99.6 Jöfnuformúla annars stigs jafna

9.6.3 Jöfnuformúla annars stigs jafna

9.6.3 • Jöfnuformúla annars stigs jafna

Verkefni

Hér er formúla sem kallast jöfnuformúla annars stigs jafna.

$x, =, \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Formúluna má nota til að finna lausnir á hvaða annars stigs jöfnu sem er á staðalforminu

$a, x^{2}, +, b, x, +, c, =, 0$

þar sem a, b og c eru tölur og a er ekki 0.

Þetta dæmi sýnir hvernig hún er notuð til að leysa jöfnuna x² − 8x + 15 = 0, þar sem a = 1, b = −8 og c = 15.

Skref 1 - Skrifaðu upphaflegu jöfnuna.

$x^{2}, -, 8, x, +, 15, =, 0$

Skref 2 - Ákvarðaðu gildi a, b og c.

$a, =, 1,,, b, =, -, 8,,, c, =, 15$

Skref 3 - Settu gildin fyrir a, b og c inn í formúluna.

$x, =, \frac{- (- 8) \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - (4) (1) (15)}}{2 (1)}$

Skref 4 - Reiknaðu hvern hluta stæðunnar.

$x, =, \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

$x, =, \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2}$

$x, =, \frac{8 \pm 2}{2}$

Skref 5 - Skrifaðu hvora jöfnu fyrir sig og leystu.

$x, =, \frac{8 + 2}{2}, og, x, =, \frac{8 - 2}{2}$

Skref 6 - Einfaldaðu.

$x, =, \frac{10}{2}, og, x, =, \frac{6}{2}$

Skref 7 - Finndu lausnirnar.

$x, =, 5, og, x, =, 3$

Hér eru nokkrar annars stigs jöfnur og lausnir þeirra. Notaðu jöfnuformúlu annars stigs jafna til að sýna að lausnirnar séu réttar.

$x^{2}, +, 4, x, -, 5, =, 0$

Lausn

Lausnirnar eru x = −5 og x = 1.

Berðu saman svarið þitt:

$\begin{matrix} x^{2} + 4 x - 5 = 0 \\ a, =, 1, b, =, 4, c, =, -, 5 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- (4) \pm \sqrt{{(4)}^{2} - (4) (1) (- 5)}}{2 (1)} \\ x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} \\ x = \frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2} \\ x = \frac{- 4 \pm 6}{2} \\ x = \frac{2}{2} og x = \frac{- 10}{2} \\ x = 1 og x = - 5 \end{matrix}$

$x^{2}, +, 7, x, +, 12, =, 0$

Lausn

Lausnirnar eru x = −3 og x = −4.

Berðu saman svarið þitt:

$\begin{matrix} x^{2} + 7 x + 12 = 0 \\ a, =, 1, b, =, 7, c, =, 12 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- (7) \pm \sqrt{{(7)}^{2} - (4) (1) (12)}}{2 (1)} \\ x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2} \\ x = \frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2} \\ x = \frac{- 7 \pm 1}{2} \\ x = \frac{- 6}{2} og x = \frac{- 8}{2} \\ x = - 3 og x = - 4 \end{matrix}$

$x^{2}, +, 10, x, +, 18, =, 0$

Lausn

Lausnin er x = −5 ± √7.

Berðu saman svarið þitt:

$\begin{matrix} x^{2} + 10 x + 18 = 0 \\ a, =, 1, b, =, 10, c, =, 18 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- (10) \pm \sqrt{{(10)}^{2} - (4) (1) (18)}}{2 (1)} \\ x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 72}}{2} \\ x = \frac{- 10 \pm \sqrt{28}}{2} \\ x = \frac{- 10 \pm \sqrt{(4) (7)}}{2} \\ x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{7}}{2} \\ x = - 5 \pm \sqrt{7} \end{matrix}$

$x^{2}, -, 8, x, +, 11, =, 0$

Lausn

Lausnin er x = 4 ± √5.

Berðu saman svarið þitt:

$\begin{matrix} x^{2} - 8 x + 11 = 0 \\ a, =, 1, b, =, -, 8, c, =, 11 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- (- 8) \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - (4) (1) (11)}}{2 (1)} \\ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 44}}{2} \\ x = \frac{8 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x = \frac{8 \pm \sqrt{(4) (5)}}{2} \\ x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{5}}{2} \\ x = 4 \pm \sqrt{5} \end{matrix}$

$9, x^{2}, -, 6, x, +, 1, =, 0$

Lausn

Lausnin er x = 1/3.

