99.5 Annars stigs jöfnur með óræðum lausnum

9.5.2 Lausnir ritaðar sem ferningsrætur

9.5.2 • Lausnir ritaðar sem ferningsrætur

Verkefni

Leystu hverja jöfnu. Notaðu plús-mínusrithátt þegar það á við og ritaðu rætur á einfaldasta formi.

$x^{2} - 13 = - 12$

Berðu saman svarið þitt:

$x = \pm 1$

${(x - 6)}^{2} = 0$

$x = 6$

$x^{2} + 9 = 0$

Berðu saman svarið þitt:

Engin rauntölulausn.

Hingað til í þessu verkefni hefur þú fengist við rótarlausnir sem auðvelt var að einfalda. Stundum færðu rótarlausnir eins og √ $\sqrt{12}$ . Rifjum upp hvernig má einfalda erfiðari rætur með því að nota ferningstölur.

Skref 1 - Skoðaðu mismunandi leiðir til að þátta töluna undir rótarmerkinu.

Til dæmis má þátta $\sqrt{12}$ undir rótarmerkinu í √12.

$12 = 6 \cdot 2$ og $12 = 4 \cdot 3$

Skref 2 - Veldu þá þáttun tölunnar sem inniheldur ferningstölu. Ritaðu töluna undir rótarmerkinu með þeirri þáttun.

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3}$

Skref 3 - Rifjaðu upp þessa reglu:

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

$\sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3}$

Skref 4 - Einfaldaðu ferningstölurnar.

$\sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$

Því er:

$\sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$

$x^{2} = 18$

Berðu saman svarið þitt:

$x = \pm 3 \sqrt{2}$

$x^{2} + 1 = 18$

Berðu saman svarið þitt:

$x = \pm \sqrt{17}$

${(x + 1)}^{2} = 18$

Berðu saman svarið þitt:

$x = - 1 \pm 3 \sqrt{2}$

(eða jafngild lausn)

Viðbótarefni

Annars stigs jöfnur leystar með rótarlausnum

Þegar annars stigs jöfnur eru leystar er mikilvægt að muna að:

• Sérhver jákvæð tala hefur tvær ferningsrætur, eina jákvæða og eina neikvæða, því til eru tvær tölur sem gefa þessa tölu þegar þær eru settar í annað veldi. Til dæmis eru eftirfarandi bæði jöfn 36, svo 6 og −6 eru bæði ferningsrætur af 36.

$6^{2} og {(- 6)}^{2}$

• Rótarmerkið (√) má nota til að tákna jákvæðu ferningsrót tölu. Til dæmis er ferningsrótin af 36 jöfn 6, en hana má einnig rita þannig:

√ $\sqrt{36}$

því:

$\sqrt{36} \cdot \sqrt{36} = 36$

• Til að tákna neikvæðu ferningsrót tölu, til dæmis 36, getum við ritað −6 eða:

$- \sqrt{36}$

• Þegar tala er ekki ferningstala, til dæmis 40, getum við táknað ferningsrætur hennar þannig:

$\sqrt{40} og - \sqrt{40}$

Hvernig gætum við ritað lausnir jöfnu eins og þessari?

${(x + 4)}^{2} = 11$

Jafnan segir að „eitthvað í öðru veldi sé 11.“ Til að jafnan sé sönn verður þetta eitthvað að vera:

$\sqrt{11} eða - \sqrt{11}$

Við getum ritað:

$x + 4 = \sqrt{11} eða x + 4 = - \sqrt{11}$

$x = - 4 + \sqrt{11} eða x = - 4 - \sqrt{11}$

Þéttari leið til að rita lausnirnar tvær á jöfnunni er:

$x = - 4 \pm \sqrt{11}$

Reyndu

Annars stigs jöfnur leystar með rótarlausnum

Leystu:

${(x - 2)}^{2} = 17$

Svona má leysa þessa annars stigs jöfnu:

Skref 1 - Gakktu úr skugga um að annars stigs stæðan sé einangruð öðrum megin.

${(x - 2)}^{2} = 17$

Skref 2 - Taktu ferningsrót af báðum hliðum.

$\sqrt{{(x - 2)}^{2}} = \pm \sqrt{17}$

Skref 3 - Einfaldaðu.

