99.2 Að fylla í ferninginn, hluti 1

9.2.3 Að fylla í ferninginn

9.2.3 • Að fylla í ferninginn

Verkefni

Ein aðferð til að leysa annars stigs jöfnur kallast að fylla í ferninginn. Hér eru tvö dæmi um hvernig Diego og Mai fylltu í ferninginn til að leysa sömu jöfnuna.

Dæmi Diego

$x^{2} + 10 x + 9 = 0$

$x^{2} + 10 x = - 9$

$x^{2} + 10 x + 25 = - 9 + 25$

$x^{2} + 10 x + 25 = 16$

${(x + 5)}^{2} = 16$

$x + 5 = \pm 4$

$x + 5 = 4 eða x + 5 = - 4$

$x = - 1 og x = - 9$

Dæmi Mai

$x^{2} + 10 x + 9 = 0$

$x^{2} + 10 x + 9 + 16 = 16$

$x^{2} + 10 x + 25 = 16$

${(x + 5)}^{2} = 16$

$x + 5 = \pm 4$

$x + 5 = 4 eða x + 5 = - 4$

$x = - 1 eða x = - 9$

Skoðaðu leystu dæmin. Reyndu síðan að leysa jöfnurnar í liðum 1-5 með því að fylla í ferninginn.

1. $x^{2} + 6 x + 8 = 0$

Berðu svarið þitt saman:

$x^{2} + 6 x + 8 = 0$

$x^{2} + 6 x = - 8$

$x^{2} + 6 x + 9 = - 8 + 9$

${(x + 3)}^{2} = 1$

$\sqrt{{(x + 3)}^{2}} = \sqrt{1}$

$x + 3 = \pm 1$

$x + 3 = 1$

$x + 3 = - 1$

$x = - 4 og x = - 2$

2. $x^{2} + 12 x = 13$

Berðu svarið þitt saman:

$x^{2} + 12 x = 13$

$x^{2} + 12 x + 36 = 13 + 36$

$x^{2} + 12 x + 36 = 49$

${(x + 6)}^{2} = 49$

$\sqrt{{(x + 6)}^{2}} = \sqrt{49}$

$x + 6 = \pm 7$

$x + 6 = 7$

$x + 6 = - 7$

$x = - 13 og x = 1$

3. $0 = x^{2} - 10 x + 21$

Berðu svarið þitt saman:

$0 = x^{2} - 10 x + 21$

$x^{2} - 10 x = - 21$

$x^{2} - 10 x + 25 = - 21 + 25$

$x^{2} - 10 x + 25 = 4$

${(x - 5)}^{2} = 4$

$x - 5 = \pm 2$

$x - 5 = 2$

$x - 5 = - 2$

$x = 3 og x = 7$

4. $x^{2} - 2 x + 3 = 83$

Berðu svarið þitt saman:

$x^{2} - 2 x + 3 = 83$

$x^{2} - 2 x = 80$

$x^{2} - 2 x + 1 = 80 + 1$

$x^{2} - 2 x + 1 = 81$

${(x - 1)}^{2} = 81$

$x - 1 = \pm 9$

$x - 1 = 9$

$x - 1 = - 9$

$x = - 8 og x = 10$

5. $x^{2} + 40 = 14 x$

Berðu svarið þitt saman:

$x^{2} + 40 = 14 x$

$x^{2} - 14 x = - 40$

$x^{2} - 14 x + 49 = - 40 + 49$

$x^{2} - 14 x + 49 = 9$

${(x - 7)}^{2} = 9$

$x - 7 = \pm 3$

$x - 7 = 3$

$x - 7 = - 3$

$x = 4 og x = 10$

Myndband: Að leysa jöfnur með því að fylla í ferninginn

Horfðu á eftirfarandi myndband til að læra meira um að leysa jöfnur með því að fylla í ferninginn.

Viltu prófa meira?

Að víkka hugsunina

Hér er skýringarmynd sem er gerð úr ferningi og tveimur eins rétthyrningum. Heildarflatarmál hennar er $x^{2} + 35 x$ ferningseiningar.

Skýringarmynd A

Skýringarmynd með ferningi með hliðarlengd x og tveimur eins rétthyrningum sem mynda horn utan um ferninginn.

1. Hver er lengd ómerktu hliðarinnar á hvorum rétthyrningi í skýringarmynd A?

Berðu svarið þitt saman:

17,5

2. Í skýringarmynd B bætum við línum við til að gera myndina að ferningi. Flatarmál ferningsins verður annars stigs stæða.

Skýringarmynd með litlum ferningi með hliðarlengd x, tveimur eins rétthyrningum og viðbótarferningi sem fyllir út í stærri ferning.

Reiknaðu stæðuna og settu hana síðan á staðalformið $a x^{2} + b x + c$ til að svara spurningum a og b.

a. Ef staðalformið $a x^{2} + b x + c$ táknar flatarmál ferningsins í skýringarmynd $b$ , hvert er gildi stuðulsins b ?

