8.4.3 Beiting núllþáttareglu til að leysa raunverulegt kastvandamál

Við höfum séð annars stigs föll sem líkja eftir hæð hlutar í kasthreyfingu sem falli af tíma.

Hér eru tvær jafngildar skilgreiningar á sama falli, sem nálgar hæð hlutarins í metrum $t$ sekúndum eftir að honum er kastað:

1. 1. Hvaða skilgreining fallsins gerir okkur kleift að nota núllþáttaregluna til að finna hvenær hæð hlutarins er 0 metrar, það er hvenær hluturinn er á jörðinni?

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Sú sem notar annars stigs stæðu á þáttuðu formi.

2. 2. Án þess að teikna graf skaltu ákvarða á hvaða tíma eða tímum hæð hlutarins er 0 metrar. Sýndu röksemdafærslu þína.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Hæð hlutarins er 0 metrar eftir 6 sekúndur. Beitum núllþáttareglunni á þáttuðu skilgreininguna:

   $$\begin{array}{rcl}(-5t-3)(t-6)& =& 0\\ t& =& -\frac{3}{5}\\ t& =& 6\end{array}$$

   Þar sem hlutnum var kastað þegar $t=0$ á neikvæða lausnin ekki við í þessu samhengi. Raunhæfa lausnin er því $t=6$.

3. 3. Notaðu fallið á staðalformi til að ákvarða hæð hlutarins áður en hreyfingin hófst, þegar $t=0$ sekúndur. Búðu þig undir að sýna röksemdafærslu þína.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Hæð hlutarins er 18 metrar þegar $t=0$.

   $$\begin{array}{rcl}h\left(0\right)& =& -5{\left(0\right)}^2+27\left(0\right)+18\\ h\left(0\right)& =& 18\end{array}$$

Video: Applying the Zero Product Property

Watch the following video to learn more about applying the zero product property to solve a real-world projectile problem.

Athugaðu skilning þinn

Jafngildu föllin hér að neðan líkja eftir hæð hlutar í metrum, $t$ sekúndum eftir að honum er kastað.

Án þess að teikna graf skaltu ákvarða á hvaða tíma hæð hlutarins er 0 metrar.

1. 8 sekúndur
2. 4 sekúndur
3. $\frac{5}{8}$ sekúndur
4. 0 sekúndur

Ítarefni

Beiting núllþáttareglu til að leysa raunverulegt kastvandamál

Við höfum áður skoðað föll sem tákna hreyfingu hluta í kasthreyfingu. Við greindum tvær jafngildar stæður sem skilgreina sama annars stigs fall, aðra á staðalformi og hina á þáttuðu formi.

Nú skoðum við svipað verkefni, en með viðbótarþekkingu á því hvernig fallið tengist núllþáttareglunni.

Lítum á dæmi.

Jafngildu föllin hér að neðan líkja eftir hæð hafnabolta í fetum $t$ sekúndum eftir að hann er sleginn.

Með núllþáttareglunni gerir annars stigs stæðan á þáttuðu formi okkur kleift að finna auðveldlega hvenær hæð hafnaboltans er 0 fet.

Án þess að teikna graf getum við ákvarðað hvenær hafnaboltinn nær jörðu.

Beitum núllþáttareglunni til að leysa jöfnuna $(-15t-1)(t-3)=0$.

Setjum hvorn þátt jafnan 0 og leysum:

Þessi gildi á $t$ eru núllstöðvar fallsins. Þar sem tíminn byrjar við $t=0$ á neikvæða lausnin ekki við. Hafnaboltinn lendir því á jörðinni eftir 3 sekúndur.

Það er líka gagnlegt að þekkja fallið á staðalformi. Með því að setja 0 í stað $t$ getum við ákvarðað í hvaða hæð hafnaboltinn var sleginn, þegar $t=0$ sekúndur.

Hafnaboltinn var því sleginn í 3 feta hæð. Taktu eftir að punkturinn $(0,3)$ er skurðpunktur grafsins við $y$-ás.

Reyndu sjálf(ur)

Beiting núllþáttareglu til að leysa raunverulegt kastvandamál

Föllin hér að neðan líkja eftir hæð hlutar í fetum $t$ sekúndum eftir að honum er kastað.

1. 1. Án þess að teikna graf skaltu ákvarða hvenær hæð hlutarins er 0 fet.

   Lausn

   Beitum núllþáttareglunni á þáttuðu skilgreininguna:

   $$\begin{array}{rcl}(-7t-8)(t-6)& =& 0\\ t& =& -\frac{8}{7}\\ t& =& 6\end{array}$$

   Neikvæða lausnin á ekki við í þessu samhengi, þannig að hluturinn er í 0 feta hæð eftir 6 sekúndur.

2. 2. Ákvarðaðu hæð hlutarins áður en honum er kastað.

   Lausn

   Setjum 0 í stað $t$ í staðalforminu:

   $$\begin{array}{rcl}h\left(0\right)& =& -7{\left(0\right)}^2+34\left(0\right)+48\\ h\left(0\right)& =& 48\end{array}$$

   Upphafshæð hlutarins er 48 fet.