Berðu saman svarið þitt:

$\begin{matrix} 9 x^{2} - 6 x + 1 = 0 \\ a, =, 9, b, =, -, 6, c, =, 1 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- (- 6) \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - (4) (9) (1)}}{2 (9)} \\ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36}}{18} \\ x = \frac{6}{18} \\ x = \frac{1}{3} \end{matrix}$

$6, x^{2}, +, 9, x, -, 15, =, 0$

Lausn

Lausnirnar eru x = −5/2 og x = 1.

Berðu saman svarið þitt:

$\begin{matrix} 6 x^{2} + 9 x - 15 = 0 \\ a, =, 6, b, =, 9, c, =, -, 15 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- (9) \pm \sqrt{{(9)}^{2} - (4) (6) (- 15)}}{2 (6)} \\ x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - (- 360)}}{12} \\ x = \frac{- 9 \pm \sqrt{441}}{12} \\ x = \frac{- 9 \pm 21}{12} \\ x = \frac{- 9 + 21}{12} \\ x = \frac{- 9 - 21}{12} \\ x = \frac{12}{12} = 1 \\ x = \frac{- 30}{12} = \frac{- 5}{2} \end{matrix}$

Myndband: Lausnir annars stigs jafna með jöfnuformúlunni

Horfðu á myndbandið til að læra meira um að leysa annars stigs jöfnur með jöfnuformúlu annars stigs jafna.

Viðbótarefni

Lausnir með jöfnuformúlu annars stigs jafna

Jöfnuformúla annars stigs jafna

Lausnir annars stigs jöfnu á staðalforminu

$a, x^{2}, +, b, x, +, c, =, 0,,, a, \neq, 0$

eru gefnar með formúlunni:

$x, =, \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Til að nota jöfnuformúlu annars stigs jafna setjum við gildin fyrir a, b og c úr staðalforminu inn í hægri hlið formúlunnar. Síðan einföldum við stæðuna. Niðurstaðan er par lausna á annars stigs jöfnunni.

Taktu eftir að formúlan er jafna. Gættu þess að nota báðar hliðar jöfnunnar.

Hvernig leysa má annars stigs jöfnu með jöfnuformúlunni

Leysum jöfnuna með jöfnuformúlu annars stigs jafna:

$2, x^{2}, +, 9, x, -, 5, =, 0$

Skref 1 - Skrifaðu annars stigs jöfnuna á staðalformi. Þessi jafna er þegar á staðalformi.

$a, x^{2}, +, b, x, +, c, =, 0$

$2, x^{2}, +, 9, x, -, 5, =, 0$

Skref 2 - Ákvarðaðu gildin fyrir a, b og c.

$a, =, 2,,, b, =, 9,,, c, =, -, 5$

Skref 3 - Skrifaðu jöfnuformúlu annars stigs jafna.

$x, =, \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Skref 4 - Settu síðan gildin fyrir a, b og c inn í formúluna.

$x, =, \frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 2}$

Skref 5 - Einfaldaðu brotið og leystu fyrir x.

$\begin{matrix} x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - (- 40)}}{4} \\ x = \frac{- 9 \pm \sqrt{121}}{4} \\ x = \frac{- 9 + 11}{4} \\ x = \frac{- 9 - 11}{4} \\ x = \frac{2}{4} \\ x = \frac{- 20}{4} \\ x = \frac{1}{2} \\ x = - 5 \end{matrix}$

Skref 6 - Athugaðu lausnirnar. Settu hvort svar fyrir sig inn í upphaflegu jöfnuna.

Settu x = 1/2 inn í jöfnuna.

$\begin{matrix} 2 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9 \cdot \frac{1}{2} - 5 = ? 0 \\ 2 (\frac{1}{4}) + \frac{9}{2} - 5 = ? 0 \\ \frac{1}{2} + \frac{9}{2} - 5 = ? 0 \\ \frac{10}{2} - 5 = ? 0 \\ 5 - 5 = ? 0 \\ 0 = 0 ✔ \end{matrix}$

Settu x = −5 inn í jöfnuna.

$\begin{matrix} 2 {(- 5)}^{2} + 9 (- 5) - 5 = ? 0 \\ 2 (25) - 45 - 5 = ? 0 \\ 50 - 45 - 5 = ? 0 \\ 0 = 0 ✔ \end{matrix}$

Reyndu

Lausnir með jöfnuformúlu annars stigs jafna

Leystu jöfnuna með jöfnuformúlu annars stigs jafna:

$2, x^{2}, +, 10, x, +, 11, =, 0$

Hér er hvernig má leysa þessa annars stigs jöfnu með jöfnuformúlu annars stigs jafna.

