99.8 Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna

9.8.1 Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna, hluti 1

9.8.1 • Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna, hluti 1

Verkefni

Ein leið til að leysa annars stigs jöfnuna er að fylla í ferninginn. Hér er jafna sem hefur verið leyst að hluta. Skoðaðu skref 1-4.

Upphafleg jafna

x^{2} + 5 x + 3 = 0

Skref 1 - Margfaldaðu báðar hliðar með 4. Það hjálpar okkur að forðast óþægileg brot. Almennt er margfaldað með fjórum sinnum stuðlinum við x²-liðinn; hér er stuðullinn 1, svo margfaldað er með 4.

4 x^{2} + 20 x + 12 = 0

Skref 2 - Dragðu 12 frá báðum hliðum.

4 x^{2} + 20 x = - 12

Skref 3 - Ritaðu 4x² sem (2x)² og 20x sem 10(2x).

{(2 x)}^{2} + 10 (2 x) = - 12

Skref 4 - Notaðu P sem staðgengil fyrir 2x.

P^{2} + 10 P = - 12

Í skrefum 5-11 skaltu láta P standa fyrir 2x og halda áfram að leysa fyrir x án þess að reikna út neinn hluta stæðunnar. Útskýrðu hvaða stærðfræðiaðgerð er framkvæmd í hverju skrefi.

Skref 5 - ______________________________

P^{2} + 10 P + {____}^{2} = - 12 + {____}^{2}

Skref 6 - ______________________________

{(P +____)}^{2} = - 12 + {____}^{2}

Skref 7 - ______________________________

{(P +____)}^{2} = - 12 + {____}^{2}

P +____= \pm \sqrt{- 12 + {____}^{2}}

Skref 8 - ______________________________

P =____\pm \sqrt{- 12 + {____}^{2}}

Skref 9 - ______________________________

P =____\pm \sqrt{{____}^{2} - 12}

Skref 10 - ______________________________

2 x =____\pm \sqrt{{____}^{2} - 12}

Skref 11 - ______________________________

x =

Berðu saman svarið þitt:

Skref 5 - Bættu við til að fylla í ferninginn.

P^{2} + 10 P + 5^{2} = - 12 + 5^{2}

Skref 6 - Ritaðu vinstri hliðina sem þátt í öðru veldi.

{(P + 5)}^{2} = - 12 + 5^{2}

Skref 7 - Taktu ferningsrót af báðum hliðum jöfnunnar.

{(P + 5)}^{2} = - 12 + 5^{2}

P + 5 = \pm \sqrt{- 12 + 5^{2}}

Skref 8 - Dragðu 5 frá báðum hliðum til að einangra P.

P = - 5 \pm \sqrt{- 12 + 5^{2}}

Skref 9 - Endurraðaðu stæðunni undir rótarmerkinu.

P = - 5 \pm \sqrt{5^{2} - 12}

Skref 10 - Settu 2x aftur inn fyrir P.

2 x = - 5 \pm \sqrt{5^{2} - 12}

Skref 11 - Deildu báðum hliðum með 2 til að einangra x.

x = \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 12}}{2}

Útskýrðu hvernig lausnin tengist jöfnuformúlu annars stigs jafna.

Berðu saman svarið þitt:

Tölurnar í lausninni eru gildin á a, b og c í upphaflegu jöfnunni. Hún er á staðalformi.

x^{2} + 5 x + 3 = 0

a x^{2} + b x + c = 0

Talan −5 er −b. Talan 5² er b². Talan 12, sem er 4(3)(1), er gildið á 4ac. Í upphaflegu jöfnunni er a = 1 og 2(1) = 2, sem er nefnarinn í lausninni.

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Viðbótarefni

Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna með dæmi

Hér er annað dæmi sem fer í gegnum útleiðsluferlið:

Upphafleg jafna

x^{2} + 7 x + 4 = 0

4 x^{2} + 28 x + 16 = 0

Skref 2 - Dragðu 16 frá báðum hliðum.