Berðu svarið þitt saman:

b. Ef staðalformið $a x^{2} + b x + c$ táknar flatarmál ferningsins í skýringarmynd B, hvert er gildi fastaliðarins $c$ ?

Berðu svarið þitt saman:

306,25

3. Hvernig líkist ferlið við að finna flatarmál allrar myndarinnar því að búa til þrílið sem er ferningur tvíliðu fyrir stæður eins og $x^{2} + b x$ ?

Berðu svarið þitt saman:

Fyrst þurftum við að finna hvaða tala væri helmingurinn af 35, það er 17,5, til að finna hliðarlengd rétthyrninganna. Síðan þurftum við að hefja 17,5 í annað veldi til að finna flatarmál hlutans sem vantaði.

Ítarefni

Að leysa annars stigs jöfnur með því að fylla í ferninginn

Dæmi

Leystu $x^{2} + 8 x = 48$ með því að fylla í ferninginn.

Skref 1: Einangraðu breytuliðina öðrum megin og settu fastaliðinn hinum megin. Í þessari jöfnu eru allir breytuliðirnir vinstra megin.

$a x^{2} + b x = c$

$x^{2} + 8 x = 48$

Skref 2: Finndu (b²)² , töluna sem þarf til að fylla í ferninginn. Bættu henni við báðar hliðar jöfnunnar. Taktu helminginn af 8 og hefðu hann í annað veldi.

$4^{2} = 16$

Bættu 16 við báðar hliðar jöfnunnar.

$x^{2} + 8 x + □ = 48$

${(\frac{b}{2})}^{2}$

$x^{2} + 8 x + 16 = 48 + 16$

Skref 3: Þáttaðu þríliðinn sem er ferningur tvíliðu sem ferning tvíliðu.

$x^{2} + 8 x + 16 = {(x + 4)}^{2}$

Settu ferning tvíliðunnar í stað þríliðsins.

${(x + 4)}^{2} = 64$

Skref 4: Notaðu regluna um ferningsrætur.

$\sqrt{{(x + 4)}^{2}} = \sqrt{64}$

$x + 4 = \pm 8$

Skref 5: Einfaldaðu rótina og leystu síðan jöfnurnar tvær sem fást.

$x + 4 = 8$

$x + 4 = - 8$

$x = 4$

$x = - 12$

Skref 6: Athugaðu lausnirnar. Settu hvort svar inn í upprunalegu jöfnuna.

Settu inn $x = 4$ .

$x^{2} + 8 x = 48$

${(4)}^{2} + 8 (4) ≟ 48$

$16 + 32 ≟ 48$

$48 = 48 ✔$

Settu inn $x = - 12$ .

$x^{2} + 8 x = 48$

${(- 12)}^{2} + 8 (- 12) ≟ 48$

$144 - 96 ≟ 48$

$48 = 48 ✔$

99.2 Að fylla í ferninginn, hluti 1

9.2.3 Að fylla í ferninginn

9.2.3 • Að fylla í ferninginn

Verkefni

Ein aðferð til að leysa annars stigs jöfnur kallast að fylla í ferninginn. Hér eru tvö dæmi um hvernig Diego og Mai fylltu í ferninginn til að leysa sömu jöfnuna.

Dæmi Diego

$x^{2} + 10 x + 9 = 0$

$x^{2} + 10 x = - 9$

$x^{2} + 10 x + 25 = - 9 + 25$

$x^{2} + 10 x + 25 = 16$

${(x + 5)}^{2} = 16$

$x + 5 = \pm 4$

$x + 5 = 4 eða x + 5 = - 4$

$x = - 1 og x = - 9$

Dæmi Mai

$x^{2} + 10 x + 9 = 0$

$x^{2} + 10 x + 9 + 16 = 16$

$x^{2} + 10 x + 25 = 16$

${(x + 5)}^{2} = 16$

$x + 5 = \pm 4$

$x + 5 = 4 eða x + 5 = - 4$

$x = - 1 eða x = - 9$

Skoðaðu leystu dæmin. Reyndu síðan að leysa jöfnurnar í liðum 1-5 með því að fylla í ferninginn.

1. $x^{2} + 6 x + 8 = 0$

Berðu svarið þitt saman:

$x^{2} + 6 x + 8 = 0$

$x^{2} + 6 x = - 8$

$x^{2} + 6 x + 9 = - 8 + 9$

${(x + 3)}^{2} = 1$

$\sqrt{{(x + 3)}^{2}} = \sqrt{1}$

$x + 3 = \pm 1$

$x + 3 = 1$

$x + 3 = - 1$

$x = - 4 og x = - 2$

2. $x^{2} + 12 x = 13$

Berðu svarið þitt saman:

$x^{2} + 12 x = 13$

$x^{2} + 12 x + 36 = 13 + 36$

$x^{2} + 12 x + 36 = 49$

${(x + 6)}^{2} = 49$

$\sqrt{{(x + 6)}^{2}} = \sqrt{49}$

$x + 6 = \pm 7$

$x + 6 = 7$

$x + 6 = - 7$

$x = - 13 og x = 1$

3. $0 = x^{2} - 10 x + 21$

Berðu svarið þitt saman:

