99.3 Að fylla í ferninginn, hluti 2

9.3.3 Að leysa með því að fylla í ferninginn

9.3.3 • Að leysa með því að fylla í ferninginn

Verkefni

Hér eru fjórar jöfnur og útreiknaðar lausnir þeirra. Í hverri lausn er að minnsta kosti ein villa.

1. Leystu jöfnuna $x^{2} + 14 x = - 24$ . Skoðaðu síðan eftirfarandi útreiknaða lausn með villum og finndu og lýstu villunni eða villunum í henni.

$\begin{matrix} x^{2} + 14 x & = - 24 & Skref 1 \\ x^{2} + 14 x + 28 & = 4 & Skref 2 \\ {(x + 7)}^{2} & = 4 & Skref 3 \\ x + 7 & = 2 & Skref 4 \\ x + 7 & = - 2 & Skref 5 \\ x & = - 5 og x = 9 & Skref 6 \end{matrix}$

Berðu saman svarið þitt:

$x = - 2 og x = - 12$

Hvar var villan gerð í útreiknuðu lausninni hér að ofan og hver var villan?

Villa: Í skrefi 2 er talan sem bætt er við, 28, ekki ferningstala. Hún ætti að vera 49.

2. Leystu jöfnuna $x^{2} - 10 x + 16 = 0$ . Skoðaðu síðan eftirfarandi útreiknaða lausn með villum og finndu og lýstu villunni eða villunum í henni.

$\begin{matrix} x^{2} - 10 x + 16 & = 0 & Skref 1 \\ x^{2} - 10 x + 25 & = 9 & Skref 2 \\ {(x - 5)}^{2} & = 9 & Skref 3 \\ x - 5 & = 9 & Skref 4 \\ x - 5 & = - 9 & Skref 5 \\ x & = 14 og x = - 4 & Skref 6 \end{matrix}$

Berðu saman svarið þitt:

$x = 8 og x = 2$

Hvar var villan gerð í útreiknuðu lausninni hér að ofan og hver var villan?

Villur: Í skrefi 4 ætti hægri hliðin að vera 3, ekki 9. Í skrefi 5 ætti hægri hliðin að vera −3, ekki −9.

3. Leystu jöfnuna $x^{2} + 2,4 x = - 0,8$ . Skoðaðu síðan eftirfarandi útreiknaða lausn með villum og finndu og lýstu villunni eða villunum í henni.

$\begin{matrix} x^{2} + 2,4 x & = - 0,8 & Skref 1 \\ x^{2} + 2,4 x + 1,44 & = 0,64 & Skref 2 \\ {(x + 1,2)}^{2} & = 0,64 & Skref 3 \\ x + 1,2 & = 0,8 & Skref 4 \end{matrix}$

Berðu saman svarið þitt:

$x = - 0,4 og x = - 2$

Hvar var villan gerð í útreiknuðu lausninni hér að ofan og hver var villan?

Villa: Í skrefi 4 er aðeins jákvæða ferningsrótin skrifuð og neikvæða ferningsrótin er vanrækt.

Leystu eftirfarandi jöfnu. Skoðaðu síðan útreiknaða lausn með villum og finndu og lýstu villunni eða villunum í henni.

Lausn

$x^{2} - \frac{6}{5} x + \frac{1}{5} = 0$

$\begin{matrix} x^{2} - \frac{6}{5} x + \frac{1}{5} & = 0 & Skref 1 \\ x^{2} - \frac{6}{5} x + \frac{9}{25} & = \frac{9}{25} & Skref 2 \\ {(x - \frac{3}{5})}^{2} & = \frac{9}{25} & Skref 3 \\ x - \frac{3}{5} & = \frac{3}{5} & Skref 4 \\ x - \frac{3}{5} & = - \frac{3}{5} & Skref 5 \\ x & = \frac{6}{5} og x = 0 & Skref 6 \end{matrix}$

Berðu saman svarið þitt:

$x = 1 og x = \frac{1}{5}$

Hvar var villan gerð í útreiknuðu lausninni hér að ofan og hver var villan?

Villur: Til dæmis er mismunandi stærðum bætt við hvora hlið í skrefi 2. Vinstra megin er stærðin hér fyrir neðan bætt við:

$\frac{4}{25}$

Hægra megin er þessi stærð bætt við:

$\frac{9}{25}$

Einnig má segja að stærðin hér fyrir neðan hafi verið bætt við hægri hliðina:

$\frac{9}{25}$

en þessi stærð hafi aðeins verið dregin frá vinstri hliðinni:

$\frac{1}{5}$

Aðrar skýringar geta líka verið réttar.

Viðbótarefni

Að koma auga á villuna þegar annars stigs jöfnur eru leystar

Til að finna villu þegar annars stigs jafna er leyst er gagnlegt að leysa verkefnið fyrst á eigin spýtur.

Leystu annars stigs jöfnuna með því að fylla í ferninginn og finna núllstöðvar hennar. Finndu villuna í útreiknuðu lausninni hér fyrir neðan.