Skref 1 - Jafnan er á staðalformi.

$a, x^{2}, +, b, x, +, c, =, 0$

$2, x^{2}, +, 10, x, +, 11, =, 0$

Skref 2 - Ákvarðaðu gildin fyrir a, b og c.

$a, =, 2,,, b, =, 10,,, c, =, 11$

Skref 3 - Skrifaðu jöfnuformúlu annars stigs jafna.

$x, =, \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Skref 4 - Settu síðan gildin fyrir a, b og c inn í formúluna.

$x, =, \frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (11)}}{2 \cdot 2}$

Skref 5 - Einfaldaðu.

$\begin{matrix} x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 88}}{4} \\ x = \frac{- 10 \pm \sqrt{12}}{4} \\ x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{3}}{4} \\ x = \frac{2 (- 5 \pm \sqrt{3})}{4} \\ x = \frac{- 5 \pm \sqrt{3}}{2} \\ x = \frac{- 5 + \sqrt{3}}{2} og x = \frac{- 5 - \sqrt{3}}{2} \end{matrix}$

Skref 6 - Athugaðu lausnirnar. Settu hvort svar fyrir sig inn í upphaflegu jöfnuna.

Settu x = (−5 + √3)/2 inn í jöfnuna.

$\begin{matrix} 2 {(\frac{- 5 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 10 \frac{- 5 + \sqrt{3}}{2} + 11 = ? 0 \\ 2 (\frac{25 - 10 \sqrt{3} + 3}{4}) + 5 (- 5 + \sqrt{3}) + 11 = ? 0 \\ \frac{28 - 10 \sqrt{3}}{2} - 25 + 5 \sqrt{3} + 11 = ? 0 \\ 14 - 5 \sqrt{3} - 14 + 5 \sqrt{3} = ? 0 \\ 0 = 0 ✔ \end{matrix}$

Settu x = (−5 − √3)/2 inn í jöfnuna.

$\begin{matrix} 2 {(\frac{- 5 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 10 \frac{- 5 - \sqrt{3}}{2} + 11 = ? 0 \\ 2 (\frac{25 + 10 \sqrt{3} + 3}{4}) + 5 (- 5 - \sqrt{3}) + 11 = ? 0 \\ \frac{28 + 10 \sqrt{3}}{2} - 25 - 5 \sqrt{3} + 11 = ? 0 \\ 14 + 5 \sqrt{3} - 14 - 5 \sqrt{3} = ? 0 \\ 0 = 0 ✔ \end{matrix}$

99.6 Jöfnuformúla annars stigs jafna

9.6.3 Jöfnuformúla annars stigs jafna

9.6.3 • Jöfnuformúla annars stigs jafna

Verkefni

Hér er formúla sem kallast jöfnuformúla annars stigs jafna.

$x, =, \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Formúluna má nota til að finna lausnir á hvaða annars stigs jöfnu sem er á staðalforminu

$a, x^{2}, +, b, x, +, c, =, 0$

þar sem a, b og c eru tölur og a er ekki 0.

Þetta dæmi sýnir hvernig hún er notuð til að leysa jöfnuna x² − 8x + 15 = 0, þar sem a = 1, b = −8 og c = 15.

Skref 1 - Skrifaðu upphaflegu jöfnuna.

$x^{2}, -, 8, x, +, 15, =, 0$

Skref 2 - Ákvarðaðu gildi a, b og c.

$a, =, 1,,, b, =, -, 8,,, c, =, 15$

Skref 3 - Settu gildin fyrir a, b og c inn í formúluna.

$x, =, \frac{- (- 8) \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - (4) (1) (15)}}{2 (1)}$

Skref 4 - Reiknaðu hvern hluta stæðunnar.

$x, =, \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

$x, =, \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2}$

$x, =, \frac{8 \pm 2}{2}$

Skref 5 - Skrifaðu hvora jöfnu fyrir sig og leystu.

$x, =, \frac{8 + 2}{2}, og, x, =, \frac{8 - 2}{2}$

Skref 6 - Einfaldaðu.

$x, =, \frac{10}{2}, og, x, =, \frac{6}{2}$

Skref 7 - Finndu lausnirnar.

