66.7 Almennar aðferðir við þáttun margliða

6.7.2 Upprifjun á almennum aðferðum við þáttun margliðu

6.7.2 • Upprifjun á almennum aðferðum við þáttun margliðu

Verkefni

Skoðið alla hluta skýringarmyndarinnar. Er eitthvað á henni sem þið skiljið ekki?

Lausn

Notið þennan tíma til að spyrja kennarann ef eitthvað þarf að skýra betur.

Skýringarmynd með titlinum Almenn aðferð við þáttun margliða sýnir þáttunaraðferðir: stærsti samdeilir, tvíliðir, þríliðir og margliður með fleiri en þremur liðum.

Notið skýringarmyndina eftir þörfum í verkefninu.

Ákvarðið bestu aðferðina til að þátta hverja margliðu. Verið tilbúin að rökstyðja valið. Takið stærsta samdeili fyrst út fyrir sviga ef þess þarf. Ef ekki er hægt að þátta margliðuna frekar, skrifið „óþættanleg“. Dæmi er sýnt.

Dæmi

4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}

Eftir að stærsti samdeilir hefur verið athugaður er þetta þríliður á forminu

a^{2} + 2 a b + b^{2}

Þetta er þríliður sem er ferningur tvíliðu.

8 y^{3} + 16 y^{2} - 24 y

Berðu saman svarið þitt: Taktu fyrst stærsta samdeili út fyrir sviga. Þá fæst þríliður á forminu

x^{2} + b x + c

og hægt er að snúa FOIL-aðferðinni við.

16 x^{3} - 36 x

Berðu saman svarið þitt: Taktu fyrst stærsta samdeili út fyrir sviga. Þá er eftir tvíliður sem er mismunur tveggja ferninga.

6 p q^{2} - 9 p q - 6 p

Berðu saman svarið þitt: Taktu fyrst stærsta samdeili út fyrir sviga. Þá fæst þríliður á forminu

a x^{2} + b x + c

og nota má ac-aðferðina eða prófa sig áfram.

4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2} - 25

Berðu saman svarið þitt: Margliðan hefur fjóra liði, svo gagnlegt er að hópa liði og þátta.

a^{2} + 9

Berðu saman svarið þitt: Þetta er summa tveggja ferninga og er óþættanleg í þessu samhengi.

9 x^{2} - 24 x y + 16 y^{2}

Berðu saman svarið þitt: Þetta er þríliður á forminu

a^{2} - 2 a b + b^{2}

og því þríliður sem er ferningur tvíliðu.

27 y^{2} - 48

Berðu saman svarið þitt: Taktu fyrst stærsta samdeili út fyrir sviga. Þá er eftir tvíliður sem er mismunur tveggja ferninga.

Tilbúin í meiri áskorun?

Útvíkkuð hugsun

Þáttaðu margliðuna hér að neðan. Skráðu hverja þáttunaraðferð sem þú notar.

9 x^{2} - 12 x y + 4 y^{2} - 49

Berðu saman svarið þitt:

(3 x - 2 y - 7) (3 x - 2 y + 7)

Notaðar aðferðir: athuga stærsta samdeili, hópa liði, þekkja þrílið sem er ferningur tvíliðu og nota mismun tveggja ferninga.

Svona má þátta margliðuna:

Skref 1: Er stærsti samdeilir til staðar?

9 x^{2} - 12 x y + 4 y^{2} - 49

Nei.

Skref 2: Þegar liðirnir eru fleiri en þrír er gagnlegt að prófa hópun. Síðustu tveir liðirnir hafa engan sameiginlegan þátt, svo prófum að hópa fyrstu þrjá liðina.

Skref 3: Þríliðurinn hefur forystustuðul annan en 1, en fyrsti liðurinn er ferningur. Er síðasti liður þríliðarins líka ferningur?

{(3 x)}^{2} - 12 x y + {(2 y)}^{2} - 49

Já.