$\begin{matrix} x^{2} + 10 x - 34 & = 0 & Skref 1 \\ x^{2} + 10 x & = 34 & Skref 2 \\ x^{2} + 10 x + 25 & = 34 - 25 & Skref 3 \\ {(x + 5)}^{2} & = 9 & Skref 4 \\ x + 5 & = \pm 3 & Skref 5 \\ x & = - 8, x = - 2 & Skref 6 \end{matrix}$

Finndu nú villuna með því að vinna verkefnið á eigin spýtur og bera skrefin saman:

$\begin{matrix} x^{2} + 10 x - 34 & = 0 & Skref 1 \\ x^{2} + 10 x & = 34 & Skref 2 \\ x^{2} + 10 x + 25 & = 34 + 25 & Skref 3 \end{matrix}$

Í skrefi 3 var 25 bætt við vinstri hlið jöfnunnar en 25 dregið frá hægri hliðinni. Jöfnur verða að haldast í jafnvægi og því hefði átt að bæta 25 við báðar hliðar.

99.3 Að fylla í ferninginn, hluti 2

9.3.3 Að leysa með því að fylla í ferninginn

9.3.3 • Að leysa með því að fylla í ferninginn

Verkefni

Hér eru fjórar jöfnur og útreiknaðar lausnir þeirra. Í hverri lausn er að minnsta kosti ein villa.

1. Leystu jöfnuna $x^{2} + 14 x = - 24$ . Skoðaðu síðan eftirfarandi útreiknaða lausn með villum og finndu og lýstu villunni eða villunum í henni.

Berðu saman svarið þitt:

$x = - 2 og x = - 12$

Hvar var villan gerð í útreiknuðu lausninni hér að ofan og hver var villan?

Villa: Í skrefi 2 er talan sem bætt er við, 28, ekki ferningstala. Hún ætti að vera 49.

2. Leystu jöfnuna $x^{2} - 10 x + 16 = 0$ . Skoðaðu síðan eftirfarandi útreiknaða lausn með villum og finndu og lýstu villunni eða villunum í henni.

Berðu saman svarið þitt:

$x = 8 og x = 2$

Hvar var villan gerð í útreiknuðu lausninni hér að ofan og hver var villan?

Villur: Í skrefi 4 ætti hægri hliðin að vera 3, ekki 9. Í skrefi 5 ætti hægri hliðin að vera −3, ekki −9.

3. Leystu jöfnuna $x^{2} + 2,4 x = - 0,8$ . Skoðaðu síðan eftirfarandi útreiknaða lausn með villum og finndu og lýstu villunni eða villunum í henni.

$\begin{matrix} x^{2} + 2,4 x & = - 0,8 & Skref 1 \\ x^{2} + 2,4 x + 1,44 & = 0,64 & Skref 2 \\ {(x + 1,2)}^{2} & = 0,64 & Skref 3 \\ x + 1,2 & = 0,8 & Skref 4 \end{matrix}$

Berðu saman svarið þitt:

$x = - 0,4 og x = - 2$

Hvar var villan gerð í útreiknuðu lausninni hér að ofan og hver var villan?

Villa: Í skrefi 4 er aðeins jákvæða ferningsrótin skrifuð og neikvæða ferningsrótin er vanrækt.

Leystu eftirfarandi jöfnu. Skoðaðu síðan útreiknaða lausn með villum og finndu og lýstu villunni eða villunum í henni.

Lausn

$x^{2} - \frac{6}{5} x + \frac{1}{5} = 0$

Berðu saman svarið þitt:

$x = 1 og x = \frac{1}{5}$

Hvar var villan gerð í útreiknuðu lausninni hér að ofan og hver var villan?

Villur: Til dæmis er mismunandi stærðum bætt við hvora hlið í skrefi 2. Vinstra megin er stærðin hér fyrir neðan bætt við:

$\frac{4}{25}$

Hægra megin er þessi stærð bætt við:

$\frac{9}{25}$

Einnig má segja að stærðin hér fyrir neðan hafi verið bætt við hægri hliðina:

$\frac{9}{25}$

en þessi stærð hafi aðeins verið dregin frá vinstri hliðinni:

$\frac{1}{5}$

Aðrar skýringar geta líka verið réttar.

Viðbótarefni

Að koma auga á villuna þegar annars stigs jöfnur eru leystar

Til að finna villu þegar annars stigs jafna er leyst er gagnlegt að leysa verkefnið fyrst á eigin spýtur.

Leystu annars stigs jöfnuna með því að fylla í ferninginn og finna núllstöðvar hennar. Finndu villuna í útreiknuðu lausninni hér fyrir neðan.

Finndu nú villuna með því að vinna verkefnið á eigin spýtur og bera skrefin saman:

$\begin{matrix} x^{2} + 10 x - 34 & = 0 & Skref 1 \\ x^{2} + 10 x & = 34 & Skref 2 \\ x^{2} + 10 x + 25 & = 34 + 25 & Skref 3 \end{matrix}$

Í skrefi 3 var 25 bætt við vinstri hlið jöfnunnar en 25 dregið frá hægri hliðinni. Jöfnur verða að haldast í jafnvægi og því hefði átt að bæta 25 við báðar hliðar.