77.3 Að ákvarða hvort fall sé annars stigs

7.3.3 Annars stigs runur

7.3.3 • Annars stigs runur

Verkefni

Mynstur úr ferningum. Skref 1 hefur einn dálk með þremur ferningum. Skref 2 hefur tvo dálka með fjórum ferningum í hvorum dálki. Skref 3 hefur þrjá dálka með fimm ferningum í hverjum dálki.

Teiknaðu næsta skref í mynstrinu. Útskýrðu hvað þú teiknaðir.

Berðu saman svarið þitt:

Skref 4 er rétthyrningur með 4 dálkum og 6 röðum.

4 \times 6

Kiran segir að mynstrið vaxi línulega vegna þess að þegar númer skrefsins hækkar um 1 fjölgar bæði röðum og dálkum um 1. Ertu sammála? Rökstuddu svarið þitt.

Berðu saman svarið þitt:

Kiran hefur rétt fyrir sér að fjöldi raða og fjöldi dálka vex hvor um sig um 1. Heildarfjöldi ferninga eykst hins vegar ekki jafnmikið frá einu skrefi til þess næsta. Þess vegna vex heildarfjöldi ferninga annars stigs, ekki línulega.

Diego og Jada rituðu ólíkar jöfnur fyrir fjölda ferninga eftir n skref. Diego ritaði:

f (n) = n (n + 2)

Jada ritaði:

f (n) = n^{2} + 2 n

Hefur annað þeirra rétt fyrir sér? Rökstuddu svarið þitt.

Berðu saman svarið þitt:

Stæða Diego er rétt vegna þess að í skrefi n eru n dálkar og n + 2 raðir af litlum ferningum.

n (n + 2)

n

n + 2

Stæða Jödu er líka rétt. Hægt er að skipta ferningunum í n sinnum n ferning og n sinnum 2 rétthyrning. Flatarmálin eru þá:

n^{2}

2 n

Þrír rétthyrningar sem sýna að n(n + 2) má skipta í n sinnum n ferning og n sinnum 2 rétthyrning. Heildarflatarmálið er því n² + 2n.

Myndband: Annars stigs runur

Horfðu á myndbandið til að læra meira um annars stigs runur.

Staðan tekin

Þrjú skref í vaxandi mynstri. Í skrefi 1 eru tveir ferningar staflaðir. Í skrefi 2 eru fimm ferningar: tveir í neðstu röð, tveir í næstu röð og einn efst. Í skrefi 3 eru tíu ferningar: þrír í neðstu röð, þrír í annarri röð, þrír í þriðju röð og einn efst.

Hvaða jafna táknar sambandið milli númers skrefsins, n, og fjölda ferninga, y?

Lausn

y = 2 n

y = n^{2} + 1

y = n^{2} + n

y = n + 1

Viðbótarefni

Flóknari annars stigs mynstur

Skoðaðu skref 1 til 3 í mynstrinu úr ferningum hér fyrir neðan. Ritaðu jöfnu sem sýnir sambandið milli númers skrefsins, n, og fjölda ferninga, y.

Mynstur úr ferningum með tvo ferninga sem vantar í hverju skrefi. Skref 1 er í 2 sinnum 2 ramma með tveimur ferningum. Skref 2 er í 3 sinnum 3 ramma með sjö ferningum. Skref 3 er í 4 sinnum 4 ramma með fjórtán ferningum.

Reyndu fyrst að finna mynstrið eins og ferningarnir sem vantar væru til staðar. Gerðu töflu.

Skref	Fjöldi dálka	Fjöldi raða	Fjöldi ferninga
1	2	2	2
2	3	3	7
3	4	4	14
n	n + 1	n + 1	(n + 1)² − 2

Ef ferningana vantaði ekki væru þeir svona margir:

(n + 1) (n + 1)

Þar sem tvo ferninga vantar í hverju skrefi verður stæðan:

{(n + 1)}^{2} - 2

Jafnan er því:

y = {(n + 1)}^{2} - 2

Annað dæmi

Skoðaðu skref 1 til 3 í öðru mynstri úr ferningum. Ritaðu jöfnu sem sýnir sambandið milli númers skrefsins, n, og fjölda ferninga, y.