$0 = x^{2} - 10 x + 21$

$x^{2} - 10 x = - 21$

$x^{2} - 10 x + 25 = - 21 + 25$

$x^{2} - 10 x + 25 = 4$

${(x - 5)}^{2} = 4$

$x - 5 = \pm 2$

$x - 5 = 2$

$x - 5 = - 2$

$x = 3 og x = 7$

4. $x^{2} - 2 x + 3 = 83$

Berðu svarið þitt saman:

$x^{2} - 2 x + 3 = 83$

$x^{2} - 2 x = 80$

$x^{2} - 2 x + 1 = 80 + 1$

$x^{2} - 2 x + 1 = 81$

${(x - 1)}^{2} = 81$

$x - 1 = \pm 9$

$x - 1 = 9$

$x - 1 = - 9$

$x = - 8 og x = 10$

5. $x^{2} + 40 = 14 x$

Berðu svarið þitt saman:

$x^{2} + 40 = 14 x$

$x^{2} - 14 x = - 40$

$x^{2} - 14 x + 49 = - 40 + 49$

$x^{2} - 14 x + 49 = 9$

${(x - 7)}^{2} = 9$

$x - 7 = \pm 3$

$x - 7 = 3$

$x - 7 = - 3$

$x = 4 og x = 10$

Myndband: Að leysa jöfnur með því að fylla í ferninginn

Horfðu á eftirfarandi myndband til að læra meira um að leysa jöfnur með því að fylla í ferninginn.

Viltu prófa meira?

Að víkka hugsunina

Hér er skýringarmynd sem er gerð úr ferningi og tveimur eins rétthyrningum. Heildarflatarmál hennar er $x^{2} + 35 x$ ferningseiningar.

Skýringarmynd A

1. Hver er lengd ómerktu hliðarinnar á hvorum rétthyrningi í skýringarmynd A?

Berðu svarið þitt saman:

17,5

2. Í skýringarmynd B bætum við línum við til að gera myndina að ferningi. Flatarmál ferningsins verður annars stigs stæða.

Reiknaðu stæðuna og settu hana síðan á staðalformið $a x^{2} + b x + c$ til að svara spurningum a og b.

a. Ef staðalformið $a x^{2} + b x + c$ táknar flatarmál ferningsins í skýringarmynd $b$ , hvert er gildi stuðulsins b ?

Berðu svarið þitt saman:

b. Ef staðalformið $a x^{2} + b x + c$ táknar flatarmál ferningsins í skýringarmynd B, hvert er gildi fastaliðarins $c$ ?

Berðu svarið þitt saman:

306,25

3. Hvernig líkist ferlið við að finna flatarmál allrar myndarinnar því að búa til þrílið sem er ferningur tvíliðu fyrir stæður eins og $x^{2} + b x$ ?

Berðu svarið þitt saman:

Ítarefni

Að leysa annars stigs jöfnur með því að fylla í ferninginn

Dæmi

Leystu $x^{2} + 8 x = 48$ með því að fylla í ferninginn.

Skref 1: Einangraðu breytuliðina öðrum megin og settu fastaliðinn hinum megin. Í þessari jöfnu eru allir breytuliðirnir vinstra megin.

$a x^{2} + b x = c$

$x^{2} + 8 x = 48$

Skref 2: Finndu (b²)² , töluna sem þarf til að fylla í ferninginn. Bættu henni við báðar hliðar jöfnunnar. Taktu helminginn af 8 og hefðu hann í annað veldi.

$4^{2} = 16$

Bættu 16 við báðar hliðar jöfnunnar.

$x^{2} + 8 x + □ = 48$

${(\frac{b}{2})}^{2}$

$x^{2} + 8 x + 16 = 48 + 16$

Skref 3: Þáttaðu þríliðinn sem er ferningur tvíliðu sem ferning tvíliðu.

$x^{2} + 8 x + 16 = {(x + 4)}^{2}$

Settu ferning tvíliðunnar í stað þríliðsins.

${(x + 4)}^{2} = 64$

Skref 4: Notaðu regluna um ferningsrætur.

$\sqrt{{(x + 4)}^{2}} = \sqrt{64}$

$x + 4 = \pm 8$

Skref 5: Einfaldaðu rótina og leystu síðan jöfnurnar tvær sem fást.

$x + 4 = 8$

$x + 4 = - 8$

$x = 4$

$x = - 12$

Skref 6: Athugaðu lausnirnar. Settu hvort svar inn í upprunalegu jöfnuna.

Settu inn $x = 4$ .

$x^{2} + 8 x = 48$

${(4)}^{2} + 8 (4) ≟ 48$

$16 + 32 ≟ 48$

$48 = 48 ✔$

Settu inn $x = - 12$ .

$x^{2} + 8 x = 48$

${(- 12)}^{2} + 8 (- 12) ≟ 48$

$144 - 96 ≟ 48$

$48 = 48 ✔$