99.11 Notkun annars stigs stæðna á topppunktsformi til að leysa verkefni

9.11.2 Táknar topppunkturinn lággildi eða hágildi?

9.11.2 • Táknar topppunkturinn lággildi eða hágildi?

Verkefni

1. Grafið sem táknar $p (x) = {(x - 8)}^{2} + 1$ hefur topppunkt í $(8, 1)$ . Hér er ein leið til að sýna, án þess að teikna graf, að $(8, 1)$ samsvarar lággildi p.

Þegar $x = 8$ er gildi ${(x - 8)}^{2}$ jafnt og 0, því ${(8 - 8)}^{2} = 0^{2} = 0$ .

Þegar tala er sett í annað veldi fæst alltaf núll eða jákvæð tala. Ef x er annað gildi en 8 er (x−8) ekki núll og því er ${(x - 8)}^{2}$ jákvætt.

Sérhver jákvæð tala er stærri en 0. Þess vegna er ${(x - 8)}^{2}$ stærra þegar $x \neq 8$ en þegar $x = 8$ , og p hefur lággildi þegar $x = 8$ .

Notaðu svipaða röksemdafærslu til að útskýra hvers vegna punkturinn $(4, 1)$ samsvarar hágildi q, þar sem $q (x) = - 2 {(x - 4)}^{2} + 1$ .

Þegar $x = 4$ er ${(x - 4)}^{2}$ jafnt og 0, því $- 2 {(4 - 4)}^{2} = - 2 (0^{2}) = 0$ .

Þegar x er annað gildi en 4 er ${(x - 4)}^{2}$ jákvætt. Þegar jákvæð tala er margfölduð með neikvæðu tölunni −2 verður margfeldið neikvætt.

Sérhver neikvæð tala er minni en 0. Þess vegna er $- 2 {(x - 4)}^{2}$ minna þegar x≠4 en þegar $x = 4$ , og q hefur hágildi þegar $x = 4$ .

Hágildi falls er stærsta gildi fallsins. Lággildi falls er minnsta gildi fallsins. Þar sem ekki er hægt að ná óendanleika eða snerta hann telst óendanleiki hvorki hágildi né lággildi.

Í annars stigs föllum kemur hágildi eða lággildi fram í topppunkti fleygbogans.

Fyrir hvert fall skaltu ákvarða hvort topppunkturinn gefur hágildi eða lággildi.

Lausn

$f (x) = - {(x - 4)}^{2} + 6$ , topppunktur $(4, 6)$ : hágildi. Forystustuðullinn er neikvæður og fleygboginn opnast niður.

$g (x) = {(x + 7)}^{2} - 3$ , topppunktur $(- 7, - 3)$ : lággildi. Forystustuðullinn er jákvæður og fleygboginn opnast upp.

$h (x) = 4 {(x + 5)}^{2} + 7$ , topppunktur $(- 5, 7)$ : lággildi. Forystustuðullinn er jákvæður og fleygboginn opnast upp.

$k (x) = x^{2} - 6 x - 3$ , topppunktur $(3, - 12)$ : lággildi. Forystustuðullinn er jákvæður og fleygboginn opnast upp.

$m (x) = - x^{2} + 8 x$ , topppunktur $(4, 16)$ : hágildi. Forystustuðullinn er neikvæður og fleygboginn opnast niður.

Viltu prófa meira?

Dýpkun

Hér sést hluti af grafi annars stigs fallsins $q (x) = - x^{2} + 14 x - 40$ .

Graph of a parabola on a coordinate plane where the axes are unlabeled. A red rectangle is superimposed over the parabola in the first quadrant.

Rétthyrningurinn $A B C D$ er teiknaður eins og sýnt er. Punktarnir A og B falla saman við skurðpunkta grafsins við x-ásinn og hliðin CD snertir topppunkt fleygbogans. Finndu flatarmál rétthyrningsins $A B C D$ . Sýndu eða útskýrðu röksemdafærsluna.

Flatarmál rétthyrningsins $A B C D$ er 54 ferningseiningar.

Ein leið er að skrifa annars stigs fallið á þáttuðu formi: $(- x + 10) (x - 4)$ . Þá eru skurðpunktarnir við x-ás $(4, 0)$ og $(10, 0)$ , þannig að lengd AB er 6. x-hnit topppunktsins er mitt á milli 4 og 10, eða $x = 7$ . Þegar $x = 7$ er sett inn í $(- x + 10) (x - 4)$ fæst 3·3=9, svo hæð rétthyrningsins er 9. Flatarmálið er 6·9=54.

Önnur leið er að skrifa $q (x) = - x^{2} + 14 x - 40$ á topppunktsformi: $q (x) = - 1 {(x - 7)}^{2} + 9$ . Þá er topppunkturinn $(7, 9)$ , svo hæð rétthyrningsins er 9. Ef fyllt er í ferninginn í jöfnunni $- x^{2} + 14 x - 40 = 0$ fæst $x = 4$ og $x = 10$ . Þessir skurðpunktar við x-ás eru A og B, svo breiddin er $10 - 4 = 6$ .

Viðbótarefni

Að bera kennsl á hágildi eða lággildi

Hæsti punktur er hágildi og lægsti punktur er lággildi. Graf annars stigs falls er fleygbogi og hefur annaðhvort hágildi eða lággildi.

Dæmi 1

Teiknaðu graf fallsins $f (x) = {(x - 2)}^{2} - 1$ . Þar sem fallið er á topppunktsforminu $f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$ er topppunkturinn í $(h, k)$ . Fyrir þetta graf er topppunkturinn $(2, - 1)$ . Þar sem forystustuðullinn a er jákvæður opnast fleygboginn upp og topppunkturinn gefur lággildi.

Graph of a parabola on a coordinate plane. The vertex (2, negative 1) has been labeled on the parabola. Both the x- and y-axes have a scale of 1 and extend from negative 10 to 10.

Dæmi 2

Teiknaðu graf fallsins $f (x) = - {(x + 1)}^{2} + 3$ . Topppunkturinn er $(- 1, 3)$ . Þar sem forystustuðullinn er neikvæður opnast fleygboginn niður og topppunkturinn gefur hágildi.

Graph of a parabola on a coordinate plane. The vertex (negative 1, 3) has been labeled on the parabola. Both the x- and y-axes have a scale of 1 and extend from negative 10 to 10.