77.3 Að ákvarða hvort fall sé annars stigs

7.3.2 Jöfnur ritaðar fyrir mynstur með ferningum

7.3.2 • Jöfnur ritaðar fyrir mynstur með ferningum

Verkefni

Þrjú skref í vaxandi mynstri úr ferningum. Í skrefi 1 er einn ferningur í miðju og fjórir ferningar við hornin. Í skrefi 2 eru fjórir ferningar í miðju, tveir og tveir, og fjórir ferningar við hornin. Í skrefi 3 eru níu ferningar í miðju, þrír og þrír, og fjórir ferningar við hornin.

Ef mynstrið heldur áfram, hvað sést í skrefi 5 og skrefi 18?

Lausn

a. Teiknaðu myndina í hvoru skrefi eða lýstu henni með orðum.

Berðu saman svarið þitt:

Í skrefi 5 eru 25 litlir ferningar í 5 sinnum 5 uppröðun, auk fjögurra lítilla ferninga við hornin. Í skrefi 18 eru litlu ferningarnir í miðjunni í 18 sinnum 18 uppröðun, auk fjögurra lítilla ferninga við hornin.

18^{2}

b. Hversu margir litlir ferningar eru í hvoru þessara skrefa? Útskýrðu hvernig þú veist það.

Berðu saman svarið þitt:

Skref 5 hefur 29 ferninga, því það er hægt að reikna fjöldann svona:

5^{2} + 4

(5 \cdot 5) + 4

Skref 18 hefur 328 ferninga, því það er hægt að reikna fjöldann svona:

18^{2} + 4

(18 \cdot 18) + 4

Ritaðu jöfnu sem sýnir sambandið milli númers skrefsins, n, og fjölda ferninga, y. Gættu þess að geta útskýrt hvernig hver hluti jöfnunnar tengist mynstrinu. Ef þú festist, prófaðu að gera töflu.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

y = n^{2} + 4

Jafngild jafna kemur líka til greina. Liðurinn hér að neðan táknar fjölda lítilla ferninga í miðju mynstrinu, þar sem þeir mynda n sinnum n stóran ferning. Talan 4 táknar fjóra litla ferninga sem bætast við hornin.

n^{2}

Teiknaðu fyrstu þrjú skrefin í mynstri sem hægt er að tákna með jöfnunni:

Lausn

y = n^{2} - 1

Berðu saman svarið þitt:

Ein möguleg lýsing er n sinnum n uppröðun ferninga þar sem einn ferning vantar efst til hægri. Fyrsta skrefið hefur þá enga ferninga, því þar er:

n = 1

Mynstur úr ferningum. Skref 1 hefur enga ferninga. Skref 2 hefur tvo ferninga í einum dálki og einn ferning í öðrum dálki. Skref 3 hefur tvo dálka með þremur ferningum hvor og einn dálk með tveimur ferningum.

Meira til umhugsunar

Fyrir upprunalega mynstrið hér að ofan, ritaðu jöfnu sem sýnir sambandið milli númers skrefsins, n, og ummálsins, P.

y = n^{2} + 4

Berðu saman svarið þitt:

P = 4 n + 16

Fyrir mynstrið sem þú bjóst til í 3. lið, ritaðu jöfnu sem sýnir sambandið milli númers skrefsins, n, og ummálsins, P.

y = n^{2} - 1

Berðu saman svarið þitt:

Ef mynstrið er n sinnum n uppröðun ferninga þar sem ferning vantar í horninu, má lýsa ummálinu svona:

P = 0

n = 1

P = 4 n

n > 1

Eru þessi ummálsföll línuleg?

Berðu saman svarið þitt:

Já. Í báðum tilvikum eru ummálsföllin línuleg.

Staðan tekin

Þrjú skref í vaxandi mynstri. Í skrefi 1 eru tveir ferningar staflaðir. Í skrefi 2 eru fimm ferningar: tveir í neðstu röð, tveir í næstu röð og einn efst. Í skrefi 3 eru tíu ferningar: þrír í neðstu röð, þrír í annarri röð, þrír í þriðju röð og einn efst.

Hvaða jafna táknar sambandið milli númers skrefsins, n, og fjölda ferninga, y?

Lausn

y = n (n + 1)

y = n^{2} + 1

y = 2 n + 1

y = n + 1

Viðbótarefni

Mynstur táknuð með annars stigs föllum

Skoðaðu skref 1 til 3 í mynstrinu úr ferningum hér fyrir neðan. Ritaðu jöfnu sem sýnir sambandið milli númers skrefsins, n, og fjölda ferninga, y.

Mynstur úr ferningum. Skref 1 hefur einn dálk með þremur ferningum. Skref 2 hefur tvo dálka með sex ferningum í hvorum dálki. Skref 3 hefur þrjá dálka með níu ferningum í hverjum dálki.

Gerðu töflu fyrir fjölda dálka, fjölda raða og fjölda ferninga í hverju skrefi.

