyrir 2ax.

M^{2} + 2 b M = - 4 a c

Skref 5 - Bættu b² við báðar hliðar til að fylla í ferninginn.

M^{2} + 2 b M + b^{2} = - 4 a c + b^{2}

Skref 6 - Þáttaðu vinstri hliðina sem ferning tvíliðar og víxlaðu röð liðanna hægra megin.

{(M + b)}^{2} = b^{2} - 4 a c

Skref 7 - Taktu ferningsrót af báðum hliðum.

{(M + b)}^{2} = b^{2} - 4 a c

M + b = \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}

Skref 8 - Dragðu b frá báðum hliðum til að einangra M.

M = - b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}

Skref 9 - Skiptu M aftur út fyrir 2ax.

2 a x = - b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}

Skref 10 - Deildu báðum hliðum með 2a til að einangra x.

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Meira til að hugsa um

Hér er önnur leið til að leiða út jöfnuformúlu annars stigs jafna með því að fylla í ferninginn.

Fyrst er báðum hliðum jöfnunnar ax² + bx + c = 0 deilt með a. Þá fæst x² + (b/a)x + c/a = 0.
Síðan er fyllt í ferninginn fyrir jöfnuna x² + (b/a)x + c/a = 0.

Í verkefnum 1-10 skaltu útskýra stuttlega hvað gerist í hverju skrefi með því að svara spurningunni.

Upphafleg jafna

x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0

Skref 1 - Hvaða fastalið á að draga frá báðum hliðum?

Berðu saman svarið þitt:

- \frac{c}{a}

Nú lítur jafnan svona út:

x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}

Skref 2 - Hvaða lið þurfum við að bæta við báðar hliðar til að fylla í ferninginn?

Berðu saman svarið þitt:

{(\frac{b}{2 a})}^{2}

Til að fylla í ferninginn bætum við þessum lið við báðar hliðar. Nú lítur jafnan svona út:

x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}

Taktu eftir að nefnararnir vinstra megin eru ekki eins í öðrum og þriðja liðnum. Til að fá sameiginlega nefnarann 2a í miðliðnum margföldum við hann með stuðlinum 2/2.

x^{2} + \frac{2}{2} (\frac{b}{a}) x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}

Ef þáttunum í miðliðnum er raðað öðruvísi fæst:

x^{2} + 2 (\frac{b}{2 a}) x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}

Skref 3 - Nú getum við fyllt í ferninginn. Hvaða tvíliður er hafinn í annað veldi vinstra megin?

Berðu saman svarið þitt:

x + \frac{b}{2 a}

Nú lítur jafnan svona út:

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}

Skref 4 - Næst leggjum við saman brotin hægra megin í jöfnunni. Hver verður samnefnarinn?

Berðu saman svarið þitt: Samnefnarinn verður 4a².

4 a^{2}

Nú lítur jafnan svona út:

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{- 4 a c}{4 a^{2}} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}

Skref 5 - Þegar brotin hægra megin eru lögð saman, hver verður teljari nýja brotsins?

Berðu saman svarið þitt:

b^{2} - 4 a c

Nú lítur jafnan svona út:

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}

Skref 6 - Hvaða næsta skref þarf að taka til að einangra x vinstra megin?

Berðu saman svarið þitt: Taktu ferningsrót af báðum hliðum.

Mundu að setja plús-mínusmerkið fyrir framan rótarmerkið. Nú lítur jafnan svona út:

x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}

Skref 7 - Hvernig má einfalda ferningsrótina?

Berðu saman svarið þitt: Ferningsrót af broti er ferningsrót teljarans deilt með ferningsrót nefnarans.

\sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} = \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{\sqrt{4 a^{2}}}

Skref 8 - Hver er nefnari brotsins hægra megin eftir einföldun?

Berðu saman svarið þitt:

2 a

Nú lítur jafnan svona út:

x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Skref 9 - Hvert er næsta skref til að einangra x vinstra megin í jöfnunni?

Berðu saman svarið þitt: Dragðu b/(2a) frá báðum hliðum.

\frac{b}{2 a}

Nú lítur jafnan svona út:

x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Skref 10 - Hvað tekur þú eftir um nefnara beggja brotanna hægra megin?

Berðu saman svarið þitt: Þeir eru eins.

Leggðu brotin saman og þá fæst niðurstaðan, jöfnuformúla annars stigs jafna:

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Viðbótarefni

Almenn leið til að leiða út jöfnuformúlu annars stigs jafna

Fyrir almenna annars stigs jöfnu er a stuðull x²-liðarins og a má ekki vera 0. Útleiðslan hér að ofan sýnir að þegar fyllt er í ferninginn fæst sama formúlan fyrir x.

a \neq 0

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Reyndu

Notaðu almennu leiðina. Hvaða skref kemur á eftir þessari jöfnu?

x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}

Lausn: Markmiðið er að einangra x. Dragðu b/(2a) frá báðum hliðum. Þá fæst:

x = - \frac{b}{2 a} \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}

Síðan má einfalda rótarliðinn og sameina brotin þannig að jöfnuformúla annars stigs jafna fáist.

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}