99.5 Annars stigs jöfnur með óræðum lausnum

9.5.3 Óræðar lausnir fundnar með því að fylla í ferninginn

9.5.3 • Óræðar lausnir fundnar með því að fylla í ferninginn

Verkefni

Skoðaðu Desmos-leiðbeiningarnar í PDF-skjali til að fá ráð um að leysa verkefni með Desmos-grafreiknivélinni.

Hér er dæmi um jöfnu sem er leyst bæði með grafi og með því að fylla í ferninginn.

Graf fleygboga í hnitakerfi. Punktarnir (−4,414; 0) og (−1,586; 0) eru merktir á fleygboganum. Kvarði x-ássins er 1 og hann nær frá −8 til 4. y-ásinn nær frá −4 til 4 með kvarðanum 1.

$x^{2} + 6 x + 7 = 0$
$x^{2} + 6 x + 9 = 2$
${(x + 3)}^{2} = 2$
$x + 3 = \pm \sqrt{2}$
$x = - 3 \pm \sqrt{2}$

Staðfestu:

√ $\sqrt{2} \approx 1,414$

$- 3 + \sqrt{2} \approx - 1,586$

$- 3 - \sqrt{2} \approx - 4,414$

Fyrir hverja jöfnu skaltu finna nákvæmar lausnir með því að fylla í ferninginn og nálgaðar lausnir með því að teikna graf. Staðfestu síðan að lausnirnar sem fást með aðferðunum tveimur séu nálægt hvor annarri. Ef þú festist skaltu vísa aftur í dæmið.

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

a. Finndu nákvæmar lausnir með því að fylla í ferninginn.

b. Teiknaðu graf jöfnunnar til að finna nálgaðar lausnir.

Notaðu Desmos-grafreiknivélina eða annað grafteikniverkfæri utan námskeiðsins.

c. Eru lausnirnar sem þú fannst með aðferðunum tveimur nálægt hvor annarri?

a. Berðu saman svarið þitt:

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$
$x^{2} + 4 x = - 1$
$x^{2} + 4 x + 4 = - 1 + 4$
$x^{2} + 4 x + 4 = 3$
${(x + 2)}^{2} = 3$
$x + 2 = \pm \sqrt{3}$
$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

b. Berðu saman svarið þitt:

Graf fleygboga sem opnast upp og sker x-ásinn um það bil í punktunum (−3,732; 0) og (−0,268; 0). Bæði x-ás og y-ás ná frá −5 til 5 með kvarðanum 1.

c. Já. Lausnirnar voru þær sömu: $x \approx - 0,268$ og $x \approx - 3,732$ .

$x^{2} - 10 x + 18 = 0$

a. Finndu nákvæmar lausnir með því að fylla í ferninginn.

b. Teiknaðu graf jöfnunnar til að finna nálgaðar lausnir.

Notaðu Desmos-grafreiknivélina eða annað grafteikniverkfæri utan námskeiðsins.

c. Eru lausnirnar sem þú fannst með aðferðunum tveimur nálægt hvor annarri?

a. Berðu saman svarið þitt:

$x^{2} - 10 x + 18 = 0$
$x^{2} - 10 x = - 18$
$x^{2} - 10 x + 25 = - 18 + 25$
$x^{2} - 10 x + 25 = 7$
${(x - 5)}^{2} = 7$
$x - 5 = \pm \sqrt{7}$
$x = 5 \pm \sqrt{7}$

b. Berðu saman svarið þitt:

Graf fleygboga sem opnast upp og sker x-ásinn í punktunum (2,354; 0) og (7,646; 0). x-ásinn nær frá −1 til um það bil 18 með kvarðanum 1. y-ásinn nær frá −12 til 7 með kvarðanum 1.

c. Já. Lausnirnar voru þær sömu: $x \approx 7,646$ og $x \approx 2,354$ .

$x^{2} + 5 x + \frac{1}{4} = 0$

a. Finndu nákvæmar lausnir með því að fylla í ferninginn.

b. Teiknaðu graf jöfnunnar til að finna nálgaðar lausnir.

