9.11.2 Táknar topppunkturinn lággildi eða hágildi?

Verkefni

1. Grafið sem táknar $p(x)=(x-8{)}^2+1$ hefur topppunkt í $(8,1)$. Hér er ein leið til að sýna, án þess að teikna graf, að $(8,1)$ samsvarar lággildi $p$.

   Þegar $x=8$ er gildi $(x-8{)}^2$ jafnt og 0, því $(8-8{)}^2=0^2=0$.

   Þegar tala er sett í annað veldi fæst alltaf núll eða jákvæð tala. Ef $x$ er annað gildi en 8 er $(x-8)$ ekki núll og því er $(x-8{)}^2$ jákvætt.

   Sérhver jákvæð tala er stærri en 0. Þess vegna er $(x-8{)}^2$ stærra þegar $x\mathrm{\ne }8$ en þegar $x=8$, og $p$ hefur lággildi þegar $x=8$.

   Notaðu svipaða röksemdafærslu til að útskýra hvers vegna punkturinn $(4,1)$ samsvarar hágildi $q$, þar sem $q(x)=-2(x-4{)}^2+1$.

   Lausn

   Þegar $x=4$ er $(x-4{)}^2$ jafnt og 0, því $-2(4-4{)}^2=-2(0^2)=0$.

   Þegar $x$ er annað gildi en 4 er $(x-4{)}^2$ jákvætt. Þegar jákvæð tala er margfölduð með neikvæðu tölunni −2 verður margfeldið neikvætt.

   Sérhver neikvæð tala er minni en 0. Þess vegna er $-2(x-4{)}^2$ minna þegar $x\mathrm{\ne }4$ en þegar $x=4$, og $q$ hefur hágildi þegar $x=4$.

Hágildi falls er stærsta gildi fallsins. Lággildi falls er minnsta gildi fallsins. Þar sem ekki er hægt að ná óendanleika eða snerta hann telst óendanleiki hvorki hágildi né lággildi.

Í annars stigs föllum kemur hágildi eða lággildi fram í topppunkti fleygbogans.

2. Fyrir hvert fall skaltu ákvarða hvort topppunkturinn gefur hágildi eða lággildi.

1. $f(x)=-(x-4{)}^2+6$, topppunktur $(4,6)$

   Lausn

   hágildi. Forystustuðullinn er neikvæður og fleygboginn opnast niður.

2. $g(x)=(x+7{)}^2-3$, topppunktur $(-7,-3)$

   Lausn

   lággildi. Forystustuðullinn er jákvæður og fleygboginn opnast upp.

3. $h(x)=4(x+5{)}^2+7$, topppunktur $(-5,7)$

   Lausn

   lággildi. Forystustuðullinn er jákvæður og fleygboginn opnast upp.

4. $k(x)=x^2-6x-3$, topppunktur $(3,-12)$

   Lausn

   lággildi. Forystustuðullinn er jákvæður og fleygboginn opnast upp.

5. $m(x)=-x^2+8x$, topppunktur $(4,16)$

   Lausn

   hágildi. Forystustuðullinn er neikvæður og fleygboginn opnast niður.

Viltu prófa meira?

Dýpkun

Hér sést hluti af grafi annars stigs fallsins $q(x)=-x^2+14x-40$.

Rétthyrningurinn ABCD er teiknaður eins og sýnt er. Punktarnir A og B falla saman við skurðpunkta grafsins við $x$-ásinn og hliðin CD snertir topppunkt fleygbogans. Finndu flatarmál rétthyrningsins ABCD.

Lausn

Flatarmál rétthyrningsins ABCD er 54 ferningseiningar.

Ein leið er að skrifa annars stigs fallið á þáttuðu formi: $(-x+10)(x-4)$. Þá eru skurðpunktarnir við $x$-ás $(4,0)$ og $(10,0)$, þannig að lengd AB er 6. $x$-hnit topppunktsins er mitt á milli 4 og 10, eða 7.

Önnur leið er að skrifa $q(x)=-x^2+14x-40$ á topppunktsformi: $q(x)=-1(x-7{)}^2+9$. Þá er topppunkturinn $(7,9)$, svo hæð rétthyrningsins er 9.

Sjálfspróf

Hver eftirfarandi fullyrðinga lýsir rétt topppunkti fallsins $h(x)=-3(x-2{)}^2+5$ og segir hvort hann gefur hágildi eða lággildi?

1. $(-2,-5)$, lággildi
2. $(2,5)$, hágildi
3. $(2,5)$, lággildi
4. $(-2,-5)$, hágildi

Viðbótarefni

Að bera kennsl á hágildi eða lággildi

Hæsti punktur er hágildi og lægsti punktur er lággildi. Graf annars stigs falls er fleygbogi og hefur annaðhvort hágildi eða lággildi.

Dæmi 1

Teiknaðu graf fallsins $f(x)=(x-2{)}^2-1$. Þar sem fallið er á topppunktsforminu $f(x)=a(x-h{)}^2+k$ er topppunkturinn í $(h,k)$. Fyrir þetta graf er topppunkturinn $(2,-1)$. Þar sem forystustuðullinn $a$ er jákvæður opnast fleygboginn upp og topppunkturinn gefur lággildi.

Dæmi 2

Teiknaðu graf fallsins $f(x)=-(x+1{)}^2+3$. Topppunkturinn er $(-1,3)$. Þar sem forystustuðullinn er neikvæður opnast fleygboginn niður og topppunkturinn gefur hágildi.

Reyndu þetta

Fyrir fallið $f(x)=(x+4{)}^2-2$ skaltu finna topppunktinn og segja hvort hann gefur hágildi eða lággildi.

Lausn

Skref 1: Finndu topppunktinn $(h,k)$ út frá topppunktsforminu.

Topppunkturinn er $(-4,-2)$.

Skref 2: Forystustuðullinn er jákvæður, þannig að fleygboginn opnast upp.

Skref 3: Þar sem fleygboginn opnast upp gefur topppunkturinn lággildi.