8.4.2 Lausn jafna með vaxandi flækjustigi með röksemdafærslu

Finndu lausnina eða lausnirnar fyrir hverja jöfnu. Búðu þig undir að útskýra röksemdafærslu þína.

Í spurningum 1-3 rifjar þú upp ferlið við að leysa jöfnur.

1. 1. $x-3=0$

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   $x=3$

2. 2. $x+11=0$

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   $x=-11$

3. 3. $2x+11=0$

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   $x=\frac{-11}{2}$

Í spurningum 4-7 notar þú núllþáttaregluna. Hún segir að ef margfeldi þátta er 0, þá getur hver þáttur, eða allir þættirnir, verið 0. Settu hvern þátt jafnan 0 og leystu.

4. 4. $x(2x+11)=0$

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   $x=0$ og $x=\frac{-11}{2}$

5. 5. $(x-3)(x+11)=0$

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   $x=3$ og $x=-11$

6. 6. $(x-3)(2x+11)=0$

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   $x=3$ og $x=\frac{-11}{2}$

7. 7. $x(x+3)(3x-4)=0$

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   $x=0$, $x=-3$, og $x=\frac{4}{3}$

Útvíkkun

Útvíkkun hugsunar

1. 1. Notaðu þætti tölunnar 48 til að finna eins margar lausnir og þú getur á jöfnunni $(x-3)(x+5)=48$.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   $x=7$ og $x=-9$

2. 2. Þegar þú heldur að þú hafir allar lausnirnar skaltu útskýra hvers vegna þetta hljóta að vera einu lausnirnar.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Stæðurnar $x-3$ og $x+5$ eru alltaf 8 einingum frá hvor annarri. Einu þáttapörin fyrir 48 sem eru 8 einingum frá hvort öðru eru 4 og 12, og einnig −12 og −4.

   Hugsaðu svona:

   • Hvaða gildi á $x$ gerir þættina $(x-3)(x+5)$ jafngilda $\left(4\right)\left(12\right)$? $x=7$.
   • Hvaða gildi á $x$ gerir þættina $(x-3)(x+5)$ jafngilda $(-4)(-12)$? $x=-9$.

   Athugaðu:

   • Ef $x=7$, þá $(x-3)(x+5)=4·12$.
   • Ef $x=-9$, þá $(x-3)(x+5)=-12·(-4)$.

Athugaðu skilning þinn

Leystu jöfnuna.

$(x+4)(8x-16)=0$

1. $x=2$ og $x=-4$
2. $x=2$ og $x=-2$
3. $x=4$ og $x=-2$
4. $x=4$ og $x=-4$

Ítarefni

Lausn jafna með vaxandi flækjustigi með röksemdafærslu

Skoðum núllþáttaregluna aftur.

Við getum notað núllþáttaregluna til að finna lausnir á flóknari annars stigs jöfnum.

Við vitum að ef þættir eru margfaldaðir saman og útkoman er 0, þá hlýtur einn þátturinn að vera 0.

Dæmi 1

Þessi jafna hefur tvo ólíka þætti sem, þegar þeir eru margfaldaðir saman, gefa margfeldið 0.

Til að finna mögulegar lausnir á jöfnunni getum við sett hvorn þátt jafnan 0 og leyst.

Gildið $x=7$ gerir fyrri þáttinn jafnan 0. Gildið $x=-6$ gerir seinni þáttinn jafnan 0.

Lausnir upphaflegu jöfnunnar eru því $x=7$ og $x=-6$.

Dæmi 2

Þessi jafna hefur þrjá ólíka þætti, en röksemdafærslan er sú sama. Við getum samt sett hvern þátt jafnan 0 og leyst.

Fyrsti þátturinn er bara $x$. Því er $x=0$ lausn.

Annar þátturinn gefur lausnina $x=9$ þegar við leysum $(x-9)=0$.

Þriðji þátturinn gefur lausnina $x=\frac{8}{3}$ þegar við leysum $(3x-8)=0$.

Lausnir jöfnunnar $x(x-9)(3x-8)=0$ eru því $x=0$, $x=\frac{8}{3}$ og $x=9$.

Prófaðu

Lausn jafna með vaxandi flækjustigi með röksemdafærslu

Notaðu núllþáttaregluna til að finna lausnir á eftirfarandi annars stigs jöfnum.

1. 1. $(x-6)(4x+20)=0$

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Hugsaðu um hvaða gildi gera hvern þátt jafnan 0.

   $x=6$ og $x=-5$

2. 2. $(x+1)(5x+14)=0$

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Hugsaðu um hvaða gildi gera hvern þátt jafnan 0.

   $x=-1$ og $x=\frac{-14}{5}$