Notaðu Desmos-grafreiknivélina eða annað grafteikniverkfæri utan námskeiðsins.

c. Eru lausnirnar sem þú fannst með aðferðunum tveimur nálægt hvor annarri?

a. Berðu saman svarið þitt:

$x^{2} + 5 x + \frac{1}{4} = 0$
$x^{2} + 5 x = - \frac{1}{4}$
$x^{2} + 5 x + {(\frac{5}{2})}^{2} = - \frac{1}{4} + {(\frac{5}{2})}^{2}$
$x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} = - \frac{1}{4} + \frac{25}{4}$
$x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} = \frac{24}{4}$
$x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} = 6$
${(x + \frac{5}{2})}^{2} = 6$
$x + \frac{5}{2} = \pm \sqrt{6}$
$x = - \frac{5}{2} \pm \sqrt{6}$

b. Berðu saman svarið þitt:

Graf fleygboga í hnitakerfi. Punktarnir (−4,949; 0) og (−0,051; 0) eru merktir á fleygboganum. x-ásinn nær frá −8 til um það bil 8 með kvarðanum 1. y-ásinn nær frá −10 til 6 með kvarðanum 1.

c. Já. Lausnirnar voru þær sömu: $x \approx - 4,949$ og $x \approx - 0,051$ .

$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{14}{9} = 0$

a. Finndu nákvæmar lausnir með því að fylla í ferninginn.

b. Teiknaðu graf jöfnunnar til að finna nálgaðar lausnir.

Notaðu Desmos-grafreiknivélina eða annað grafteikniverkfæri utan námskeiðsins.

c. Eru lausnirnar sem þú fannst með aðferðunum tveimur nálægt hvor annarri?

a. Berðu saman svarið þitt:

$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{14}{9} = 0$
$x^{2} + \frac{8}{3} x = - \frac{14}{9}$
$x^{2} + \frac{8}{3} x + {(\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3})}^{2} = - \frac{14}{9} + {(\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3})}^{2}$
$x^{2} + \frac{8}{3} x + {(\frac{4}{3})}^{2} = - \frac{14}{9} + {(\frac{4}{3})}^{2}$
$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{16}{9} = - \frac{14}{9} + \frac{16}{9}$
$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{16}{9} = \frac{2}{9}$
${(x + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{2}{9}$
$x + \frac{4}{3} = \pm \frac{\sqrt{2}}{3}$
$x = - \frac{4}{3} \pm \frac{\sqrt{2}}{3}$

b. Berðu saman svarið þitt:

Graf fleygboga í hnitakerfi. Punktarnir (−1,805; 0) og (−0,862; 0) eru merktir á fleygboganum. x-ásinn nær frá −2,6 til um það bil 1,2 með kvarðanum 0,2. y-ásinn nær frá −1,6 til 2,2 með kvarðanum 0,2.

c. Já. Lausnirnar voru þær sömu: $x \approx - 0,862$ og $x \approx - 1,805$ .

Viltu meira?

Útvíkkaðu hugsun þína

Hvaða annars stigs jafna á þessu formi hefði eftirfarandi lausnir?

$a x^{2} + b x + c = 0$

$x = 5 - \sqrt{2} og x = 5 + \sqrt{2}$

Berðu saman svarið þitt:

$x^{2} - 10 x + 23 = 0$

Ef unnið er aftur á bak eru þetta lausnir á:

${(x - 5)}^{2} = 2$

Á staðalformi er jafnan:

$x^{2} - 10 x + 23 = 0$

Viðbótarefni

Að nota reiknivél fyrir nálgaðar lausnir

Skoðum lausnir jöfnunnar úr viðbótarefninu í 9.5.2:

Þéttari leið til að rita lausnirnar tvær á þessari jöfnu:

${(x + 4)}^{2} = 11$

er:

$x = - 4 \pm \sqrt{11}$

Hversu stórar eða litlar eru þessar tölur? Eru þær jákvæðar eða neikvæðar? Við getum notað reiknivél til að reikna nálguð gildi beggja stæðna:

$- 4 + \sqrt{11} \approx - 0,683$

$- 4 - \sqrt{11} \approx - 7,317$

Við getum einnig nálgað lausnirnar með því að teikna graf. Jafnan

${(x + 4)}^{2} = 11$

er jafngild:

${(x + 4)}^{2} - 11 = 0$

svo við getum teiknað graf fallsins

$y = {(x + 4)}^{2} - 11$

og fundið núllstöðvarnar með því að finna skurðpunkta grafsins við x-ás.