Skref 4: Passar þríliðurinn við mynstrið

a^{2} \pm 2 a b + b^{2}

Miðliðurinn passar vegna þess að

- 2 (3 x) (2 y) = - 12 x y

Já.

Skref 5: Skrifaðu þríliðinn sem ferning.

{(3 x - 2 y)}^{2} - 49

Skref 6: Nú er tvíliðurinn mismunur tveggja ferninga. Skrifaðu hann þannig:

{(3 x - 2 y)}^{2} - 7^{2}

Skref 7: Skrifaðu sem margfeldi samoka þátta.

((3 x - 2 y) - 7) ((3 x - 2 y) + 7)

(3 x - 2 y - 7) (3 x - 2 y + 7)

Skref 8: Er stæðan þáttað að fullu? Já.

Skref 9: Athugaðu svarið með því að margfalda.

(3 x - 2 y - 7) (3 x - 2 y + 7)

9 x^{2} - 6 x y - 21 x - 6 x y + 4 y^{2} + 14 y + 21 x - 14 y - 49

9 x^{2} - 12 x y + 4 y^{2} - 49 ✓

Viðbótarefni

6.7.2 Upprifjun á almennum aðferðum við þáttun margliðu

Nú hafið þið kynnst öllum þáttunaraðferðum sem þarf í þessum áfanga. Skýringarmyndin dregur þær saman og sýnir almenna leið til að velja aðferð við þáttun margliða.

Notið þessi skref þegar þið ákveðið hvernig á að þátta margliðu.

Er stærsti samdeilir til staðar? Takið hann út fyrir sviga.
Er margliðan tvíliður, þríliður eða hefur hún fleiri en þrjá liði?

Ef hún er tvíliður: Athugið hvort hún sé summa eða mismunur. Summu tveggja ferninga er ekki hægt að þátta hér; ef hún er summa teninga má nota mynstur fyrir summu teninga. Ef hún er mismunur tveggja ferninga, þáttið sem margfeldi samoka þátta; ef hún er mismunur teninga má nota mynstur fyrir mismun teninga.

Ef hún er þríliður á forminu

x^{2} + b x + c

má snúa FOIL-aðferðinni við.

Ef hún er þríliður á forminu

a x^{2} + b x + c

athugið hvort fyrsti og síðasti liður eru ferningar og hvort þríliðurinn passar við mynstur fyrir ferning tvíliðu. Annars má nota ac-aðferðina eða prófa sig áfram.

Ef margliðan hefur fleiri en þrjá liði: Prófið að hópa liði og þátta.

Skref 3: Athugið svarið. Er stæðan þáttað að fullu? Gefa þættirnir upprunalegu margliðuna við margföldun?

Dæmi 1

Þáttaðu að fullu:

24 y^{2} - 150

Farið varlega þegar beðið er um að þátta tvílið, því nokkrar leiðir koma til greina.

Skref 1: Er stærsti samdeilir til staðar? Já,
$6$
Skref 2: Taktu stærsta samdeili út fyrir sviga.
$6 (4 y^{2} - 25)$
Skref 3: Inni í sviganum er tvíliður. Þetta er ekki summa heldur mismunur tveggja ferninga.
$6 ({(2 y)}^{2} - {(5)}^{2})$
Skref 4: Skrifaðu sem margfeldi samoka þátta.
$6 (2 y - 5) (2 y + 5)$
Skref 5: Hvorugan tvíliðinn er hægt að þátta frekar. Athugun:
$6 (2 y - 5) (2 y + 5)$
$6 (4 y^{2} - 25)$
$24 y^{2} - 150 ✓$

Dæmi 2

Notaðu skýringarmyndina og spurningarnar til hliðsjónar. Hvaða aðferð myndir þú nota til að þátta eftirfarandi margliður?

x^{2} - 3 x - 10

Aðferð: snúa FOIL-aðferðinni við. Ástæða: þríliður á forminu

x^{2} + b x + c

4 a^{2} - 12 a b + 9 b^{2}

Aðferð: mynstur fyrir þrílið sem er ferningur tvíliðu. Ástæða: þríliður á forminu

a^{2} - 2 a b + b^{2}

4 y^{2} - 25

Aðferð: mismunur tveggja ferninga. Ástæða: tvíliður sem er mismunur tveggja ferninga.