Skref	Fjöldi dálka	Fjöldi raða	Fjöldi ferninga
1	1	3	3
2	2	6	12
3	3	9	27
n	n	3n	3n²

Fyrst er fjöldi dálka talinn. Í hverju skrefi eru n dálkar.

n

Næst er fjöldi raða talinn. Í hverju skrefi eru 3n raðir.

3 n

Flatarmál myndarinnar er lengd sinnum hæð:

l \times h

n \times 3 n

Því verður jafnan:

y = 3 n^{2}

Annað dæmi

Skoðaðu skref 1 til 3 í öðru mynstri úr ferningum. Ritaðu jöfnu sem sýnir sambandið milli númers skrefsins, n, og fjölda ferninga, y.

Hér er ein leið til að tákna mynstrið með annars stigs jöfnu.

Skref	Fjöldi dálka	Fjöldi raða	Fjöldi ferninga
1	0	0	0
2	2	2	3
3	3	3	8
n	n	n	n² − 1

n^{2} - 1

Fyrir þetta mynstur væri flatarmálið fjöldi dálka sinnum fjöldi raða, en síðan er einn ferningur dreginn frá. Í skrefi 1 hefði verið einn 1 sinnum 1 ferningur, en hann er dreginn frá með jöfnunni.

1 \times 1

Jafnan er því:

y = n^{2} - 1

77.3 Að ákvarða hvort fall sé annars stigs

7.3.2 Jöfnur ritaðar fyrir mynstur með ferningum

7.3.2 • Jöfnur ritaðar fyrir mynstur með ferningum

Verkefni

Ef mynstrið heldur áfram, hvað sést í skrefi 5 og skrefi 18?

Lausn

a. Teiknaðu myndina í hvoru skrefi eða lýstu henni með orðum.

Berðu saman svarið þitt:

18^{2}

b. Hversu margir litlir ferningar eru í hvoru þessara skrefa? Útskýrðu hvernig þú veist það.

Berðu saman svarið þitt:

Skref 5 hefur 29 ferninga, því það er hægt að reikna fjöldann svona:

5^{2} + 4

(5 \cdot 5) + 4

Skref 18 hefur 328 ferninga, því það er hægt að reikna fjöldann svona:

18^{2} + 4

(18 \cdot 18) + 4

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

y = n^{2} + 4

n^{2}

Teiknaðu fyrstu þrjú skrefin í mynstri sem hægt er að tákna með jöfnunni:

Lausn

y = n^{2} - 1

Berðu saman svarið þitt:

Ein möguleg lýsing er n sinnum n uppröðun ferninga þar sem einn ferning vantar efst til hægri. Fyrsta skrefið hefur þá enga ferninga, því þar er:

n = 1

Meira til umhugsunar

Fyrir upprunalega mynstrið hér að ofan, ritaðu jöfnu sem sýnir sambandið milli númers skrefsins, n, og ummálsins, P.

y = n^{2} + 4

Berðu saman svarið þitt:

P = 4 n + 16

Fyrir mynstrið sem þú bjóst til í 3. lið, ritaðu jöfnu sem sýnir sambandið milli númers skrefsins, n, og ummálsins, P.

y = n^{2} - 1

Berðu saman svarið þitt:

Ef mynstrið er n sinnum n uppröðun ferninga þar sem ferning vantar í horninu, má lýsa ummálinu svona:

P = 0

n = 1

P = 4 n

n > 1

Eru þessi ummálsföll línuleg?

Berðu saman svarið þitt:

Já. Í báðum tilvikum eru ummálsföllin línuleg.

Staðan tekin

Hvaða jafna táknar sambandið milli númers skrefsins, n, og fjölda ferninga, y?

Lausn

y = n (n + 1)

y = n^{2} + 1

y = 2 n + 1

y = n + 1

Viðbótarefni

Mynstur táknuð með annars stigs föllum

Skoðaðu skref 1 til 3 í mynstrinu úr ferningum hér fyrir neðan. Ritaðu jöfnu sem sýnir sambandið milli númers skrefsins, n, og fjölda ferninga, y.

Gerðu töflu fyrir fjölda dálka, fjölda raða og fjölda ferninga í hverju skrefi.

Skref	Fjöldi dálka	Fjöldi raða	Fjöldi ferninga
1	1	3	3
2	2	6	12
3	3	9	27
n	n	3n	3n²

Fyrst er fjöldi dálka talinn. Í hverju skrefi eru n dálkar.

n

Næst er fjöldi raða talinn. Í hverju skrefi eru 3n raðir.

3 n

Flatarmál myndarinnar er lengd sinnum hæð:

l \times h

n \times 3 n

Því verður jafnan:

y = 3 n^{2}

Annað dæmi

Skoðaðu skref 1 til 3 í öðru mynstri úr ferningum. Ritaðu jöfnu sem sýnir sambandið milli númers skrefsins, n, og fjölda ferninga, y.

Hér er ein leið til að tákna mynstrið með annars stigs jöfnu.

Skref	Fjöldi dálka	Fjöldi raða	Fjöldi ferninga
1	0	0	0
2	2	2	3
3	3	3	8
n	n	n	n² − 1

n^{2} - 1

1 \times 1

Jafnan er því:

y = n^{2} - 1