Graf fleygboga í hnitakerfi. Punktarnir (−7,317; 0) og (−0,683; 0) eru merktir á fleygboganum. x-ásinn nær frá −14 til 6 með kvarðanum 2. y-ásinn nær frá −14 til 4 með kvarðanum 2.

Reyndu

Að nota reiknivél fyrir nálgaðar lausnir

Finndu nálgaðar lausnir fyrir:

$x = 3 \pm \sqrt{19}$

Svona má nálga lausnirnar:

Skref 1 - Ritaðu tvær stæður.

$x = 3 + \sqrt{19}, x = 3 - \sqrt{19}$

Skref 2 - Notaðu reiknivél til að nálga lausnirnar að þremur aukastöfum.

$x \approx - 1,359, x \approx 7,359$

99.5 Annars stigs jöfnur með óræðum lausnum

9.5.3 Óræðar lausnir fundnar með því að fylla í ferninginn

9.5.3 • Óræðar lausnir fundnar með því að fylla í ferninginn

Verkefni

Skoðaðu Desmos-leiðbeiningarnar í PDF-skjali til að fá ráð um að leysa verkefni með Desmos-grafreiknivélinni.

Hér er dæmi um jöfnu sem er leyst bæði með grafi og með því að fylla í ferninginn.

$x^{2} + 6 x + 7 = 0$
$x^{2} + 6 x + 9 = 2$
${(x + 3)}^{2} = 2$
$x + 3 = \pm \sqrt{2}$
$x = - 3 \pm \sqrt{2}$

Staðfestu:

√ $\sqrt{2} \approx 1,414$

$- 3 + \sqrt{2} \approx - 1,586$

$- 3 - \sqrt{2} \approx - 4,414$

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

a. Finndu nákvæmar lausnir með því að fylla í ferninginn.

b. Teiknaðu graf jöfnunnar til að finna nálgaðar lausnir.

Notaðu Desmos-grafreiknivélina eða annað grafteikniverkfæri utan námskeiðsins.

c. Eru lausnirnar sem þú fannst með aðferðunum tveimur nálægt hvor annarri?

a. Berðu saman svarið þitt:

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$
$x^{2} + 4 x = - 1$
$x^{2} + 4 x + 4 = - 1 + 4$
$x^{2} + 4 x + 4 = 3$
${(x + 2)}^{2} = 3$
$x + 2 = \pm \sqrt{3}$
$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

b. Berðu saman svarið þitt:

c. Já. Lausnirnar voru þær sömu: $x \approx - 0,268$ og $x \approx - 3,732$ .

$x^{2} - 10 x + 18 = 0$

a. Finndu nákvæmar lausnir með því að fylla í ferninginn.

b. Teiknaðu graf jöfnunnar til að finna nálgaðar lausnir.

Notaðu Desmos-grafreiknivélina eða annað grafteikniverkfæri utan námskeiðsins.

c. Eru lausnirnar sem þú fannst með aðferðunum tveimur nálægt hvor annarri?

a. Berðu saman svarið þitt:

$x^{2} - 10 x + 18 = 0$
$x^{2} - 10 x = - 18$
$x^{2} - 10 x + 25 = - 18 + 25$
$x^{2} - 10 x + 25 = 7$
${(x - 5)}^{2} = 7$
$x - 5 = \pm \sqrt{7}$
$x = 5 \pm \sqrt{7}$

b. Berðu saman svarið þitt:

c. Já. Lausnirnar voru þær sömu: $x \approx 7,646$ og $x \approx 2,354$ .

$x^{2} + 5 x + \frac{1}{4} = 0$

a. Finndu nákvæmar lausnir með því að fylla í ferninginn.

b. Teiknaðu graf jöfnunnar til að finna nálgaðar lausnir.