66.7 Almennar aðferðir við þáttun margliða

6.7.2 Upprifjun á almennum aðferðum við þáttun margliðu

6.7.2 • Upprifjun á almennum aðferðum við þáttun margliðu

Verkefni

Skoðið alla hluta skýringarmyndarinnar. Er eitthvað á henni sem þið skiljið ekki?

Lausn

Notið þennan tíma til að spyrja kennarann ef eitthvað þarf að skýra betur.

Notið skýringarmyndina eftir þörfum í verkefninu.

Dæmi

4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}

Eftir að stærsti samdeilir hefur verið athugaður er þetta þríliður á forminu

a^{2} + 2 a b + b^{2}

Þetta er þríliður sem er ferningur tvíliðu.

8 y^{3} + 16 y^{2} - 24 y

Berðu saman svarið þitt: Taktu fyrst stærsta samdeili út fyrir sviga. Þá fæst þríliður á forminu

x^{2} + b x + c

og hægt er að snúa FOIL-aðferðinni við.

16 x^{3} - 36 x

Berðu saman svarið þitt: Taktu fyrst stærsta samdeili út fyrir sviga. Þá er eftir tvíliður sem er mismunur tveggja ferninga.

6 p q^{2} - 9 p q - 6 p

Berðu saman svarið þitt: Taktu fyrst stærsta samdeili út fyrir sviga. Þá fæst þríliður á forminu

a x^{2} + b x + c

og nota má ac-aðferðina eða prófa sig áfram.

4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2} - 25

Berðu saman svarið þitt: Margliðan hefur fjóra liði, svo gagnlegt er að hópa liði og þátta.

a^{2} + 9

Berðu saman svarið þitt: Þetta er summa tveggja ferninga og er óþættanleg í þessu samhengi.

9 x^{2} - 24 x y + 16 y^{2}

Berðu saman svarið þitt: Þetta er þríliður á forminu

a^{2} - 2 a b + b^{2}

og því þríliður sem er ferningur tvíliðu.

27 y^{2} - 48

Berðu saman svarið þitt: Taktu fyrst stærsta samdeili út fyrir sviga. Þá er eftir tvíliður sem er mismunur tveggja ferninga.

Tilbúin í meiri áskorun?

Útvíkkuð hugsun

Þáttaðu margliðuna hér að neðan. Skráðu hverja þáttunaraðferð sem þú notar.

9 x^{2} - 12 x y + 4 y^{2} - 49

Berðu saman svarið þitt:

(3 x - 2 y - 7) (3 x - 2 y + 7)

Notaðar aðferðir: athuga stærsta samdeili, hópa liði, þekkja þrílið sem er ferningur tvíliðu og nota mismun tveggja ferninga.

Svona má þátta margliðuna:

Skref 1: Er stærsti samdeilir til staðar?

9 x^{2} - 12 x y + 4 y^{2} - 49

Nei.

Skref 2: Þegar liðirnir eru fleiri en þrír er gagnlegt að prófa hópun. Síðustu tveir liðirnir hafa engan sameiginlegan þátt, svo prófum að hópa fyrstu þrjá liðina.

Skref 3: Þríliðurinn hefur forystustuðul annan en 1, en fyrsti liðurinn er ferningur. Er síðasti liður þríliðarins líka ferningur?

{(3 x)}^{2} - 12 x y + {(2 y)}^{2} - 49

Já.

