7.16.2 Að teikna föll á topppunktsformi
7.16.2 • Að teikna föll á topppunktsformi
Verkefni
Skoðaðu þessar tvær jöfnur sem skilgreina annars stigs föll.
1. Graf fallsins fer um punktanaog, eins og sýnt er í hnitakerfinu.
a. Finndu hnit annars punkts á grafi . Útskýrðu eða sýndu rökstuðning þinn.
Berðu saman svarið þitt: Punkturinnliggur á grafinu. Ef við reiknum og setjum 8 í stað í stæðunni fæst
b. Notaðu teikniforrit eða aðra tækni. Teiknaðu graf fallsins p(x)=−(x−4)2+10 og merktu punktana,og.
Berðu saman svarið þitt: Graf annars stigs falls er samhverft um lóðréttu línuna sem fer um topppunktinn. Ef punktur á grafinu er 4 einingum vinstra megin við þessa línu og hefur y-gildið -6, þá er samsvarandi punktur hægra megin við línuna með sama y-gildi.
Línan sem fer um topppunkt fleygboga kallast samhverfuás fleygbogans.
Finndu x- og y-hnit topppunktsins og teiknaðu skissu af grafinu.
Lausn
a. Hvert er x-hnit topppunktsins fyrir fallið ?
Svarið er 4. x-hnit topppunktsins sést á kvaðratliðnum í topppunktsforminu; topppunktur fallsins hefur x-hnitið 4.
b. Hvert er y-hnit topppunktsins fyrir fallið ?
Svarið er 10. Á topppunktsformi gefur fastaliðurinn y-hnit topppunktsins; topppunktur fallsins hefur y-hnitið 10.
c. Í sama hnitakerfi og þú notaðir í spurningu 1 skaltu merkja topppunkt fallsins .
d. Finndu tvo aðra punkta á grafi . Reyndu að finna punkta sem eru samhverfir um samhverfuásinn.
Berðu saman svarið þitt: Eitt mögulegt svar erog.
Annað mögulegt svar erog. Ef er reiknað fæst 18, svoer punktur á grafinu. Hann er 4 einingum til vinstri og 8 einingum fyrir ofan topppunktinn. Vegna samhverfunnar er samsvarandi punktur 4 einingum til hægri og 8 einingum fyrir ofan topppunktinn, það er.
e. Teiknaðu skissu af grafi og merktu það. Útskýrðu eða sýndu rökstuðning þinn.
3. Rifjaðu upp að p(x)=−(x−4)2+10. Pilar segir: „Þegar ég veit að topppunkturinn er, get ég ákvarðað án þess að teikna grafið hvort topppunkturinn sé hágildi eða lággildi fallsins . Ég myndi bera hnit topppunktsins saman við hnit punkta hvorum megin við hann.“
Fylltu út töfluna með því að svara spurningum a og b.
| x | 3 | 4 | 5 |
| p(x) | 10 |
a. Reiknaðu .
b. Reiknaðu .
c. Útskýrðu hvernig Pilar gæti rökstutt hvort topppunkturinn sé lággildi eða hágildi.
Berðu saman svarið þitt: Gildin og eru bæði minni en 10. Topppunktur fleygboga er annaðhvort hágildi eða lággildi fallsins. Þar sem punktarnir hvorum megin við topppunktinn hafa lægra y-gildi, hlýtur topppunkturinn að vera hágildi.
Ertu til í meira?
Veldu jöfnu fyrir annars stigs fall þar sem grafið hefur topppunkt íog inniheldur punktinn.
- y=−2(x−2)2+3
- y=−3(x−2)2+2
- y=−5(x−2)2
- y=2(x−2)2+3
Rétta jafnan er y=−2(x−2)2+3.
Notaðu teikniforrit eða aðra tækni til að teikna skissu af grafi fallsins.
Viðbótarefni
Að nota lykilpunkta til að teikna gröf annars stigs falla
Topppunktsform er sérstaklega gagnlegt til að finna topppunkt á grafi annars stigs falls. Til dæmis sést að fallið , sem er gefið með p(x)=(x−3)2+1, hefur topppunkt í.
Þegar kvaðratliðurinn (x−3)2 hefur jákvæðan stuðul opnast grafið upp. Þá má nota topppunktinntil að sjá að lággildi fallsins er 1.
Hvers vegna tekur fallið lággildi sitt þegar ?
Þegar er kvaðratliðurinn (−3)2 jafn 0, því (3−3)2=(0)2=0. Fyrir öll önnur gildi á x er kvaðratliðurinn jákvæður. Þess vegna er úttakið þegar alltaf stærra en úttakið þegar .
Taflan sýnir nokkur gildi fallsins. Úttakið er minnst þegar x = 3 og hækkar bæði þegar x stækkar og þegar x minnkar frá 3.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| (x - 3)^2 + 1 | 10 | 5 | 2 | 1 | 2 | 5 | 10 |
Kvaðratliður getur líka haft neikvæðan stuðul, til dæmis h(x)=−2(x+4)2. Gildið gerir (x+4)2 jafnt og 0, því (−4+4)2=(0)2=0. Önnur x-gildi gera kvaðratliðinn stærri en 0, en margföldun með -2 gerir −2(x+4)2 neikvæða. Þess vegna er úttakið þegar alltaf minna en úttakið þegar ; fallið efur því hágildi þegar .
Mundu að skurðpunktur grafs við y-ás fæst þegar . Ef fallið er skilgreint með g(x)=(x+1)2−5, þá er skurðpunkturinn við y-ás, því g(0)=(0+1)2−5=−4. Topppunkturinn er. Annar punktur með sama y-hnit er í sömu láréttu fjarlægð frá topppunktinum, en hinum megin við hann.