Mynstur úr ferningum. Skref 1 hefur fjórar raðir með fjórum ferningum í hverri röð. Skref 2 hefur fimm raðir með fimm ferningum í hverri röð. Skref 3 hefur sex raðir með sex ferningum í hverri röð.

Hér er ein leið til að tákna annars stigs rununa með jöfnu. Enga ferninga vantar. Fylltu út töfluna fyrir hvert skref.

Skref	Fjöldi dálka	Fjöldi raða	Fjöldi ferninga
1	4	4	16
2	5	5	25
3	6	6	36
n	n + 3	n + 3	(n + 3)²

Fjöldi dálka er alltaf n + 3 og fjöldi raða er alltaf n + 3.

n + 3

Fjöldi ferninga er því:

{(n + 3)}^{2}

y = {(n + 3)}^{2}

77.3 Að ákvarða hvort fall sé annars stigs

7.3.3 Annars stigs runur

7.3.3 • Annars stigs runur

Verkefni

Teiknaðu næsta skref í mynstrinu. Útskýrðu hvað þú teiknaðir.

Berðu saman svarið þitt:

Skref 4 er rétthyrningur með 4 dálkum og 6 röðum.

4 \times 6

Kiran segir að mynstrið vaxi línulega vegna þess að þegar númer skrefsins hækkar um 1 fjölgar bæði röðum og dálkum um 1. Ertu sammála? Rökstuddu svarið þitt.

Berðu saman svarið þitt:

Diego og Jada rituðu ólíkar jöfnur fyrir fjölda ferninga eftir n skref. Diego ritaði:

f (n) = n (n + 2)

Jada ritaði:

f (n) = n^{2} + 2 n

Hefur annað þeirra rétt fyrir sér? Rökstuddu svarið þitt.

Berðu saman svarið þitt:

Stæða Diego er rétt vegna þess að í skrefi n eru n dálkar og n + 2 raðir af litlum ferningum.

n (n + 2)

n

n + 2

Stæða Jödu er líka rétt. Hægt er að skipta ferningunum í n sinnum n ferning og n sinnum 2 rétthyrning. Flatarmálin eru þá:

n^{2}

2 n

Myndband: Annars stigs runur

Horfðu á myndbandið til að læra meira um annars stigs runur.

Staðan tekin

Hvaða jafna táknar sambandið milli númers skrefsins, n, og fjölda ferninga, y?

Lausn

y = 2 n

y = n^{2} + 1

y = n^{2} + n

y = n + 1

Viðbótarefni

Flóknari annars stigs mynstur

Skoðaðu skref 1 til 3 í mynstrinu úr ferningum hér fyrir neðan. Ritaðu jöfnu sem sýnir sambandið milli númers skrefsins, n, og fjölda ferninga, y.

Reyndu fyrst að finna mynstrið eins og ferningarnir sem vantar væru til staðar. Gerðu töflu.

Skref	Fjöldi dálka	Fjöldi raða	Fjöldi ferninga
1	2	2	2
2	3	3	7
3	4	4	14
n	n + 1	n + 1	(n + 1)² − 2

Ef ferningana vantaði ekki væru þeir svona margir:

(n + 1) (n + 1)

Þar sem tvo ferninga vantar í hverju skrefi verður stæðan:

{(n + 1)}^{2} - 2

Jafnan er því:

y = {(n + 1)}^{2} - 2

Annað dæmi

Skoðaðu skref 1 til 3 í öðru mynstri úr ferningum. Ritaðu jöfnu sem sýnir sambandið milli númers skrefsins, n, og fjölda ferninga, y.

Hér er ein leið til að tákna annars stigs rununa með jöfnu. Enga ferninga vantar. Fylltu út töfluna fyrir hvert skref.

Skref	Fjöldi dálka	Fjöldi raða	Fjöldi ferninga
1	4	4	16
2	5	5	25
3	6	6	36
n	n + 3	n + 3	(n + 3)²

Fjöldi dálka er alltaf n + 3 og fjöldi raða er alltaf n + 3.

n + 3

Fjöldi ferninga er því:

{(n + 3)}^{2}

y = {(n + 3)}^{2}