5.3.3 Samanburður á tveimur mynstrum
5.3.3 • Samanburður á tveimur mynstrum
Verkefni
Hér eru gröf sem sýna hvernig peningaupphæðin í hvorri pyngju breytist. Mundu að pyngja A byrjar með $1.000 og vex um $200 á dag. Pyngja B byrjar með $0,01 og tvöfaldast á hverjum degi.
1. Hvaða gögn á grafinu sýna upphæðina í pyngju A? Hvaða gögn sýna upphæðina í pyngju B? Útskýrðu hvernig þú veist það.
Berðu saman svarið þitt: Bláu gögnin á grafinu, sem innihalda punkt P, sýna pyngju B. Rauðu gögnin, sem innihalda punkt Q, sýna pyngju A. Pyngja B byrjar með minni upphæð en pyngja A og graf hennar liggur því neðar í byrjun.
2. Punktarnir P og Q eru merktir á grafinu. Útskýrðu hvað þeir þýða í samhengi við tilboð andans.
Punktur P þýðir að 9 dögum eftir að andinn birtist inniheldur pyngja B $5,12. Punktur Q þýðir að 5 dögum eftir að andinn birtist inniheldur pyngja A $2.000.
3. Hver eru hnit skurðpunktsins við y-ás fyrir hvort graf? Útskýrðu hvernig þú veist það.
Fyrir pyngju A er skurðpunkturinn við y-ás (0, 1.000), því á degi 0 inniheldur pyngjan $1.000. Fyrir pyngju B er skurðpunkturinn við y-ás (0, 0,01), því hún inniheldur aðeins $0,01 þegar andinn birtist.
4. Hvenær verður pyngja B betri kostur en pyngja A? Undirbúðu rökstuðning.
Samkvæmt gröfunum er pyngja B meira virði en pyngja A frá og með degi 19. Það sést á grafinu þar sem pyngja B hefur hærra y-hnit í fyrsta sinn þegar x = 19.
5. Með þá vitneskju sem þú hefur núna, hvora pyngjuna myndir þú velja? Undirbúðu rökstuðning.
Svör geta verið mismunandi. Dæmi: Pyngja B er meira virði eftir 19 daga, en önnur atriði gætu líka skipt máli.
Á ströndinni finnur vinur þinn annan anda. Sá andi býður einnig upp á tvær pyngjur og gefur eftirfarandi graf til að sýna hvernig peningarnir í hvorri pyngju vaxa. Þríhyrningsmerkin sem liggja á línu tákna gildi í pyngju A, en ferningsmerkin sem mynda feril tákna gildi í pyngju B.
6. Andinn er enn að ákveða í hversu marga daga hann lætur peningana í pyngjunum vaxa. Hjálpaðu vini þínum að móta aðferð til að velja pyngjuna með hærri upphæð á meðan andinn hugsar sig um.
Svör geta verið mismunandi. Dæmi: Skurðpunkturinn við y-ás fyrir pyngju B er lægri, þannig að pyngja B byrjar með minni upphæð en pyngja A. Gildin fyrir pyngju B eru lægri en gildin fyrir pyngju A fram að degi 10, þegar þau virðast vera jöfn. Pyngja A er því betri kostur fram að degi 10, en eftir það verður pyngja B betri kostur.
Viltu reyna meira?
Hugsað lengra
„Jæja, jæja,“ segir andinn og brosir vonsvikinn. „Ég skal gefa þér enn meira freistandi tilboð.“ Hann útskýrir að pyngja B haldist óbreytt, en pyngja A aukist nú um $250.000 á hverjum degi. Hvora pyngjuna ættir þú að velja?
Svör geta verið mismunandi. Dæmi: Pyngja B fer fram úr pyngju A á degi 30, með um $10,7 milljónir í pyngju B og aðeins um $7,5 milljónir í pyngju A. Því er betra að velja pyngju A ef upphæðirnar vaxa í færri en 30 daga, en betra að velja pyngju B ef þær vaxa í 30 daga eða lengur.
Sjálfspróf
Grafið sýnir stöðu, í dollurum, á tveimur fjárfestingarreikningum eftir árum. Reikningur A byrjar með $2.000. Reikningur B byrjar með $1.000.
Báðir reikningarnir vaxa um sömu upphæð á hverju ári.
Báðir reikningarnir vaxa hraðar eftir því sem tíminn líður.
Reikningur A vex um sömu upphæð á hverju ári. Reikningur B vex hraðar eftir því sem tíminn líður.
Reikningur A vex hraðar eftir því sem tíminn líður. Reikningur B vex um sömu upphæð á hverju ári.
Viðbótarefni
Samanburður á gröfum
Berðu saman gröf fallanna y = 2x og y = 2^x.
Til að bera gröfin saman þarf fyrst að teikna þau. Báðar jöfnurnar innihalda 2 og x, en í y = 2x er x margfaldað með 2, en í y = 2^x er 2 veldisstofn og x veldisvísir. Gröfin skerast í (1, 2) og (2, 4). Fallið y = 2x hefur skurðpunkt við y-ás í (0, 0), en y = 2^x hefur skurðpunkt við y-ás í (0, 1). Þegar 1 < x < 2 er y = 2x stærra en y = 2^x.
Samanburður á gröfum
Berðu saman gröf fallanna y = 3x + 1 og y = 3^x.
Fyrst þarf að teikna bæði föllin í sama hnitakerfi. Síðan má bera saman lykileinkenni, til dæmis skurðpunkta og staði þar sem föllin hafa sama gildi. Föllin eru jöfn í skurðpunktinum við y-ás, (0, 1), og einnig um það bil í punktinum (1,6; 5,8). Fallið y = 3x + 1 er línulegt og er stærra þegar 0 < x < 1,6. Fallið y = 3^x er veldisfall og er stærra þegar x < 0 og þegar x > 1,6.