Skref 4: Passar þríliðurinn við mynstrið

a^{2} \pm 2 a b + b^{2}

Miðliðurinn passar vegna þess að

- 2 (3 x) (2 y) = - 12 x y

Já.

Skref 5: Skrifaðu þríliðinn sem ferning.

{(3 x - 2 y)}^{2} - 49

Skref 6: Nú er tvíliðurinn mismunur tveggja ferninga. Skrifaðu hann þannig:

{(3 x - 2 y)}^{2} - 7^{2}

Skref 7: Skrifaðu sem margfeldi samoka þátta.

((3 x - 2 y) - 7) ((3 x - 2 y) + 7)

(3 x - 2 y - 7) (3 x - 2 y + 7)

Skref 8: Er stæðan þáttað að fullu? Já.

Skref 9: Athugaðu svarið með því að margfalda.

(3 x - 2 y - 7) (3 x - 2 y + 7)

9 x^{2} - 6 x y - 21 x - 6 x y + 4 y^{2} + 14 y + 21 x - 14 y - 49

9 x^{2} - 12 x y + 4 y^{2} - 49 ✓

Viðbótarefni

6.7.2 Upprifjun á almennum aðferðum við þáttun margliðu

Nú hafið þið kynnst öllum þáttunaraðferðum sem þarf í þessum áfanga. Skýringarmyndin dregur þær saman og sýnir almenna leið til að velja aðferð við þáttun margliða.

Notið þessi skref þegar þið ákveðið hvernig á að þátta margliðu.

Er stærsti samdeilir til staðar? Takið hann út fyrir sviga.
Er margliðan tvíliður, þríliður eða hefur hún fleiri en þrjá liði?

Ef hún er þríliður á forminu

x^{2} + b x + c

má snúa FOIL-aðferðinni við.

Ef hún er þríliður á forminu

a x^{2} + b x + c

athugið hvort fyrsti og síðasti liður eru ferningar og hvort þríliðurinn passar við mynstur fyrir ferning tvíliðu. Annars má nota ac-aðferðina eða prófa sig áfram.

Ef margliðan hefur fleiri en þrjá liði: Prófið að hópa liði og þátta.

Skref 3: Athugið svarið. Er stæðan þáttað að fullu? Gefa þættirnir upprunalegu margliðuna við margföldun?

Dæmi 1

Þáttaðu að fullu:

24 y^{2} - 150

Farið varlega þegar beðið er um að þátta tvílið, því nokkrar leiðir koma til greina.

Skref 1: Er stærsti samdeilir til staðar? Já,
$6$
Skref 2: Taktu stærsta samdeili út fyrir sviga.
$6 (4 y^{2} - 25)$
Skref 3: Inni í sviganum er tvíliður. Þetta er ekki summa heldur mismunur tveggja ferninga.
$6 ({(2 y)}^{2} - {(5)}^{2})$
Skref 4: Skrifaðu sem margfeldi samoka þátta.
$6 (2 y - 5) (2 y + 5)$
Skref 5: Hvorugan tvíliðinn er hægt að þátta frekar. Athugun:
$6 (2 y - 5) (2 y + 5)$
$6 (4 y^{2} - 25)$
$24 y^{2} - 150 ✓$

Dæmi 2

Notaðu skýringarmyndina og spurningarnar til hliðsjónar. Hvaða aðferð myndir þú nota til að þátta eftirfarandi margliður?

x^{2} - 3 x - 10

Aðferð: snúa FOIL-aðferðinni við. Ástæða: þríliður á forminu

x^{2} + b x + c

4 a^{2} - 12 a b + 9 b^{2}

Aðferð: mynstur fyrir þrílið sem er ferningur tvíliðu. Ástæða: þríliður á forminu

a^{2} - 2 a b + b^{2}

4 y^{2} - 25

Aðferð: mismunur tveggja ferninga. Ástæða: tvíliður sem er mismunur tveggja ferninga.