4 x^{2} + 28 x = - 16

Skref 3 - Ritaðu 4x² sem (2x)² og 28x sem 14(2x).

{(2 x)}^{2} + 14 (2 x) = - 16

Skref 4 - Notaðu P sem staðgengil fyrir 2x.

P^{2} + 14 P = - 16

Skref 5 - Bættu við til að fylla í ferninginn.

P^{2} + 14 P + 7^{2} = - 16 + 7^{2}

Skref 6 - Ritaðu vinstri hliðina sem þátt í öðru veldi.

{(P + 7)}^{2} = - 16 + 7^{2}

Skref 7 - Taktu ferningsrót af stæðunni hægra megin.

P + 7 = \pm \sqrt{- 16 + 7^{2}}

Skref 8 - Dragðu 7 frá báðum hliðum til að einangra P.

P = - 7 \pm \sqrt{- 16 + 7^{2}}

Skref 9 - Endurraðaðu stæðunni undir rótarmerkinu.

P = - 7 \pm \sqrt{7^{2} - 16}

Skref 10 - Settu 2x aftur inn fyrir P.

2 x = - 7 \pm \sqrt{7^{2} - 16}

Skref 11 - Deildu báðum hliðum með 2 til að einangra x.

x = \frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 16}}{2}

Taktu eftir að upphaflega jafnan hefur gildin a = 1, b = 7 og c = 4, og síðasta skrefið er á formi jöfnuformúlu annars stigs jafna.

y = x^{2} + 7 x + 4

a = 1, b = 7, c = 4

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Reyndu

Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna með dæmi

Jaiden var að leiða út jöfnuformúlu annars stigs jafna út frá annars stigs jöfnunni. Hvert er skrefið á eftir skrefinu sem sýnt er hér fyrir neðan?

x^{2} + 11 x + 5 = 0

{(x + \frac{11}{2})}^{2} = \frac{11^{2} - 4 (1) (5)}{4 (1)}

{(x + \frac{11}{2})}^{2} = \frac{121 - 20}{4}

Hér er hvernig má finna næsta skref: Til að einangra x skaltu taka ferningsrót af báðum hliðum.

\sqrt{{(x + \frac{11}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{121 - 20}{4}}

99.8 Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna

9.8.1 Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna, hluti 1

9.8.1 • Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna, hluti 1

Verkefni

Ein leið til að leysa annars stigs jöfnuna er að fylla í ferninginn. Hér er jafna sem hefur verið leyst að hluta. Skoðaðu skref 1-4.

Upphafleg jafna

x^{2} + 5 x + 3 = 0

4 x^{2} + 20 x + 12 = 0

Skref 2 - Dragðu 12 frá báðum hliðum.

4 x^{2} + 20 x = - 12

Skref 3 - Ritaðu 4x² sem (2x)² og 20x sem 10(2x).

{(2 x)}^{2} + 10 (2 x) = - 12

Skref 4 - Notaðu P sem staðgengil fyrir 2x.

P^{2} + 10 P = - 12

Skref 5 - ______________________________

P^{2} + 10 P + {____}^{2} = - 12 + {____}^{2}

Skref 6 - ______________________________

{(P +____)}^{2} = - 12 + {____}^{2}

Skref 7 - ______________________________

{(P +____)}^{2} = - 12 + {____}^{2}

P +____= \pm \sqrt{- 12 + {____}^{2}}

Skref 8 - ______________________________

P =____\pm \sqrt{- 12 + {____}^{2}}

Skref 9 - ______________________________

P =____\pm \sqrt{{____}^{2} - 12}

Skref 10 - ______________________________

2 x =____\pm \sqrt{{____}^{2} - 12}

Skref 11 - ______________________________

x =

Berðu saman svarið þitt:

Skref 5 - Bættu við til að fylla í ferninginn.

P^{2} + 10 P + 5^{2} = - 12 + 5^{2}

Skref 6 - Ritaðu vinstri hliðina sem þátt í öðru veldi.

