99.6 Jöfnuformúla annars stigs jafna

9.6.2 Besta aðferðin valin til að leysa jöfnu

9.6.2 • Besta aðferðin valin til að leysa jöfnu

Verkefni

Skrifaðu niður hvernig þú myndir leysa hverja jöfnu. Finndu lausnirnar tvær með því að rita jöfnuna á þáttuðu formi eða með því að fylla í ferninginn. Vertu tilbúin að útskýra val þitt á aðferð.

Veldu tvær lausnir fyrir

Lausn

$x^{2} - 2 x - 1,25 = 0$

a. 2,3

b. 3

c. −1

d. −0,5

Réttu svörin eru:

$x = 2,5 og x = - 0,5$

Berðu saman svarið þitt:

Aðferðin að fylla í ferninginn:

$x^{2} - 2 x - 1,25 = 0$

$x^{2} - 2 x = 1,25$

$x^{2} - 2 x + {(\frac{- 2}{2})}^{2} = 1,25 + {(\frac{- 2}{2})}^{2}$

$x^{2} - 2 x + 1 = 1,25 + 1$

$x^{2} - 2 x + 1 = 2,25$

${(x - 1)}^{2} = 2,25$

$x - 1 = \pm \sqrt{2,25}$

$x = 1 \pm \sqrt{2,25}$

$x = 1 \pm 1,5$

$x = 2,5 og x = - 0,5$

Veldu tvær lausnir fyrir

Lausn

$5 x^{2} + 9 x - 44 = 0$

a. 2,2

b. −20

c. −4

d. 11

Réttu svörin eru:

$x = 2,2 og x = - 4$

Berðu saman svarið þitt:

Aðferðin að fylla í ferninginn:

$5 x^{2} + 9 x - 44 = 0$

$5 x^{2} + 9 x = 44$

$x^{2} + \frac{9}{5} x = \frac{44}{5}$

$x^{2} + \frac{9}{5} x + {(\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{5})}^{2} = \frac{44}{5} + {(\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{5})}^{2}$

$x^{2} + \frac{9}{5} x + \frac{81}{100} = \frac{44}{5} + \frac{81}{100}$

$x^{2} + \frac{9}{5} x + \frac{81}{100} = \frac{961}{100}$

${(x + \frac{9}{10})}^{2} = \frac{961}{100}$

$x + \frac{9}{10} = \pm \frac{31}{10}$

$x = - \frac{9}{10} \pm \frac{31}{10}$

$x = \frac{22}{10} = 2,2 og x = - \frac{40}{10} = - 4$

Veldu tvær lausnir fyrir

Lausn

$x^{2} + 1,25 x = 0,375$

a. 0,75

b. 0,25

c. −1,5

d. 2,5

Réttu svörin eru:

$x = 0,25 og x = - 1,5$

Berðu saman svarið þitt:

Aðferðin að fylla í ferninginn:

$x^{2} + 1,25 x = 0,375$

$x^{2} + 1,25 x + {(0,5 \cdot 1,25)}^{2} = 0,375 + {(0,5 \cdot 1,25)}^{2}$

$x^{2} + 1,25 x + 0,390625 = 0,375 + 0,390625$

${(x + 0,625)}^{2} = 0,765625$

$x + 0,625 = \pm 0,875$

$x = - 0,625 \pm 0,875$

$x = 0,25 og x = - 1,5$

Veldu tvær lausnir fyrir

Lausn

$4 x^{2} - 28 x + 29 = 0$

a. −7 + √2

b. 7 − √2

c. 7/2 + √5

d. 7/2 − √5

Réttu svörin eru:

$x = \frac{7}{2} + \sqrt{5} og x = \frac{7}{2} - \sqrt{5}$

Berðu saman svarið þitt:

Aðferðin að fylla í ferninginn:

$4 x^{2} - 28 x + 29 = 0$

$x^{2} - 7 x + \frac{29}{4} = 0$

$x^{2} - 7 x = - \frac{29}{4}$

$x^{2} - 7 x + {(\frac{7}{2})}^{2} = - \frac{29}{4} + {(\frac{7}{2})}^{2}$

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = \frac{20}{4}$

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = 5$

${(x - \frac{7}{2})}^{2} = 5$

$x - \frac{7}{2} = \pm \sqrt{5}$

$x = \frac{7}{2} \pm \sqrt{5}$

$x = \frac{7}{2} + \sqrt{5} og x = \frac{7}{2} - \sqrt{5}$

Viðbótarefni

Lausn með ferningum og með því að fylla í ferninginn

Leystu með því að fylla í ferninginn:

$2 x^{2} + 5 x + 2 = 0$

Skref 1 - Deildu öllum liðum með stuðli annars stigs liðarins.