Notaðu Desmos-grafreiknivélina eða annað grafteikniverkfæri utan námskeiðsins.

c. Eru lausnirnar sem þú fannst með aðferðunum tveimur nálægt hvor annarri?

a. Berðu saman svarið þitt:

$x^{2} + 5 x + \frac{1}{4} = 0$
$x^{2} + 5 x = - \frac{1}{4}$
$x^{2} + 5 x + {(\frac{5}{2})}^{2} = - \frac{1}{4} + {(\frac{5}{2})}^{2}$
$x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} = - \frac{1}{4} + \frac{25}{4}$
$x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} = \frac{24}{4}$
$x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} = 6$
${(x + \frac{5}{2})}^{2} = 6$
$x + \frac{5}{2} = \pm \sqrt{6}$
$x = - \frac{5}{2} \pm \sqrt{6}$

b. Berðu saman svarið þitt:

c. Já. Lausnirnar voru þær sömu: $x \approx - 4,949$ og $x \approx - 0,051$ .

$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{14}{9} = 0$

a. Finndu nákvæmar lausnir með því að fylla í ferninginn.

b. Teiknaðu graf jöfnunnar til að finna nálgaðar lausnir.

Notaðu Desmos-grafreiknivélina eða annað grafteikniverkfæri utan námskeiðsins.

c. Eru lausnirnar sem þú fannst með aðferðunum tveimur nálægt hvor annarri?

a. Berðu saman svarið þitt:

$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{14}{9} = 0$
$x^{2} + \frac{8}{3} x = - \frac{14}{9}$
$x^{2} + \frac{8}{3} x + {(\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3})}^{2} = - \frac{14}{9} + {(\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3})}^{2}$
$x^{2} + \frac{8}{3} x + {(\frac{4}{3})}^{2} = - \frac{14}{9} + {(\frac{4}{3})}^{2}$
$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{16}{9} = - \frac{14}{9} + \frac{16}{9}$
$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{16}{9} = \frac{2}{9}$
${(x + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{2}{9}$
$x + \frac{4}{3} = \pm \frac{\sqrt{2}}{3}$
$x = - \frac{4}{3} \pm \frac{\sqrt{2}}{3}$

b. Berðu saman svarið þitt:

c. Já. Lausnirnar voru þær sömu: $x \approx - 0,862$ og $x \approx - 1,805$ .

Viltu meira?

Útvíkkaðu hugsun þína

Hvaða annars stigs jafna á þessu formi hefði eftirfarandi lausnir?

$a x^{2} + b x + c = 0$

$x = 5 - \sqrt{2} og x = 5 + \sqrt{2}$

Berðu saman svarið þitt:

$x^{2} - 10 x + 23 = 0$

Ef unnið er aftur á bak eru þetta lausnir á:

${(x - 5)}^{2} = 2$

Á staðalformi er jafnan:

$x^{2} - 10 x + 23 = 0$

Viðbótarefni

Að nota reiknivél fyrir nálgaðar lausnir

Skoðum lausnir jöfnunnar úr viðbótarefninu í 9.5.2:

Þéttari leið til að rita lausnirnar tvær á þessari jöfnu:

${(x + 4)}^{2} = 11$

er:

$x = - 4 \pm \sqrt{11}$

Hversu stórar eða litlar eru þessar tölur? Eru þær jákvæðar eða neikvæðar? Við getum notað reiknivél til að reikna nálguð gildi beggja stæðna:

$- 4 + \sqrt{11} \approx - 0,683$

$- 4 - \sqrt{11} \approx - 7,317$

Við getum einnig nálgað lausnirnar með því að teikna graf. Jafnan

${(x + 4)}^{2} = 11$

er jafngild:

${(x + 4)}^{2} - 11 = 0$

svo við getum teiknað graf fallsins

$y = {(x + 4)}^{2} - 11$

og fundið núllstöðvarnar með því að finna skurðpunkta grafsins við x-ás.

Reyndu

Að nota reiknivél fyrir nálgaðar lausnir

Finndu nálgaðar lausnir fyrir:

$x = 3 \pm \sqrt{19}$

Svona má nálga lausnirnar:

Skref 1 - Ritaðu tvær stæður.

$x = 3 + \sqrt{19}, x = 3 - \sqrt{19}$

Skref 2 - Notaðu reiknivél til að nálga lausnirnar að þremur aukastöfum.

$x \approx - 1,359, x \approx 7,359$