$x, =, 5, og, x, =, 3$

Hér eru nokkrar annars stigs jöfnur og lausnir þeirra. Notaðu jöfnuformúlu annars stigs jafna til að sýna að lausnirnar séu réttar.

$x^{2}, +, 4, x, -, 5, =, 0$

Lausn

Lausnirnar eru x = −5 og x = 1.

Berðu saman svarið þitt:

$x^{2}, +, 7, x, +, 12, =, 0$

Lausn

Lausnirnar eru x = −3 og x = −4.

Berðu saman svarið þitt:

$x^{2}, +, 10, x, +, 18, =, 0$

Lausn

Lausnin er x = −5 ± √7.

Berðu saman svarið þitt:

$x^{2}, -, 8, x, +, 11, =, 0$

Lausn

Lausnin er x = 4 ± √5.

Berðu saman svarið þitt:

$9, x^{2}, -, 6, x, +, 1, =, 0$

Lausn

Lausnin er x = 1/3.

Berðu saman svarið þitt:

$6, x^{2}, +, 9, x, -, 15, =, 0$

Lausn

Lausnirnar eru x = −5/2 og x = 1.

Berðu saman svarið þitt:

Myndband: Lausnir annars stigs jafna með jöfnuformúlunni

Horfðu á myndbandið til að læra meira um að leysa annars stigs jöfnur með jöfnuformúlu annars stigs jafna.

Viðbótarefni

Lausnir með jöfnuformúlu annars stigs jafna

Jöfnuformúla annars stigs jafna

Lausnir annars stigs jöfnu á staðalforminu

$a, x^{2}, +, b, x, +, c, =, 0,,, a, \neq, 0$

eru gefnar með formúlunni:

$x, =, \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Taktu eftir að formúlan er jafna. Gættu þess að nota báðar hliðar jöfnunnar.

Hvernig leysa má annars stigs jöfnu með jöfnuformúlunni

Leysum jöfnuna með jöfnuformúlu annars stigs jafna:

$2, x^{2}, +, 9, x, -, 5, =, 0$

Skref 1 - Skrifaðu annars stigs jöfnuna á staðalformi. Þessi jafna er þegar á staðalformi.

$a, x^{2}, +, b, x, +, c, =, 0$

$2, x^{2}, +, 9, x, -, 5, =, 0$

Skref 2 - Ákvarðaðu gildin fyrir a, b og c.

$a, =, 2,,, b, =, 9,,, c, =, -, 5$

Skref 3 - Skrifaðu jöfnuformúlu annars stigs jafna.

$x, =, \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Skref 4 - Settu síðan gildin fyrir a, b og c inn í formúluna.

$x, =, \frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 2}$

Skref 5 - Einfaldaðu brotið og leystu fyrir x.

Skref 6 - Athugaðu lausnirnar. Settu hvort svar fyrir sig inn í upphaflegu jöfnuna.

Settu x = 1/2 inn í jöfnuna.

Settu x = −5 inn í jöfnuna.

$\begin{matrix} 2 {(- 5)}^{2} + 9 (- 5) - 5 = ? 0 \\ 2 (25) - 45 - 5 = ? 0 \\ 50 - 45 - 5 = ? 0 \\ 0 = 0 ✔ \end{matrix}$

Reyndu

Lausnir með jöfnuformúlu annars stigs jafna

Leystu jöfnuna með jöfnuformúlu annars stigs jafna:

$2, x^{2}, +, 10, x, +, 11, =, 0$

Hér er hvernig má leysa þessa annars stigs jöfnu með jöfnuformúlu annars stigs jafna.

Skref 1 - Jafnan er á staðalformi.

$a, x^{2}, +, b, x, +, c, =, 0$

$2, x^{2}, +, 10, x, +, 11, =, 0$

Skref 2 - Ákvarðaðu gildin fyrir a, b og c.

$a, =, 2,,, b, =, 10,,, c, =, 11$

Skref 3 - Skrifaðu jöfnuformúlu annars stigs jafna.

$x, =, \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Skref 4 - Settu síðan gildin fyrir a, b og c inn í formúluna.

$x, =, \frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (11)}}{2 \cdot 2}$

Skref 5 - Einfaldaðu.

Skref 6 - Athugaðu lausnirnar. Settu hvort svar fyrir sig inn í upphaflegu jöfnuna.

Settu x = (−5 + √3)/2 inn í jöfnuna.

Settu x = (−5 − √3)/2 inn í jöfnuna.