{(P + 5)}^{2} = - 12 + 5^{2}

Skref 7 - Taktu ferningsrót af báðum hliðum jöfnunnar.

{(P + 5)}^{2} = - 12 + 5^{2}

P + 5 = \pm \sqrt{- 12 + 5^{2}}

Skref 8 - Dragðu 5 frá báðum hliðum til að einangra P.

P = - 5 \pm \sqrt{- 12 + 5^{2}}

Skref 9 - Endurraðaðu stæðunni undir rótarmerkinu.

P = - 5 \pm \sqrt{5^{2} - 12}

Skref 10 - Settu 2x aftur inn fyrir P.

2 x = - 5 \pm \sqrt{5^{2} - 12}

Skref 11 - Deildu báðum hliðum með 2 til að einangra x.

x = \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 12}}{2}

Útskýrðu hvernig lausnin tengist jöfnuformúlu annars stigs jafna.

Berðu saman svarið þitt:

Tölurnar í lausninni eru gildin á a, b og c í upphaflegu jöfnunni. Hún er á staðalformi.

x^{2} + 5 x + 3 = 0

a x^{2} + b x + c = 0

Talan −5 er −b. Talan 5² er b². Talan 12, sem er 4(3)(1), er gildið á 4ac. Í upphaflegu jöfnunni er a = 1 og 2(1) = 2, sem er nefnarinn í lausninni.

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Viðbótarefni

Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna með dæmi

Hér er annað dæmi sem fer í gegnum útleiðsluferlið:

Upphafleg jafna

x^{2} + 7 x + 4 = 0

4 x^{2} + 28 x + 16 = 0

Skref 2 - Dragðu 16 frá báðum hliðum.

4 x^{2} + 28 x = - 16

Skref 3 - Ritaðu 4x² sem (2x)² og 28x sem 14(2x).

{(2 x)}^{2} + 14 (2 x) = - 16

Skref 4 - Notaðu P sem staðgengil fyrir 2x.

P^{2} + 14 P = - 16

Skref 5 - Bættu við til að fylla í ferninginn.

P^{2} + 14 P + 7^{2} = - 16 + 7^{2}

Skref 6 - Ritaðu vinstri hliðina sem þátt í öðru veldi.

{(P + 7)}^{2} = - 16 + 7^{2}

Skref 7 - Taktu ferningsrót af stæðunni hægra megin.

P + 7 = \pm \sqrt{- 16 + 7^{2}}

Skref 8 - Dragðu 7 frá báðum hliðum til að einangra P.

P = - 7 \pm \sqrt{- 16 + 7^{2}}

Skref 9 - Endurraðaðu stæðunni undir rótarmerkinu.

P = - 7 \pm \sqrt{7^{2} - 16}

Skref 10 - Settu 2x aftur inn fyrir P.

2 x = - 7 \pm \sqrt{7^{2} - 16}

Skref 11 - Deildu báðum hliðum með 2 til að einangra x.

x = \frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 16}}{2}

Taktu eftir að upphaflega jafnan hefur gildin a = 1, b = 7 og c = 4, og síðasta skrefið er á formi jöfnuformúlu annars stigs jafna.

y = x^{2} + 7 x + 4

a = 1, b = 7, c = 4

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Reyndu

Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna með dæmi

Jaiden var að leiða út jöfnuformúlu annars stigs jafna út frá annars stigs jöfnunni. Hvert er skrefið á eftir skrefinu sem sýnt er hér fyrir neðan?

x^{2} + 11 x + 5 = 0

{(x + \frac{11}{2})}^{2} = \frac{11^{2} - 4 (1) (5)}{4 (1)}

{(x + \frac{11}{2})}^{2} = \frac{121 - 20}{4}

Hér er hvernig má finna næsta skref: Til að einangra x skaltu taka ferningsrót af báðum hliðum.

\sqrt{{(x + \frac{11}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{121 - 20}{4}}