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 2}{2} = \frac{0}{2}$

$x^{2} + \frac{5}{2} x + 1 = 0$

Skref 2 - Færðu fastaliðinn yfir á hægri hlið jöfnunnar.

$x^{2} + \frac{5}{2} x = - 1$

Skref 3 - Fylltu í ferninginn og bættu sama lið við báðar hliðar.

${(\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{16}$

$x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{25}{16} = - 1 + \frac{25}{16}$

Skref 4 - Einfaldaðu. Búðu til samnefnara áður en þú leggur saman.

$x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{25}{16} = - \frac{16}{16} + \frac{25}{16}$

${(x + \frac{5}{4})}^{2} = \frac{9}{16}$

Skref 5 - Taktu ferningsrót af báðum hliðum.

$x + \frac{5}{4} = \pm \frac{3}{4}$

Skref 6 - Ritaðu tvær jöfnur og leystu.

$x + \frac{5}{4} = \frac{3}{4} og x + \frac{5}{4} = - \frac{3}{4}$

$x = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2} og x = - \frac{8}{4} = - 2$

Reyndu

Lausn með ferningum og með því að fylla í ferninginn

Leystu:

$4 x^{2} + 36 x + 37 = 0$

Svona má leysa jöfnuna með því að fylla í ferninginn:

Skref 1 - Deildu öllum liðum með stuðli annars stigs liðarins.

$\frac{4 x^{2} + 36 x + 37}{4} = \frac{0}{4}$

$x^{2} + 9 x + \frac{37}{4} = 0$

Skref 2 - Færðu fastaliðinn yfir á hægri hlið jöfnunnar.

$x^{2} + 9 x = - \frac{37}{4}$

Skref 3 - Fylltu í ferninginn og bættu sama lið við báðar hliðar.

${(9 \cdot \frac{1}{2})}^{2} = \frac{81}{4}$

$x^{2} + 9 x + \frac{81}{4} = - \frac{37}{4} + \frac{81}{4}$

Skref 4 - Einfaldaðu.

${(x + \frac{9}{2})}^{2} = 11$

Skref 5 - Taktu ferningsrót af báðum hliðum.

$x + \frac{9}{2} = \pm \sqrt{11}$

Skref 6 - Ritaðu tvær jöfnur og leystu.

$x + \frac{9}{2} = \sqrt{11} og x + \frac{9}{2} = - \sqrt{11}$

$x = - \frac{9}{2} + \sqrt{11} og x = - \frac{9}{2} - \sqrt{11}$

99.6 Jöfnuformúla annars stigs jafna

9.6.2 Besta aðferðin valin til að leysa jöfnu

9.6.2 • Besta aðferðin valin til að leysa jöfnu

Verkefni

Veldu tvær lausnir fyrir

Lausn

$x^{2} - 2 x - 1,25 = 0$

a. 2,3

b. 3

c. −1

d. −0,5

Réttu svörin eru:

$x = 2,5 og x = - 0,5$

Berðu saman svarið þitt:

Aðferðin að fylla í ferninginn:

$x^{2} - 2 x - 1,25 = 0$

$x^{2} - 2 x = 1,25$

$x^{2} - 2 x + {(\frac{- 2}{2})}^{2} = 1,25 + {(\frac{- 2}{2})}^{2}$

$x^{2} - 2 x + 1 = 1,25 + 1$

$x^{2} - 2 x + 1 = 2,25$

${(x - 1)}^{2} = 2,25$

$x - 1 = \pm \sqrt{2,25}$

$x = 1 \pm \sqrt{2,25}$

$x = 1 \pm 1,5$

$x = 2,5 og x = - 0,5$

Veldu tvær lausnir fyrir

Lausn

$5 x^{2} + 9 x - 44 = 0$

a. 2,2

b. −20

c. −4

d. 11

Réttu svörin eru:

$x = 2,2 og x = - 4$

Berðu saman svarið þitt:

Aðferðin að fylla í ferninginn:

$5 x^{2} + 9 x - 44 = 0$

$5 x^{2} + 9 x = 44$

$x^{2} + \frac{9}{5} x = \frac{44}{5}$

$x^{2} + \frac{9}{5} x + {(\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{5})}^{2} = \frac{44}{5} + {(\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{5})}^{2}$

$x^{2} + \frac{9}{5} x + \frac{81}{100} = \frac{44}{5} + \frac{81}{100}$

$x^{2} + \frac{9}{5} x + \frac{81}{100} = \frac{961}{100}$

${(x + \frac{9}{10})}^{2} = \frac{961}{100}$

$x + \frac{9}{10} = \pm \frac{31}{10}$

$x = - \frac{9}{10} \pm \frac{31}{10}$

$x = \frac{22}{10} = 2,2 og x = - \frac{40}{10} = - 4$

Veldu tvær lausnir fyrir

Lausn

$x^{2} + 1,25 x = 0,375$

a. 0,75

b. 0,25

c. −1,5

d. 2,5

Réttu svörin eru:

$x = 0,25 og x = - 1,5$

Berðu saman svarið þitt:

Aðferðin að fylla í ferninginn:

$x^{2} + 1,25 x = 0,375$

$x^{2} + 1,25 x + {(0,5 \cdot 1,25)}^{2} = 0,375 + {(0,5 \cdot 1,25)}^{2}$

$x^{2} + 1,25 x + 0,390625 = 0,375 + 0,390625$

${(x + 0,625)}^{2} = 0,765625$

$x + 0,625 = \pm 0,875$

$x = - 0,625 \pm 0,875$

$x = 0,25 og x = - 1,5$

Veldu tvær lausnir fyrir

Lausn

$4 x^{2} - 28 x + 29 = 0$

a. −7 + √2

b. 7 − √2

c. 7/2 + √5

d. 7/2 − √5

Réttu svörin eru:

$x = \frac{7}{2} + \sqrt{5} og x = \frac{7}{2} - \sqrt{5}$

Berðu saman svarið þitt:

Aðferðin að fylla í ferninginn:

$4 x^{2} - 28 x + 29 = 0$

$x^{2} - 7 x + \frac{29}{4} = 0$

$x^{2} - 7 x = - \frac{29}{4}$

$x^{2} - 7 x + {(\frac{7}{2})}^{2} = - \frac{29}{4} + {(\frac{7}{2})}^{2}$

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = \frac{20}{4}$

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = 5$

${(x - \frac{7}{2})}^{2} = 5$

$x - \frac{7}{2} = \pm \sqrt{5}$

$x = \frac{7}{2} \pm \sqrt{5}$

$x = \frac{7}{2} + \sqrt{5} og x = \frac{7}{2} - \sqrt{5}$

Viðbótarefni

Lausn með ferningum og með því að fylla í ferninginn

Leystu með því að fylla í ferninginn:

$2 x^{2} + 5 x + 2 = 0$

Skref 1 - Deildu öllum liðum með stuðli annars stigs liðarins.

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 2}{2} = \frac{0}{2}$

$x^{2} + \frac{5}{2} x + 1 = 0$

Skref 2 - Færðu fastaliðinn yfir á hægri hlið jöfnunnar.

$x^{2} + \frac{5}{2} x = - 1$

Skref 3 - Fylltu í ferninginn og bættu sama lið við báðar hliðar.

${(\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{16}$

$x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{25}{16} = - 1 + \frac{25}{16}$

Skref 4 - Einfaldaðu. Búðu til samnefnara áður en þú leggur saman.

$x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{25}{16} = - \frac{16}{16} + \frac{25}{16}$

${(x + \frac{5}{4})}^{2} = \frac{9}{16}$

Skref 5 - Taktu ferningsrót af báðum hliðum.

$x + \frac{5}{4} = \pm \frac{3}{4}$

Skref 6 - Ritaðu tvær jöfnur og leystu.

$x + \frac{5}{4} = \frac{3}{4} og x + \frac{5}{4} = - \frac{3}{4}$

$x = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2} og x = - \frac{8}{4} = - 2$

Reyndu

Lausn með ferningum og með því að fylla í ferninginn

Leystu:

$4 x^{2} + 36 x + 37 = 0$

Svona má leysa jöfnuna með því að fylla í ferninginn:

Skref 1 - Deildu öllum liðum með stuðli annars stigs liðarins.

$\frac{4 x^{2} + 36 x + 37}{4} = \frac{0}{4}$

$x^{2} + 9 x + \frac{37}{4} = 0$

Skref 2 - Færðu fastaliðinn yfir á hægri hlið jöfnunnar.

$x^{2} + 9 x = - \frac{37}{4}$

Skref 3 - Fylltu í ferninginn og bættu sama lið við báðar hliðar.

${(9 \cdot \frac{1}{2})}^{2} = \frac{81}{4}$

$x^{2} + 9 x + \frac{81}{4} = - \frac{37}{4} + \frac{81}{4}$

Skref 4 - Einfaldaðu.

${(x + \frac{9}{2})}^{2} = 11$

Skref 5 - Taktu ferningsrót af báðum hliðum.

$x + \frac{9}{2} = \pm \sqrt{11}$

Skref 6 - Ritaðu tvær jöfnur og leystu.

$x + \frac{9}{2} = \sqrt{11} og x + \frac{9}{2} = - \sqrt{11}$

$x = - \frac{9}{2} + \sqrt{11} og x = - \frac{9}{2} - \sqrt{11}$