$x - 2 = \pm \sqrt{17}$

Skref 4 - Leystu jöfnuna. Í þessu dæmi skaltu leggja 2 við báðar hliðar.

$x - 2 + 2 = 2 \pm \sqrt{17}$

Skref 5 - Einfaldaðu.

$x = 2 - \sqrt{17}, x = 2 + \sqrt{17}$

99.5 Annars stigs jöfnur með óræðum lausnum

9.5.2 Lausnir ritaðar sem ferningsrætur

9.5.2 • Lausnir ritaðar sem ferningsrætur

Verkefni

Leystu hverja jöfnu. Notaðu plús-mínusrithátt þegar það á við og ritaðu rætur á einfaldasta formi.

$x^{2} - 13 = - 12$

Berðu saman svarið þitt:

$x = \pm 1$

${(x - 6)}^{2} = 0$

$x = 6$

$x^{2} + 9 = 0$

Berðu saman svarið þitt:

Engin rauntölulausn.

Skref 1 - Skoðaðu mismunandi leiðir til að þátta töluna undir rótarmerkinu.

Til dæmis má þátta $\sqrt{12}$ undir rótarmerkinu í √12.

$12 = 6 \cdot 2$ og $12 = 4 \cdot 3$

Skref 2 - Veldu þá þáttun tölunnar sem inniheldur ferningstölu. Ritaðu töluna undir rótarmerkinu með þeirri þáttun.

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3}$

Skref 3 - Rifjaðu upp þessa reglu:

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

$\sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3}$

Skref 4 - Einfaldaðu ferningstölurnar.

$\sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$

Því er:

$\sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$

$x^{2} = 18$

Berðu saman svarið þitt:

$x = \pm 3 \sqrt{2}$

$x^{2} + 1 = 18$

Berðu saman svarið þitt:

$x = \pm \sqrt{17}$

${(x + 1)}^{2} = 18$

Berðu saman svarið þitt:

$x = - 1 \pm 3 \sqrt{2}$

(eða jafngild lausn)

Viðbótarefni

Annars stigs jöfnur leystar með rótarlausnum

Þegar annars stigs jöfnur eru leystar er mikilvægt að muna að:

$6^{2} og {(- 6)}^{2}$

• Rótarmerkið (√) má nota til að tákna jákvæðu ferningsrót tölu. Til dæmis er ferningsrótin af 36 jöfn 6, en hana má einnig rita þannig:

√ $\sqrt{36}$

því:

$\sqrt{36} \cdot \sqrt{36} = 36$

• Til að tákna neikvæðu ferningsrót tölu, til dæmis 36, getum við ritað −6 eða:

$- \sqrt{36}$

• Þegar tala er ekki ferningstala, til dæmis 40, getum við táknað ferningsrætur hennar þannig:

$\sqrt{40} og - \sqrt{40}$

Hvernig gætum við ritað lausnir jöfnu eins og þessari?

${(x + 4)}^{2} = 11$

Jafnan segir að „eitthvað í öðru veldi sé 11.“ Til að jafnan sé sönn verður þetta eitthvað að vera:

$\sqrt{11} eða - \sqrt{11}$

Við getum ritað:

$x + 4 = \sqrt{11} eða x + 4 = - \sqrt{11}$

$x = - 4 + \sqrt{11} eða x = - 4 - \sqrt{11}$

Þéttari leið til að rita lausnirnar tvær á jöfnunni er:

$x = - 4 \pm \sqrt{11}$

Reyndu

Annars stigs jöfnur leystar með rótarlausnum

Leystu:

${(x - 2)}^{2} = 17$

Svona má leysa þessa annars stigs jöfnu:

Skref 1 - Gakktu úr skugga um að annars stigs stæðan sé einangruð öðrum megin.

${(x - 2)}^{2} = 17$

Skref 2 - Taktu ferningsrót af báðum hliðum.

$\sqrt{{(x - 2)}^{2}} = \pm \sqrt{17}$

Skref 3 - Einfaldaðu.

$x - 2 = \pm \sqrt{17}$

Skref 4 - Leystu jöfnuna. Í þessu dæmi skaltu leggja 2 við báðar hliðar.

$x - 2 + 2 = 2 \pm \sqrt{17}$

Skref 5 - Einfaldaðu.

$x = 2 - \sqrt{17}, x = 2 + \sqrt{17}$